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等比数列知识点总结及题型归纳(5.17)


等比数列知识点总结及题型归纳
1、等比数列的定义: 2、通项公式:
an ? a1q n ?1 ? a1 n q ? A ? B n ? a1 ? q ? 0, A ? B ? 0 ? ,首项: a1 ;公比: q q
an a ? q ? n?m n am am

an ? q ? q ? 0 ? ? n ? 2, 且n ? N * ? , q 称为公比 an?1

推广: an ? am q n ? m ? q n ? m ?

3、等比中项: (1)如果 a, A, b 成等比数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项,即: A2 ? ab 或

A ? ? ab
注意:同号的两个数才有等比中项,并且它们的等比中项有两个( (2)数列 ?an ? 是等比数列 ? an 2 ? an?1 ? an?1 4、等比数列的前 n 项和 Sn 公式: (1)当 q ? 1 时, Sn ? na1 (2)当 q ? 1 时, Sn ?
?

a1 ?1 ? q n ? 1? q

?

a1 ? an q 1? q

a1 a ? 1 q n ? A ? A ? B n ? A ' B n ? A ' ( A, B, A ', B ' 为常数) 1? q 1? q

5、等比数列的判定方法: (1) 用定义: 对任意的 n , 都有 an?1 ? qan或
an?1 ? q(q为常数,an ? 0) ? {an } an

为等比数列 (2)等比中项: an 2 ? an?1an?1 (an?1an?1 ? 0) ? {an } 为等比数列 (3)通项公式: an ? A ? Bn ? A ? B ? 0? ? {an } 为等比数列 6、等比数列的证明方法: a 依据定义:若 n ? q ? q ? 0 ? ? n ? 2, 且n ? N * ? 或 an?1 ? qan ? {an } 为等比数列 an?1 7、等比数列的性质: (2)对任何 m, n ? N * ,在等比数列 {an } 中,有 an ? amqn?m 。 (3)若 m ? n ? s ? t (m, n, s, t ? N * ) ,则 an ? am ? as ? at 。特别的,当 m ? n ? 2k 时, 得 an ? am ? ak 2 注: a1 ? an ? a2 ? an?1 ? a3an?2 ???
a k (4)数列 {an } ,{bn } 为等比数列,则数列 { } ,{k ? an } ,{an k } ,{k ? an ? bn } ,{ n } bn an

( k 为非零常数)均为等比数列。 (5)数列 {an } 为等比数列,每隔 k (k ? N * ) 项取出一项 (am , am?k , am?2k , am?3k , ???) 仍 为等比数列
1

(6)如果 {an } 是各项均为正数的等比数列,则数列 {log a an } 是等差数列 (7)若 {an } 为等比数列,则数列 Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n , ??? ,成等比数列 (8) 若 {an } 为等比数列, 则数列 a1 ? a2 ????? an ,an?1 ? an?2 ????? a2n ,a2n?1 ? a2n?2 ??????a3n 成等比数列 (9)①当 q ? 1 时, {a1 ? 0,则{an }为递减数列
a1 ? 0,则{ an }为递减数列 { ②当 0<q ? 1时, a1 ? 0,则{an }为递增数列

a1 ? 0,则{an }为递增数列

③当 q ? 1 时,该数列为常数列(此时数列也为等差数列) ; ④当 q ? 0 时,该数列为摆动数列. (10)在等比数列 {an } 中,当项数为 2n(n ? N * ) 时,

S奇 1 ? S偶 q

二、 考点分析 考点一:等比数列定义的应用 1 4 1、数列 ?an ? 满足 an ? ? an ?1 ? n ? 2 ? , a1 ? ,则 a4 ? _________. 3 3 2 、 在 数 列 ?an ? 中 , 若 a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 1? n ? 1? , 则 该 数 列 的 通 项

an ? ______________.
考点二:等比中项的应用 1、已知等差数列 ?an ? 的公差为 2 ,若 a1 , a3 , a4 成等比数列,则 a2 ? (
?4 A.


?10 D.


?6 B.

?8 C.

2、若 a 、 b 、 c 成等比数列,则函数 y ? ax2 ? bx ? c 的图象与 x 轴交点的个数为(

A. 0

C. 2 D.不确定 20 3、已知数列 ?an ? 为等比数列, a3 ? 2 , a2 ? a4 ? ,求 ?an ? 的通项公式. 3 考点三:等比数列及其前 n 项和的基本运算 2 9 1 1、若公比为 的等比数列的首项为 ,末项为 ,则这个数列的项数是( ) 3 8 3 A.3 B.4 C.5 D .6 2 、 已 知 等 比 数 列 ?an ? 中 , a3 ? 3 , a10 ? 384 , 则 该 数 列 的 通 项

B. 1

an ? _________________.
3、若 ?an ? 为等比数列,且 2a4 ? a6 ? a5 ,则公比 q ? ________. 4、设 a1 , a2 , a3 , a4 成等比数列,其公比为 2 ,则 A.
1 4

2a1 ? a2 的值为( 2a3 ? a4



B.

1 2

C.

1 8

D. 1

考点四:等比数列及其前 n 项和性质的应用
2

1、在等比数列 ?an ? 中,如果 a6 ? 6 , a9 ? 9 ,那么 a3 为(
3 16 C. 2 9 2、如果 ?1 , a , b , c , ?9 成等比数列,那么( ) A. b ? 3 , ac ? 9 B. b ? ?3 , ac ? 9 C. b ? 3 , ac ? ?9 D. b ? ?3 , ac ? ?9

) D. 2

A. 4

B.

3、在等比数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , a10 ? 3 ,则 a2a3a4a5a6a7 a8a9 等于( A. 81
b9 A. 8 a

) )
10

B. 27 5 27
9

C. 3

D. 243

4、在等比数列 ?an ? 中,a9 ? a10 ? a ? a ? 0? ,a19 ? a20 ? b ,则 a99 ? a 1 0 0 等于(

b10 ?b? ?b? B. C . D. ? ? ? ? 9 a ?a? ?a? 2 5、在等比数列 ?an ? 中, a3 和 a5 是二次方程 x ? kx ? 5 ? 0 的两个根,则 a2 a4 a6 的

值为( A. 25 于

) B. 5 5 C. ?5 5 D. ?5 5

6、若 ?an ? 是等比数列,且 an ? 0 ,若 a2a4 ? 2a3a5 ? a4a6 ? 25 ,那么 a3 ? a5 的值等

? S , (n ? 1) 考点五:公式 an ? ? 1 的应用 ? Sn ? S n ?1 , (n ? 2) 1.等比数列前 n 项和 Sn=2n-1,则前 n 项的平方和为( ) 1 n 1 n n 2 2 n A.(2 -1) B. (2 -1) C.4 -1 D. (4 -1) 3 3 n 2. 设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn=3 +r,那么 r 的值为______________.
3.设数列{an}的前 n 项和为 Sn 且 S1=3,若对任意的 n∈N*都有 Sn=2an-3n. (1)求数列{an}的首项及递推关系式 an+1=f(an); (2)求{an}的通项公式; (3)求数列{an}的前 n 项和 Sn.

3

考点六:数列求和 方法:(1)公式法;(2)分组求和法;(3)错位相减法
1.求和( 1+2)( + 3+22)( + 5+23) + +[(2n-1) +2 n ]

2.已知数列{a n }, a n =(n+1) ? 2n , 求数列{a n }的前n项和。 3.已知数列{b n }, b n =(2n-1) ? 3n , 求数列{b n }的前n项和。

4


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