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空间向量正交分解


高二数学·理·空间向量的正交分解及其坐标表示

高二数学·选修 2-1·学案
课题 学习要求 空间向量的正交分解及其坐标表示 1、了解空间向量的正交分解的含义 2、掌握空间向量基本定理,并能用基本定理解决一些简单问题 3、掌握空间向量的坐标表示,能在适当的坐标系中写出向量的坐标

教学过程: 一、空间向量基本定理 1、填写《新学案》P163 【预习提纲】1 和 2 2、关于空间向量基本定理的说明: 1)三个向量 a, b, c 可以作为基底的前提是三个向量不共面; 2)如果参与运算还需要具备条件 1 2 ○ a, b, c 的模已知;○两两的夹角已知。 3)三个向量不共面,就隐含着它们都不是零向量. 知识点一 向量基底的判断 【例题 1】

? ? ?

? ? ?

已知向量{ a, c }是空间的一个基底,那么向量 a+b a-b c 能构成空间的一个基底 b, , , 吗?为什么?

???

? ?? ??

【练习 1】 以下四个命题中正确的是( ) A.空间的任何一个向量都可用其它三个向量表示

b, b, B.若{ a, c }为空间向量的一组基底,则 a, c 全不是零向量 ??? → ? C.△ABC 为直角三角形的充要条件是 AB · =0 AC D.任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底

???

???

知识点二 用基底表示向量
1

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→ → → 【例题 2】在平行六面体 ABCD-A′B′C′D′中,-*6]· =a,AD=b,AA′=c, OC P 是 CA′的中点,M 是 CD′的中点,N 是 C′D′的中点,点 Q 是 CA′上的点,且 CQ∶QA′=4∶1,用基底{a,b,c}表示以下向量: (1) AP ; (3) AN ;

??? ?

????

→ (2)AM; → (4)AQ.

【练习 2】 已知三棱锥 A—BCD. ? → → 1 ??? (1)化简 ( AB +AC-AD)并标出化简结果的向量; 2 ??? → → ? → (2)设 G 为△BCD 的重心,试用 AB ,AC,AD表示向量AG.

二、空间向量的正交分解及其坐标表示
2

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1、填写《新学案》P163 【预习提纲】3 知识点三 求空间向量的坐标 【例题 3】已知 PA 垂直于正方形 ABCD 所在的平面,M、N 分别是 AB,PC 的三等 分点且 PN=2NC,AM=2MB,PA=AB=1,求 MN 的坐标.

???? ?

? ,|AO| = 4,?|BO|?= 2, 2 ???? ???? ? |AA1| = 4, 为 A1B1 的中点, D 建立适当的空间直角坐标系并求? DO, A1B ?的坐标.
【练习 3】在直三棱柱 ABO—A1B1O1 中,∠AOB= ?

【小结】

3

高二数学·理·空间向量的正交分解及其坐标表示

当堂达标
1、 设 O-ABC 是四面体,G1 是△ABC 的重心,G 是 OG1 上的一点,且 OG=3GG1, ???? → → → 若?? OG =xOA+yOB+zOC,则(x,y,z)为( ) 1 1 1 3 3 3 A.( , , ) B.( , , ) 4 4 4 4 4 4 1 1 1 2 2 2 C.( , , ) D.( , , ) 3 3 3 3 3 3 2、在以下 3 个命题中,真命题的个数是( )

??? ??? ?? ?? ②若两个非零向量 a, 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底,则 a, 共线; b ?? ? ?b ? ? ? ? ③若 a, 是两个不共线向量,而 c ? a ?b (λ,μ∈R 且 λμ≠0),则{ a, c }构成空 b b, = +
①三个非零向量 a, c 不能构成空间的一个基底,则 a, c 共面; b, b,

间的一个基底. A.0 B.1 C.2 D.3

3、已知点 A 在基底{ a, c }下的坐标为(8,6,4),其中 a i j, j+k, k+i ,则 b, =+ b = c= 点 A 在基底{ i, k }下的坐标是( j, A.(12,14,10) C.(14,12,10)

???

? ? ?? ? ?? ? ? ? ?

? ?? ?

) B.(10,12,14) D.(4,3,2)

4、在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,下列关于 AC1 ?的表达式中: ???? → → ① AA1 +A1B1+A1D1; ??? ? → → ② AB +DD1+D1C1; ???? → → ③? AD +DD1+D1C1; ④

???? ?

1 ???? → ( AB1 +CD1)+A→ 1 1C 2

正确的个数是________个.

4

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流水小学案

? ? ? ? ? ? 已知 a ? 1 , b ? 1 , 3a ? 2b ? 3 ,求 3a ? b

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