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广东省韶关市十校2015届高三10月联考试题 数学理 Word版含答案


韶关市 2015 届高三级十校联考理科数学试题
命题人 本试卷共 4 页,21 题,满分 150 分,考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色笔迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、 座位号填写在答题卡上。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂 黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指 定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不 准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将试题与答题卡一并交回。 5.参考公式:如果事件 A, B 相互独立,那么 P( AB) ? P( A) P( B) 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项 中,只有一项符合题目要求。 1.已知全集 U ? R ,集合 M ? {y | y ? x2 ? 1} ,集合 N ? {x | y ? 4 ? x 2 } ,则

(CU M ) ? N ? (



A. (?2,?1) ;B. [?2,?1) ;C. [?2,1) ;D. [?2,1] 2.已知 a 是实数, A. 1 ;B. ?1;C.
a?i 是纯虚数,则 a 等于( 1? i



2 ;D. ? 2

? 2 x ? y ? 0, ? 3. 若实数 x, y 满足 ? y ? x, 且 z = 2 x + y 的最小值为 3 ,则实数 b 的值为( ? y ? ? x ? b, ?



A. 2 ;B. ? 2 ;C. ?

9 9 ;D. 4 4

4.若两个向量 a 与 b 的夹角为 ? ,则称向量“ a ? b ”为“向量积” ,其长度

a ? b ? a ? b ? sin ? 。已知 a ? 1, b ? 5 , a ? b ? ?4 ,则 a ? b 等于(
A.-4;B.3;C.4;D.5



5.已知 m , n 为两条不同的直线, ? , ? 为两个不同的平面,则下列命题中正确的 是( )

A. ? // ? , m ? ? , n ? ? ? m // n ;B. m ? ? , m ? n ? n // ? C. m / / n, m ? ? ? n ? ? ;D. m ? ? , n ? ? , m // ? , n // ? ? ? // ?

6.将函数 y ? sin 2 x 的图象向左平移 函数解析式是( A. y ? 1 ? sin( 2 x ? 7. 已知椭圆 )

? 个单位, 再向上平移 1 个单位,所得图象的 4

?
4

) ;B. y ? cos2 x ? 1 ;C. y ? ? cos2 x ? 1 ;D. y ? cos2 x ? 1

x2 ? y 2 ? 1 的左、 右焦点分别为 F1 、F2 ,点 P 在椭圆上,则 PF1 ? PF2 的 8 最大值是( ) A. 8 ;B. 2 2 ;C. 10 ;D. 4 2 3 8.设 [ x ] 表示不超过 x 的最大整数(如 [2] ? 2 , [ ] ? 1 ) 。对于给定的 n ? N ? , 2

定义 C nx ?

5 n(n ? 1) ?(n ? [ x] ? 1) , x ? [1,??) ,则当 x ? [ ,3) 时,函数 f ( x) ? C8x 4 x( x ? 1) ?( x ? [ x] ? 1)

的值域为( ) 32 28 32 28 32 28 A. ( 4, ] ;B. (4, ] U ( ,28] ;C. [4, ) U ( ,28] ;D. [ ,28] 5 3 5 3 5 3 二、填空题(本大题共 7 小题,分为必做题和选做题两部分。每小题 5 分,共 30 分) (一)必做题:第 9 至第 13 题为必做题,每道试题考生都必须作答。 9. ? ? 2 x ? e x ?dx ?
2 0

10.不等式 | x ? 1| ? | x ? 2 |? 4 的解集为 11.如图,按如下程序框图,若判断框内的条件为 i ? 9 ,则输出的结果为
开始

i ?1

S ?0

S ? S ? 2i

i ?i?2

结果


12.在 ( x ?
a x2

?



输出S

) 6 的展开式中常数项为 60 ,则常数 a 的值为

13.设偶函数 f ( x) 满足 f ( x) ? x3 ? 8( x ? 0) ,则使 f (a ? 2) ? 0 成立的 a 的取值范 围是 (二)选做题:第 14、15 题为选做题,考生只选做其中一题,两题全答的,只按 第一题计分。

? x ? 1 ? cos? 14. (坐标系与参数方程选做题)曲线 C1 : ? ( ? 为参数)上的点到曲 ? y ? sin ?
线

1 ? x ? ?2 2 ? t , ? 2 ( t 为参数)上的点的最近距离为 C2 : ? ? 1 ?y ? 1? t , ? 2 ?

15.(几何证明选讲选做题)如图,若直角 ?ABC 的内切圆与 斜边 AB 相切于点 D ,且 AD ? 1 , BD ? 2 ,则 ?ABC 的面积 为 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分。须写出必要的 文字说明、证明过程和演算步骤。 ? 16. (本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? sin( 2 x ? ) ? cos 2 x . 6 (1)若 f (? ) ? 1 ,求 sin ? cos ? 的值; (2)求函数 f ( x) 的单调增区间.

C

A

D

B

17. (本小题 12 分)某项竞赛分为初赛、复赛、决赛三个阶段进行,每个阶段选 手要回答一个问题.规定正确回答问题者进入下一阶段竞赛,否则即遭淘汰.已 3 1 1 知某选手通过初赛、复赛、决赛的概率分别是 , , ,且各阶段通过与否相互独 4 2 4 立. (1)求该选手在复赛阶段被淘汰的概率; (2)设该选手在竞赛中回答问题的个数为 ? ,求 ? 的分布列与方差.

18. (本小题满分 14 分)图(1)是长方体截去一个角后得到的几何体,其中底 面 ABCD 是正方形, H 为 AG 中点,图(2)是该几何体的侧视图。 (Ⅰ)判断两直线 EH 与 CD 的位置关系,并给予证明; (Ⅱ)求直线 EH 与平面 BCFE 所成角的大小。
G F 2 E H D C 2 3

A

B

图1

图 2 侧视图

19. (本小题满分 14 分)已知在数列 {an } 中, a1 ? 1 ,当 n ? 2 时,其前 n 项和 Sn 满足
1 2 S n ? an (S n ? ) 。 2
(Ⅰ) 求 Sn 的表达式; (Ⅱ) 设 bn ?

Sn 1 ,数列 {bn } 的前 n 项和 Tn .证明 Tn ? 2n ? 1 2

20. (本小题满分 14 分)如图所示,已知圆 C : ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 8, 定点A(1,0), M 为圆 上一动点,点 P 在 AM 上,点 N 在 CM 上,且满足 AM ? 2 AP, NP ? AM ? 0,点N 的 轨迹为曲线 E . (I)求曲线 E 的方程; (II) 若过定点 F (0,2) 的直线交曲线 E 于不同 的 两 点 G , H (点 G 在点 F , H 之间) , 且满足

FG ? ? FH ,求 ? 的取值范围.

21. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? (1)当 a ? 2 时,比较 f ( x) 与 1 的大小;

a ? ln x(a ? R) x ?1

9 时,如果函数 g ( x) ? f ( x) ? k 仅有一个零点,求实数 k 的取值范围; 2 1 1 1 1 (3)求证:对于一切正整数 n ,都有 ln( n ? 1) ? ? ? ? ? ? 3 5 7 2n ? 1

(2)当 a ?

韶关市 2015 届高三十校联考理科数学
参考答案及评分标准

一、选择题(每小题 5 分,共 40 分)
题号 答案 1 B 2 A 3 D 4 B 5 C 6 D 7 A 8 B

1.[解析]因为 M ? [?1,??) , N ? [?2,2] , CU M ? (??,?1) ,所以

(CU M ) I N ? [?2,?1) ,故选 B
2.[解析]因为

a ? i (a ? i)(1 ? i) a ? 1 a ? 1 ? ? ? i 是纯虚数, 1 ? i (1 ? i)(1 ? i) 2 2

所以

a ?1 ? 0 ,即 a ? 1 ,所以应选择 A 2

3.[解析]作出可行域如图中的阴影部分所示 显然当直线 y ? ?2 x ? z 时过点 A 时

z 取得最小值,而通过解方程组
?x ? 2 y ? 0 b 2b 得 A 点坐标为 ( , ) ? 3 3 ? y ? ?x ? b
由题意得 z 的最小值为 z min ?

9 2b 2b ? ? 3 ,所以 b ? ,故选择 D 4 3 3

4.[解析]由已知得 ? 4 ? a ? b ? a b cos? ? 5 cos? ,所以 cos ? ? ? 根据定义,知 a ? b ? 1 ? 5 ? sin ? ? 5 sin ? ? 3 ,所以选 B

4 3 ,所以 sin ? ? 5 5

5.[解析]由 ? // ? 及 m ? ? , n ? ? 知直线 m 与 n 有可能是异面直线,故 A 是错误的;由

m ? ? 及 m ? n 知直线 n 有可能在平面 ? 内,故 B 错误;若一个平面垂直于两条平行线中的 一条,必然也垂直于另一条,故 C 正确,应选 C

? 个单位, 再向上平移 1 个单位,所得图象的函 4 ? ? 数解析式是 y ? sin[ 2( x ? )] ? 1 ,即 y ? sin( 2 x ? ) ? 1 ,也即 4 2
6.[解析]将函数 y ? sin 2 x 的图象向左平移

y ? cos2 x ? 1,应选 D
7.[解析]若椭圆的方程知其长半轴的长为 a ,则 a ? 8
2

因为 PF1 ? PF2 ? (

PF1 ? PF2 2

)2 ? (

2a 2 ) ? a 2 ? 8 (当且仅当 PF1 ? PF2 时取“=” ) 2

故选 A 8.[解析]依定义,当 x ? [ ,2) 时,[ x] ? 1 , f ( x) ? C8 ?
x

5 4

5 8 8 ,因 f ( x) ? 在 [ ,2) 上是减 4 x x

函数,所以 f (2) ? f ( x) ? f ( ) ,即 4 ? f ( x ) ? 当 x ? [2,3) 时, [ x] ? 2 , f ( x) ? C8 ?
x

5 4

32 5

8? 7 56 ? x( x ? 1) x( x ? 1)
1 2
2

1 在 x ? [2,3) 上是增函数, 4 56 56 28 ? f ( x) ? ? f ( x) ? 28 所以 g (2) ? g ( x) ? g (3) ,即 2 ? g ( x) ? 6 ,从而 ,即 6 2 3 32 28 所以函数 f ( x) ? C8x 的值域为 (4, ] U ( ,28] ,所以选择 B 5 3
因为函数 g ( x) ? x( x ? 1) ,即 g ( x) ? ( x ? ) ?

二、填空题(每小题 5 分,共 30 分)
9. 5 ? e ;10. [ ?
2

3 5 , ] ;11. 170 ;12. a ? 4 ;13. a ? 0 或 a ? 4 ;14. 3 ;15. 2 2 2

9.[解析] 因为 ( x 2 ? e x )? ? 2 x ? e x ,所以

? (2x ? e
0

2

x

)dx ? (2 2 ? e 2 ) ? (0 2 ? e 0 ) ? 5 ? e 2
3 5 , ] 2 2

10.[解析]利用绝对值的几何意义得不等式的解集为 [ ? 11.[解析]由题意知输出 S ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 170
1 3 5 7

12.[解析] ( x ?

a x
2

r 6? r ) 6 展开式的通项为 Tr ?1 ? C6 x (?

a x
2

r ) r ? C6 ( ? a ) r x 6 ?3 r ,

2 由题意得当 6 ? 3r ? 0 ,即 r ? 2 时, T2?1 ? C6 (? a ) 2 ? 60,所以 a ? 4
3 13 . [ 解 析 ] 因 为 f (2) ? 2 ? 8 ? 0 , 且 f ( x ) 是 偶 函 数 , 所 以 不 等 式 f (a ? 2) ? 0 即 为

f ( a ? 2 ) ? f (2) ,又由 f ?( x) ? 3x 2 ? 0 ,知 f ( x) 是增函数,
所以由不等式 f ( a ? 2 ) ? f (2) 得 a ? 2 ? 2 ,解得 a ? 0 或 a ? 4 14.[解析]曲线 C1 的普通方程为 ( x ? 1) ? y ? 1,曲线 C 2 的普通方程为
2 2

x ? y ? (2 2 ? 1) ? 0 ,显然曲线 C1 上的点到曲线 C 2 上的点的最远距离为
d? 1 ? 0 ? (2 2 ? 1) 2 ?1 ? 3

15.[解析] 设 C 到 ?ABC 的内切圆的切线长为 x , 因为 AD ? 1 , BD ? 2 ,则 AC ? x ? 1 , BC ? x ? 2 由 ?ABC 是以 AB 为斜边的直角三角形得
A

C

D

B

( x ? 1) 2 ? ( x ? 2) 2 ? 9 ,即 x 2 ? 3x ? 2 ? 4
所以 ?ABC 的面积为 S ?

1 1 ( x ? 1)( x ? 2) ? ( x 2 ? 3x ? 2) ? 2 2 2

三、解答题
16.解: (1) f ( x) ? sin 2 x cos

?
6

? cos 2 x sin

?
6

?

1 ? cos 2 x ????2 分 2

3 1 ??????????3 分 sin 2 x ? 2 2 3 由 f (? ) ? 1 ,可得 sin 2? ? ??????????5 分 3 1 3 所以 sin ? ? cos ? ? sin 2? ? ??????????7 分 2 6 ? ? (2)当 ? ? 2k? ? 2 x ? ? 2k? , k ? Z , ????????9 分 2 2 ? ? 即 x ? [? ? k? , ? k? ], k ? Z 时, f ( x) 单调递增. 4 4 ? ? 所以,函数 f ( x) 的单调增区间是 [? ? k? , ? k? ], k ? Z ???12 分 4 4 ?
17.解: (1)记“该选手通过初赛”为事件A, “该选手通过复赛”为事件B, “该选手通过决 赛”为事件C,则 P ? A ? ?

3 1 1 , P ? B ? ? , P ? C ? ? ??????2分 4 2 4

3 1 那么该选手在复赛阶段被淘汰的概率 P ? P AB ? 3 4 ? ?1 ? 2 ? ? 8 ??????4分

? ?

(2) ? 可能取值为1,2,3.??????5分

P ?? ? 1? ? 1 ?

3 1 3 1 3 3 1 3 ? , P ?? ? 2 ? ? ? (1 ? ) ? , P ?? ? 3? ? ? ? ????8分 4 4 4 2 8 4 2 8

? 的分布列为:
?
P 1 2 3

1 4

3 8

3 8

??????9分

1 3 3 17 ? 的数学期望为 E? ? 1 ? ? 2 ? ? 3 ? ? ?????10分 4 8 8 8 17 1 17 3 17 3 39 ? 的方差为 D? ? (1 ? ) 2 ? ? (2 ? ) 2 ? ? (3 ? ) 2 ? ? ???????12分 8 4 8 8 8 8 64

18.解: (I)直线 EH 和 CD 是相交直线.????????1 分 证明: (方法一)连结 HD, FB, CE , 设 FB 与 CE 相交于点 O ,连结 HO (如图) 则四边形 HDCO 是平行四边形???????2 分 ∴ HD // CO 且 HD ? CO ,∴ HD // CE 且 HD ?

1 CE , 2
H

G

F E O D C B

∴ H、D、C、E 四点共面????????4 分 又∵ HD ? CE , ∴ HE 与 CD 必相交????????6 分 (方法二) (向量法) 由长方体的性质知, DA,DC,DG 两两垂直,又由侧视图 知: BC ? 2 3, CF ? 2 ,如图,以 D 为原点,分别以

A

? ? E ? 2 3, 2 3, 2 ? , F ? 0, 2 3, 2 ? , G ? 0,0,2? , H ? 3, 0,1? , ∴ HE ? ? 3, 2 3,1? , DC ? ? 0, 2 3, 0 ? DH ? ? 3, 0,1? , CE ? ? 2 3, 0, 2 ? ????4 分
z G

DA 、 DC 、 DG 为 x 、 y 、 z 轴,建立空间直角坐标系??2 分

∴相关各点坐标为: D ? 0,0,0? , A 2 3, 0, 0 , B 2 3, 2 3, 0 , C 0, 2 3, 0 ,

?

?

?

?

F E

∵ CE ? 2DH ,∴ CE // DH , 即 H、D、C、E 四点共面????5 分 又∵不存在 k ,使得 HE ? k DC ,
x A

H D B C y



HE 与 DC 不平行, ∴ HE 与 CD 相交??????????6 分 (II)由长方体的性质知, DA,DC,DG 两两垂直,如图,以 D 为原点,分别以 DA 、 DC 、 DG 为 x 、 y 、 z 轴,建立空间直角坐标系.???????? 7 分
又由侧视图知: BC ? 2 3, CF ? 2 ???????? 9 分 ∴相关各点坐标为: D ? 0,0,0? , A 2 3, 0, 0 , B 2 3, 2 3, 0 , C 0, 2 3, 0 ,

E 2 3, 2 3, 2 , F 0, 2
∴ HE ?

?

?

?

3, 2 3,1 ,???????? 10 分

?

?

? ? 3, 2 ? , G ? 0,0,2? , H ? 3, 0,1? , ? ?

?

?

?

?

又平面 BCFE 的一个法向量是 DC ? 0, 2 3, 0 记直线 EH 与平面 BCFE 所成角为 ?

∵ HE ? DC ? 3 ? 0 ? 2 3 ? 2 3 ? 1? 0 ? 12 , HE ? 4, DC ? 2 3 , ∴ sin ? ?

HE ? DC HE ? DC

?

12 3 ? ???????? 12 分 2 4?2 3

? ? ?? ,∴ ? ? ?????? 13 分 ? 3 ? 2? ? ∴直线 EH 与平面 BCFE 所成角为 .??????????14 分 3 1 2 19.解:(1)当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 代入 S n ? a n ( S n ? ) ,得 2
又∵ ? ? ?0,

2S n S n?1 ? S n ? S n?1 ? 0 ? 2 分,由于 S n ? 0 ,所以

1 1 ? ? 2 ??????? 4 分 S n S n ?1

所以 ?

?1? ? 是首项为 1 ,公差为 2 的等差数列???????? 5 分 ? Sn ?
1 1 ????????? 8 分 ? 1 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1 ,所以 S n ? 2n ? 1 Sn

从而

(2) bn ? ∴ Tn ?

Sn 1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ? ???????? 10 分 2n ? 1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?

1 1 1 1 1 1 [(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] ???????? 12 分 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 1 1 1 ? (1 ? ) ? ?????????13 分 2 2n ? 1 2 1 所以 Tn ? ?????????14 分 2
20. 【解】 (Ⅰ)因为 AM ? 2 AP, NP ? AM ? 0 所以直线 NP 为线段 AM 的垂直平分线,∴ NA ? NM ?????1 分 又因为 CN ? NM ? 2 2 ,所以 CN ? NA ? 2 2 ? 2 ? CA ∴动点 N 的轨迹是以点 C (?1,0), A(1,0) 为焦点的椭圆?????3 分 且椭圆长轴长为 2a ? 2 2 , 焦距 2c ? 2 ,? a ?

2, c ? 1, b 2 ? 1. ?????4 分

x2 ? y 2 ? 1. ?????5 分 ∴曲线 E 的方程为 2
(Ⅱ)当直线 GH 斜率存在时,设直线 GH 方程为 y ? kx ? 2 ?????6 分

代入椭圆方程

1 x2 ? y 2 ? 1. 得到 ( ? k 2 ) x 2 ? 4kx ? 3 ? 0 ??? (?) ??????7 分 2 2
2

依题意得 ? ? 0 ,即 (4k ) ? 4 ? 3 ? ( ? k ) ? 0 ,得 k ?
2 2

1 2

3 ?????8 分 2

设 G( x1 , y1 ), H ( x2 , y2 ) ,则 x1 , x 2 是方程 (?) 的两根 所以 x1 ? x2 ?

? 4k 3 ) ?????9 分 , x1 x 2 ? ???? (? ? 1 1 2 2 ?k ?k 2 2

因为 FG ? ? FH ,所以 ( x1 , y1 ? 2) ? ? ( x2 , y 2 ? 2)

故 x1 ? ?x2 ,所以 x1 ? x2 ? (1 ? ? ) x2 , x1 x2 ? ?x2 ,
2

所以 ( x1 ? x2 ) 2 ? (1 ? ? ) 2 x2 , x 2 ?
2
2

x1 x2

?

从而 ( x1 ? x 2 ) ? (1 ? ? )
2

2

x1 x 2

?

,将 (? ? ) 代入并整理得

16 (1 ? ? ) 2 ? ???10 分 3 ? ?3 2k 2

2 因为 k ?

16 16 3 (1 ? ? ) 2 16 4 ? ? ? ,所以 ,从而 4 ? 3 2 3 ? 3 ? 3 2 2k
1 ?2?

16 1 ,解得 ? ? ? 3 ??????11 分 ? 3 3 1 由题意知 0 ? ? ? 1 ,所以 ? ? ? 1 ??????12 分 3 1 1 又当直线 GH 斜率不存在时, FG ? FH ,故 ? ? ???13 分 3 3 1 所以 ? 的取值范围是 [ ,1) ??????????14 分 3 2 ? ln x ,其定义域为 (0,??) ???????1 分 21.解: (1)当 a ? 2 时, f ( x) ? x ?1
即4 ? ? ? 因为 f ?( x) ?

?2 1 x2 ?1 ? ? ? 0 ,所以 f ( x) 在 (0,??) 上是增函数????3 分 ( x ? 1) 2 x x( x ? 1) 2

故当 x ? 1 时, f ( x) ? f (1) ? 1 ;当 x ? 1 时, f ( x) ? f (1) ? 1 ; 当 x ? 1 时, f ( x) ? f (1) ? 1???????4 分 (2)当 a ?

9 9 ? ln x ,其定义域为 (0,??) 时, f ( x) ? 2 2( x ? 1)

f ?( x) ?

1 ?9 1 (2 x ? 1)(x ? 2) ,令 f ?( x) ? 0 得 x1 ? , x2 ? 2 ????6 分 ? ? 2 2 2 x 2( x ? 1) 2 x( x ? 1)

1 1 或 x ? 2 时, f ?( x) ? 0 ;当 ? x ? 2 时, f ?( x) ? 0 2 2 1 1 所以函数 f ( x) 在 (0, ) 上递增,在 ( ,2) 上递减,在 (2,??) 上递增 2 2 1 3 且 f ( x) 的极大值为 f ( ) ? 3 ? ln 2 ,极小值为 f (2) ? ? ln 2 ???????7 分 2 2
因为当 0 ? x ? 又当 x ? 0 时, f ( x) ? ?? ;当 x ? ?? 时, f ( x) ? ??
?

因为函数 g ( x) ? f ( x) ? k 仅有一个零点,所以函数 y ? f ( x) 的图象与直线 y ? k 仅 有一个交点。所以 k ? 3 ? ln 2 或 k ?

3 ? ln 2 ???????9 分 2

(3)方法一:根据(1)的结论知当 x ? 1 时, f ( x) ? 1

2 x ?1 ? ln x ? 1,即 ln x ? ???????12 分 x ?1 x ?1 k ?1 k ?1 1 ? 令x ? ,则有 ln k k 2k ? 1 2 2 3 1 4 1 n ?1 1 ? 从而得 ln ? , ln ? , ln ? , ? , ln ???????13 分 1 3 2 5 3 7 n 2n ? 1 2 3 4 n ?1 1 1 1 1 ? ? ? ??? 故得 ln ? ln ? ln ? ? ? ln 1 2 3 n 3 5 7 2n ? 1 2 3 4 n ?1 1 1 1 1 ) ? ? ? ??? 即 ln( ? ? ? ? ? 1 2 3 n 3 5 7 2n ? 1 1 1 1 1 所以 ln( n ? 1) ? ? ? ? ? ? ???????14 分 3 5 7 2n ? 1 1 (3)方法二:用数学归纳法证明:①当 n ? 1 时,不等式左边 ? ln 2 ,右边 ? 3 1 因为 3 ln 2 ? ln 8 ? 1 ,所以 ln 2 ? ,即 n ? 1 时,不等式成立???????10 分 3 1 1 1 1 ? ②假设当 n ? k (k ? N ) 时,不等式成立,即 ln( k ? 1) ? ? ? ? ? ? 3 5 7 2k ? 1 k?2 k?2 ] ? ln( k ? 1) ? ln 那么,当 n ? k ? 1 时, ln( n ? 1) ? ln( k ? 2) ? ln[( k ? 1) ? k ?1 k ?1 1 1 1 1 k?2 ? ( ? ? ??? ) ? ln ?????11 分 3 5 7 2k ? 1 k ?1 2 x ?1 ? 1,即 ln x ? 由(1)的结论知,当 x ? 1 时, ln x ? x ?1 x ?1 k?2 ?1 2k ? 1 k ? 1 1 所以 ln ???????12 分 ? ? 2k ? 1 k ? 2 2k ? 3 ?1 k ?1
即当 x ? 1 时, 即 ln(k ? 2) ?

1 1 1 1 1 ? ? ??? ? 3 5 7 2k ? 1 2(k ? 1) ? 1
1 1 1 1 ? ? ??? ???14 分 3 5 7 2n ? 1

即当 n ? k ? 1 时,不等式也成立???????13 分 综合①②知,对于一切正整数 n ,都有 ln( n ? 1) ?


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