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浙江省2015年普通高校招生考试试测数学(文)试题


浙江省 2015 年普通高校招生考试试测

数学(文)试题
一、 选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。 在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题 目要求的。 1.设集合 S={x|3<x≤6},T={x|x2-4x-5≤0},则 S∪ T= A.[-1,6] C.(-∞,-1)∪ (6,+∞) A.充分不必要条件 C.充分必要条件 3.设 α 为平面,m,n 为直线. A.若 m,n 与 α 所成角相等,则 m∥ n C.若 m,n 与 α 所成角互余,则 m⊥ n 4.已知 a,b∈ R,且 a2>b2. A.若 b<0,则 a>b C.若 a>b,则 a>0 B.若 b>0,则 a<b D.若 b>a,则 b>0
(第 5 题图)

B.(3,5] D.(-∞,3]∪ (5,+∞) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

2.已知△ABC 和△DEF,则“△ABC 与△DEF 全等”是“△ABC 和△DEF 面积相等”的

B.若 m∥ α,n∥ α,则 m∥ n D.若 m∥ α,n⊥ α,则 m⊥ n

5.某几何体的立体图如图所示,该几何体的三视图不 可能是 . A.
正视图 侧视图

B.
正视图 侧视图

C.
正视图 侧视图

D.
正视图 侧视图

俯视图

俯视图

俯视图

俯视图

6.若函数 y=sin 2x 的图象向左平移 A.f (x)=cos 2x C.f (x)=-cos 2x

π 个单位得到 y=f (x)的图象,则 4
B.f (x)=sin 2x D.f (x)=-sin 2x

7.现有 90 kg 货物需要装成 5 箱,要求每一箱所装货物的重量不超过其它任一箱所装货物 重量的 2 倍.若某箱所装货物的重量为 x kg,则 x 的取值范围是 A.10≤x≤18 B.10≤x≤30 C.18≤x≤30
[来源:学科网 ZXXK]

D.15≤x≤30

? ?x 1 ? x2 , x ? 0 , 8.已知函数 f (x)=x+ln ( x 2 ? 1 +x),g(x)= ? 则 2 ? ? ? x 1? x , x ? 0 .

A.f (x)是奇函数,g(x)是奇函数 C.f (x)是奇函数,g(x)是偶函数

B.f (x)是偶函数,g(x)是偶函数 D.f (x)是偶函数,g(x)是奇函数

9.在△ABC 中,已知∠ BAC 的平分线交 BC 于点 M,且 BM : MC=2 : 3.若∠ AMB=60° , AB ? AC 则 = BC A.2 B. 5 C. 7
R B).

D.3

[来源:学科网 ZXXK]

10.设 A,B,C 为全集 R 的子集,定义 A-B=A∩( A.若 A∩B ? A∩C,则 B ? C C.若 A-B ? A-C,则 B ? C 11.已知 a,b∈ R,若 4a=23
-2b

B.若 A∩B ? A∩C,则 A∩(B-C)= ? D.若 A-B ? A-C,则 A∩(B-C)= ?

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分。 ,则 a+b=________. .

12.圆心为 (11) , 且与直线 x ? y ? 4 相切的圆的方程是 13.已知实数 a,b 满足 a3-b3=4,a2+a b+b2+a-b=4, 则 a-b= .

?x ? y ? 2 ? 0 , ? 14.实数 x,y 满足 ?2x ? y ? 1 ? 0 , 则 3x+4y 的最大值是 ?y ? 5 ? 0 , ?



15.设 F1,F2 是双曲线的两个焦点.若此双曲线上存在点 P 满足|PF1|=3|PF2|,则该双曲线 的离心率的取值范围是 16.已知单位向量 a,b 的夹角为 序数对 (λ,μ) = . . .

π .设单位向量 c=λ a+μ b (λ>0,μ∈ R),若 c⊥ a,则有 3

17.若实数 a,b,c 满足 2a+b=4,且 a b+c=5,则 a b c 的最大值是 (代入换元)

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18.(本题满分 14 分) 已知 0≤φ<π,函数 f (x)=

3 cos (2x+φ)+sin 2 x. 2

π ,求 f (x)的值域; 6 3 (Ⅱ ) 若 f (x)的最大值是 ,求 φ 的值. 2
(Ⅰ ) 若 φ=

19.(本题满分 14 分) 在△ ABC 中,内角 A,B,C 的对 边分别为 a,b,c,且 2a cos C+c

=2b. (Ⅰ ) 求角 A 的大小; (Ⅱ ) 若 a2=3bc,求 ta n B 的值.

20. (本题满分 15 分) 已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n2 (n∈ N*).设数列{ 为 T n. (Ⅰ ) 求 T n; (Ⅱ ) 求 正整数 m,n (m≠n),使得 T1,Tm,Tn 成等比数列.

1 }的前 n 项和 an an ?1

21.(本题满分 15 分) 设平面 ABCD⊥ 平面 ABEF,AB∥ CD, AB∥ EF, ∠ BAF=∠ ABC=90° , BC=CD=AF=EF=1, AB=2. (Ⅰ ) 证明:CE∥ 平面 ADF; (Ⅱ ) 求直线 DF 与平面 BDE 所成角的正弦值.
C B

E

F

A D (第 20 题图)

22.(本题满分 14 分) 设抛物线 y2=4x 的焦点为 F,过点(

1 ,0) 2

y M O F P

Q

x

的动直线交抛物线于不同两点 P,Q,线段 PQ 中点为 M, 射线 MF 与抛物线交于点 A. (Ⅰ ) 求点 M 的轨迹方程; (Ⅱ ) 设直线 PQ 的斜率为 k ,用 k 表示△ APQ 的面积.

测试卷答案及评分参考 数学 (文科)
说明: 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力, 并给出了一种或几种解法供参考, 如 果考生的解法与本解答不同 , 可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细 则。 二、 对计算题, 当考生的 解答在某一步出现错误时, 如果后续部分的解答未改变该题的 内容和难度, 可视影响的程度决定后续部分的给分 , 但 不得超过该部分正确解答应得分数 的一半;如果后续部分的解答有较严重的错误, 就不再给分。 三、解答右端所注分数, 表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 四、只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。 五、未在规定区域内答题,每错一个区域扣卷面总分 1 分。

一、选择题: 本题考查基本知识和基本运算。每小题 5 分,满分 50 分。 1.A 6.A 2.A 7.B 3.D 8.C 4.C 9.C 5.C 10.B

二、填空题:本题考查基本知识和基本运算。每小题 4 分,满分 28 分。 11.

3 2

12. ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 2
2 2

13.2

14.-7

15.(1,2]

16.(

3 2 3 ,- ) 3 3

17.6

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分。 18.本题主要考查两角和差公式、二倍角公式、三角函数性质等基础知识,同时考查运算 求解能力。满分 14 分。 (Ⅰ ) 由题意 f (x)=
3 1 1 cos 2x- sin 2x+ 4 4 2 π 1 1 = cos (2x+ )+ , 2 2 3

所以,函数 f (x)的值域为 [0,1]. (Ⅱ ) 由题意

………… 6 分

3 1 1 3 cos φ- ) cos 2x- sin φ sin 2x+ , 2 2 2 2 3 由于函数 f (x)的最大值为 ,即 2

f (x)=(

3 1 3 cos φ- )2+( sin φ)2=1, 2 2 2 从而 cos φ=0,又 0≤φ<π,故 π φ= . 2

(

………… 14 分

19.本题主要考查正、余弦定理、三角变换,同时考查运算求解能力。满分 14 分。 (Ⅰ ) 由题意及正弦定理得 2 sin A cos C+sin C=2 sin B =2 sin (A+C) =2 (s in A cos C+cos A sin C), 即 sin C (2 cos A-1)=0.因为 sin C≠0,所以 cos A= A= (Ⅱ ) 由 A=

1 ,从而得 2
………… 6 分

π . 3

π 及余弦定理得 3
b2+c2-bc=a2=3bc, b2+c2-4bc=0,

即 所以

b =2± 3 . c
当 又 sin C=sin ( 故

b =2+ 3 时, c

1 2π 3 -B)= cos B+ sin B, 2 2 3

tan B b sin B = = =2? 3 , c sin C 3 1 ? tan B 2 2
所以 tanB=-2- 3 . 当

b =2- 3 时,同理得 c
tan B=2- 3 .

综上所述,tan B=2+ 3 或 2- 3 .

………… 14 分

20.本题主要考查等差数列、等比数列的概念、通项 公式、求和公式等基础知识,同时考查 运算求解能力。满分 15 分。 (Ⅰ ) 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2n-1.又 a1=S1=1,故 an= 2n-1 (n∈ N*).所以

1 1 1 1 = ( ? ). an an ?1 2 2n ? 1 2n ? 1

1 1 n Tn= ( . 1? )= 2 2n ? 1 2n ? 1
(Ⅱ ) T n=
1 n = (n∈ N*),所以{Tn}是递增数列. 2n ? 1 2+ 1 n

………… 5 分

2 由 Tm =T1 ? Tn 得 (2+

1 2 3 1 ) =6+ >6, 故 2+ > 6 ,又 m≠n,所以 n m m
1<m<
2? 6 2

( m∈ N*),

即 m=2,解得 n =12. 所以,当 m=2,n=12 时,T1,Tm,Tn 成等比数列. ………… 15 分

21.本题主要考查空间点、线、面位置关系,线面所成的角等基础知识,同时考查空间想 象能力和推理论证能力。满分 15 分。 (Ⅰ ) 因为 AB∥ CD ,AB∥ EF,所以 CD∥ EF. 又因为 CD=EF,所以,四边形 CDFE 是平行四边形. 故 CE∥ DF,因此 CE∥ 平面 ADF. ………… 5 分
C B H Q O D (第 20 题图) E G F

A

(Ⅱ ) 取 AB 中点 G,连结 CG 交 BD 于点 O,连结 EO. 因为 CE∥ DF, 所以 DF 与平面 BDE 所成角等于 CE 与平 面 BDE 所成角.

因为 AB⊥ AF,平面 ABCD⊥ 平面 ABEF,所以,AF⊥ 平面 ABCD. 又 EG∥ AF,从而 EG⊥ 平面 ABCD.所以 EG⊥ BD. 在正方形 BCDG 中, BD⊥ CG,故 BD⊥ 平面 ECG,所以, 平面 BDE⊥平面 ECG. 在平面 CEO 中,作 CH⊥ EO,交直线 EO 于点 H .得 CH⊥ 平面 BDE.所以 ∠ CEH 是 CE 与平面 BDE 所成角. 过点 G 作 GQ⊥ EO,因为 OC=OG,所以 CH=GQ= 以 sin∠ CEH= 21 22.本题主要考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系、三角形面积公式等基础知 识,同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力。满分 14 分。
3 .又 CE=DF= 3 ,所 3

1 CH = . 3 CE

………… 15 分

(Ⅰ ) 设直线 PQ 方程为 x=t y+

1 ,代入 y2=4x 得 2
y2-4t y-2=0.

设 P (x1,y1),Q (x2,y2),则 y1+y2=4t, y1 y2=-2, x1+x2=4t2+1, 所以 M (2t2+

1 ,2t). 2

1 ? 2 ? x ? 2t ? , 设 M (x,y),由 ? 2 消去 t 得中点 M 的轨迹方程为 ? y ? 2 t , ? y 2=2x-1. ……… 6 分 1 (Ⅱ ) 设 FA ? ? FM (? ? 0) ,A (x0,y0),又 F (1,0),M (2t2+ ,2t),于是 2 1 ? 2 ? x0 ? 2?t ? ? ? 1, 2 ? ? ? y0 ? 2?t.
由点 A 在抛物线 y2=4x 上,得

1 (? 2 ? 2? )t 2 ? ? ? ? 1, 2
又 λ<0,所以 t2= ?

1 ,点 A 到直线 PQ 的距离 2?
d=

? ?1
2 1? t2



又 |PQ|= 1 ? t 2 |y1-y2| ? 2 (1 ? t 2 )(4t 2 ? 2) . 所以,△ APQ 面积 S=

2 (? ? 1)3 2 1 2t 2 ? 1 |λ-1|= . ? |PQ| ? d= 2 2 ? 2

设 f (λ)= 函数,在(-

(? ? 1)3

?

,λ<0, 有 f ' (λ)=

? ? ? 1? ? 2? ? 1?
2

?

2

,故 f (λ)在(-∞,-

1 )上是减 2

1 1 ,0)上是增函数,因此,当 λ=- 时 f (λ)取到最小值. 2 2
3 6 . 4

所以,△ APQ 面积的最小值是

……… 14 分


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