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备战2017高考数学(精讲精练精析)专题6.1数列的通项公式与求和试题理(含解析)

专题 6.1 数列的通项公式与求和 【三年高考】 1. 【2016 高考浙江理数】设数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N ,则 a1= 【答案】 1 * ,S5= . 121 2. 【2016 高考山东理数】已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn=3n +8n, ?bn ? 是等差数列,且 an ? bn ? bn?1. 2 (Ⅰ)求数列 ?bn ? 的通项公式; (an ? 1) n?1 (Ⅱ)令 cn ? . 求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn. (bn ? 2) n 【解析】 (Ⅰ) 由题意知当 n ? 2 时,an ? S n ? S n?1 ? 6n ? 5 , 当 n ? 1 时,a1 ? S1 ? 11, 所以 an ? 6n ? 5 . 设数列 ?bn ? 的公差为 d ,由 ? ?a1 ? b1 ? b2 ?11 ? 2b1 ? d ,即 ? ,可解得 b1 ? 4, d ? 3 ,所以 bn ? 3n ? 1. ?17 ? 2b1 ? 3d ?a 2 ? b2 ? b3 100? .对数列 ?an ? n ? N * 和 U 的子集 T,若 T ? ? ,定义 ST ? 0 ; 3. 【2016 高考江苏卷】记 U ? ?1,2,…, 若 T ? ?t1 , t2 ,…,tk ? ,定义 ST ? at1 ? at2 ? …+atk .例如: T = ?1,3,66? 时, ST ? a1 ? a3 +a66 .现设 ? ? ?an ? ? n ? N * ? 是公比为 3 的等比数列,且当 T = ?2, 4? 时, ST =30 . (1)求数列 ?an ? 的通项公式; k? ,求证: ST ? ak ?1 ; (2)对任意正整数 k ?1 ? k ? 100? ,若 T ? ?1,2,…, (3)设 C ? U , D ? U , SC ? SD ,求证: SC ? SC 【解析】 (1)由已知得 an ? a1 ? 3 n?1 D ? 2SD . , n ? N * .于是当 T ? {2, 4} 时, Sr ? a2 ? a4 ? 3a1 ? 27a1 ? 30a1 .又 Sr ? 30 ,故 30a1 ? 30 ,即 a1 ? 1 .所以数列 {an } 的通项公式为 an ? 3n?1 , n ? N * . (2)因为 T ? {1, 2, , k} , an ? 3n?1 ? 0, n ? N * ,所以 1 ? 3k ?1 ? (3k ? 1) ? 3k .因此, Sr ? ak ?1 . 2 D Sr ? a1 ? a2 ? ? ak ? 1 ? 3 ? (3)下面分三种情况证明.①若 D 是 C 的子集,则 SC ? SC ②若 C 是 D 的子集,则 SC ? SC D ? SC ? SD ? SD ? SD ? 2SD . ? SC ? SC ? 2SC ? 2SD . CU D , F ? D CU C 则 E ? ? , F ? ? , ③若 D 不是 C 的子集,且 C 不是 D 的子集.令 E ? C E F ?? . D, 于是 SC ? SE ? SC SD ? SF ? SC D ,进而由 SC ? SD ,得 SE ? SF .设 k 是 E 中的最大数, l 为 F 中的 l ?1 最大数,则 k ? 1, l ? 1, k ? l .由(2)知, S E ? ak ?1 ,于是 3 即 l ? k .又 k ? l ,故 l ? k ? 1 ,从而 S F ? a1 ? a2 ? 故 SE ? 2SF ? 1,所以 SC ? SC ? al ? SF ? SE ? ak ?1 ? 3k ,所以 l ? 1 ? k , ?3 l ?1 ? al ? 1 ? 3 ? 3l ? 1 ak ? 1 S E ? 1 ? ? ? , 2 2 2 D ? 2(SD ? SC D ) ? 1,即 SC ? SC D ? 2SD ? 1.综合①②③得, SC ? SC D ? 2SD . 4. 【2016 高考天津理数】 已知 ?an ? 是各项均为正数的等差数列, 公差为 d , 对任意的 n ? N ?, bn 是 an 和 an ?1 的等差中项. (Ⅰ)设 cn ? bn?1 ? bn , n ? N ,求证: ?cn ? 是等差数列; 2 2 * (Ⅱ)设 a1 ? d , Tn ? ? ? ?1? k ?1 2n n bn 2 , n ? N * ,求证: ? 1 1 ? 2. 2d k ?1 Tk n 5. 【2015 高考新课标 2, 理 16】 设 Sn 是数列 ?an ? 的前 n 项和, 且 a1 ? ?1 , 则 Sn ? ________. an?1 ? Sn Sn?1 , 【答案】 ? 1 n 【解析】由已知得 an?1 ? Sn?1 ? Sn ? Sn?1 ? Sn ,两边同时除以 Sn?1 ? Sn ,得 ?1? 1 1 ? ? ?1,故数列 ? ? 是 Sn ?1 Sn ? Sn ? 以 ?1 为首项, ?1 为公差的等差数列,则 1 1 ? ?1 ? (n ? 1) ? ?n ,所以 S n ? ? . n Sn * 6.【2015 江苏高考,11】数列 {an } 满足 a1 ? 1 ,且 an?1 ? an ? n ? 1 ( n ? N ) ,则数列 { 1 } 的前 10 项和 an 为 【答案】 20 11 ? (a2 ? a1 ) ? a1 ? n ? n ? 1 ? ? 2 ?1 ? n(n ? 1) ,所以 2 【解析】由题意得: an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? 1 1 1 1 2n 20

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