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3.1 回归分析的基本思想及其初步应用


第3章

1

(本栏目内容,在学生用书中以活页形式分册装订!) 一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1.甲、乙、丙、丁 4 位同学各自对 A、B 两变量做回归分析,分别得到散点图与残差 平方和 ? (yi-y i)2 如下表:
i=1 n


甲 散点图 残差平 方和 115







106

124 )

103

哪位同学的试验结果体现拟合 A、B 两变量关系的模型拟合精度高( A.甲 C.丙 B.乙 D.丁

解析: 根据线性相关的知识,散点图中各样本点条状分布越均匀,同时保持残差平方 和越小(对于已经获取的样本数据, 2 表达式中 ? (yi- y )2 为确定的数, R 则残差平方和越小,
i=1 n

R2 越大),由回归分析建立的线性回归模型的拟合效果越好,由试验结果知丁要好些.故选 D. 答案: D 2.某地财政收入 x 与支出 y 满足线性回归方程 y=bx+a+e(单位:亿元),其中 b=0.8, a=2,|e|<0.5,如果今年该地区财政收入 10 亿元,年支出预计不会超过( A.10 亿 C.10.5 亿 解析: 代入数据 y=10+e,因为|e|<0.5, 所以|y|≤10.5,故不会超过 10.5 亿. 答案: C 3.某医学科研所对人体脂肪含量与年龄这两个变量研究得到一组随机样本数据,运用


)

B.9 亿 D.9.5 亿

Excel 软件计算得y =0.577x-0.448(x 为人的年龄,y 为人体脂肪含量).对年龄为 37 岁的人 来说,下面说法正确的是( )

A.年龄为 37 岁的人体内脂肪含量都为 20.90%
1

B.年龄为 37 岁的人体内脂肪含量为 21.01% C.年龄为 37 岁的人群中的大部分人的体内脂肪含量为 20.90% D.年龄为 37 岁的大部分的人体内脂肪含量为 31.5%


解析: 当 x=37 时,y =0.577×37-0.448=20.901≈20.90,由此估计:年龄为 37 岁 的人群中的大部分人的体内脂肪含量为 20.90%. 答案: C 4.一位母亲记录了儿子 3~9 岁时的身高,数据如下表所示: 年龄/周岁 身高/cm 3 94.8 4 104.2 5 108.7


6 117.8

7 124.3

8 130.8

9 139.0

由此建立的身高与年龄的回归模型为y =7.19x+73.93.若用这个模型预测这个孩子 10 岁 时的身高,则正确的叙述是( A.身高一定是 145.83 cm C.身高在 145.83 cm 左右 ) B.身高在 145.83 cm 以上 D.身高在 145.83 cm 以下

解析: 回归直线方程只能预报变量的可能取值的平均值,不能预报其精确值. 答案: C 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分)
∧ ∧ ∧ ∧

5.在式子a=y -b x 中,( x , y )称为__________;残差e i=__________. 解析: 由最小二乘法和残差的意义可知
∧ ∧

( x , y )称为样本点的中心,e i=yi-y i


答案: 样本点的中心,yi-y i 6.已知回归直线的斜率的估计值为 1.23.样本点的中心为(4,5),则回归直线方程是 ________.


解析:

由斜率的估计值为 1.23,且回归直线一定经过样本点的中心(4,5),可得y -5

=1.23(x-4),


即y =1.23x+0.08.


答案:

y =1.23x+0.08

三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 7.某电脑公司有 6 名产品推销员,其工作年限与年推销金额数据如下表: 推销员编号 工作年限 x/年 推销金额 y/万元 1 3 2 2 5 3 3 6 3 4 7 4 5 9 5

(1)求年推销金额 y 关于工作年限 x 的线性回归方程;
2

(2)若第 6 名推销员的工作年限为 11 年,试估计他的年推销金额.
∧ ∧ ∧

解析: (1)设所求的线性回归方程为y =bx+a,

? ?xi- x ??yi- y ?


5

i=1

则b=



? ?xi- x ?2
i=1
∧ ∧

5

10 =0.5, 20

a= y -b x =0.4. 所以年推销金额 y 关于工作年限 x 的线性回归方程为


y =0.5x+0.4.


(2)当 x=11 时,y =0.5x+0.4=0.5×11+0.4=5.9(万元). 所以可以估计第 6 名推销员的年推销金额为 5.9 万元. 8.关于 x 与 y 有如下数据: x y 有如下的两个线性模型:


2 30

4 40

5 60

6 50

8 70

(1)y =6.5x+17.5;


(2)y =7x+17. 试比较哪一个拟合效果更好.


解析: (1)由(1)得 y =50,yi-y i 与 yi- y 的关系如下表:


yi-y i yi- y
5


-0.5 -20

-3.5 -10

-10 10

-6.5 0

0.5 20

∴ ? (yi-y i)2=(-0.5)2+(-3.5)2+(-10)2+(-6.5)2+0.52=155,
i=1

? (yi- y )2=(-20)2+(-10)2+102+02+202=1 000.
i=1 5


5

? ?yi-y i?2
i=1

∴R12=1-
5 i=1


? ?yi- y ?2

155 =1- =0.845. 1 000

由(2)可得 yi-y i 与 yi- y 的关系如下表:

3



yi-y i yi- y
5


-1 -20

-5 -10

8 10

-9 0

-3 20

∴ ? (yi-y i)2=(-1)2+(-5)2+82+(-9)2+(-3)2=180,
i=1

? (yi- y )2=(-20)2+(-10)2+102+02+202=1 000.
i=1 5


5

? ?yi-y i?2
i=1

∴R2 =1-
5 i=1

2

? ?yi- y ?2

180 =1- =0.82, 1 000

由于 R12=0.845,R22=0.82,0.845>0.82. ∴R12>R22. ∴(1)的拟合效果好于(2)的拟合效果. ?尖子生题库?☆☆☆ 9. 分)假设关于某设备的使用年限 x 和所支出的维修费用 y(万元)有如下的统计资料: (10

使用年限 x 维修费用 y

2 2.2

3 3.8

4 5.5

5 6.5

6 7.0

若由资料知,y 对 x 呈现线性相关关系.
∧ ∧ ∧ ∧ ∧

试求:(1)线性回归方程y =bx+a中的a、b的值; (2)求残差平方和; (3)求相关指数 R2; (4)估计使用年限为 10 年时,维修费用是多少? 解析: y 对 x 呈线性相关关系,转化为一元线性相关的方法,根据公式分别计算. (1)由已知数据制成下表: i xi yi xiyi xi2
5

1 2 2.2 4.4 4
5

2 3 3.8 11.4 9

3 4 5.5 22 16

4 5 6.5 32.5 25

5 6 7.0 42 36

合计 20 25 112.3 90

x =4; y =5; ?xi2=90; ?xiyi=112.3
i=1 i=1
∧ 112.3-5×4×5 于是有b= =1.23, 90-5×4×4

4





a= y -b x =5-1.23×4=0.08,


∴y =1.23x+0.08.
∧ ∧ ∧

(2)求公式y 1=1.23×2+0.08=2.54,y 2=1.23×3+0.08=3.77,y 3=1.23×4+0.08=5,
∧ ∧

y 4=1.23×5+0.08=6.23,y 5=1.23×6+0.08=7.46,
∧ ∧ ∧ ∧

e 1=2.2-2.54=-0.34,e 2=3.8-3.77=0.03,e 3=5.5-5=0.5,e 4=6.5-6.23=0.27,


e 5=7.0-7.46=-0.46. ∴残差平方和为:(-0.34)2+0.032+0.52+0.272+(-0.46)2=0.651. 0.651 (3)R2=1- ≈0.9587. ?-2.8?2+?-1.2?2+0.52+1.52+22
∧ ∧

(4)回归方程y =1.23x+0.08,当 x=10 年时,y =1.23×10+0.08=12.38(万元),即估计 使用 10 年时,维修费用是 12.38 万元.

5


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