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第29届全国中学生物理竞赛复赛试卷答案与评分标准_图文

1 2 3 4 5 6 7 8 第 29 届全国中学生物理竞赛复赛试卷答案与评分标准 一、 参考解答: 由 于 湖 面 足 够 宽 阔 而 物 块 体 积 很 小 ,所 以 湖 面 的 绝 对 高 度 在 物 块 运 动 过 程 中始终保持不变,因此,可选湖面为坐标原点并以竖直向下方向为正方向建立 坐标系,以下简称 x系. 设物块下底面的坐标为 x,在物块未完全浸没入湖水 时,其所受到的浮力为 f b ? b2 x ? g 式 中 g 为 重 力 加 速 度 .物 块 的 重 力 为 fg ? b3 ??g ( x?b) (1) (2 ) 设 物块的加速度为 a,根据牛顿第二定律有 b3 ??a ? fg ? fb (3) 将 (1) 和 (2) 式 代 入 (3 ) 式 得 a?? ?g ? ?? ? x ? b? ? ? ?b ? ? ? (4 ) 将 x 系 坐 标 原 点 向 下 移 动 ? ?b / ? 而 建 立 新 坐 标 系 , 简 称 X 系 . 新 旧 坐 标 的 关 系 为 X ? x? ?? b ? (5) 把 (5) 式 代 入 (4 ) 式 得 a?? ?g X ? ?b (6) (6) 式 表 示 物 块 的 运 动 是 简 谐 振 动 . 若 X ? 0 , 则 a ? 0 , 对 应 于 物 块 的 平 衡 位 置 . 由 (5) 式 可 知 , 当 物 块 处 于 平 衡 位 置 时 , 物 块 下 底 面 在 x 系 中 的 坐 标 为 ?? x0 ? b (7) ? 物块运动方程在 X 系中可写为 X (t ) ? Acos ??t ? ? ? 利用参考圆可将其振动速度表示为 (8 ) V (t ) ? ? A?sin ??t ? ? ? 式中 ?为振动的圆频率 (9) ?? ? g ?' b (10) 在 (8) 和 (9) 式 中 A 和 ? 分 别 是 振 幅 和 初 相 位 , 由 初 始 条 件 决 定 . 在 物 块 刚 被 释 放 时 , 即 t ? 0 时 刻 有 x = 0 , 由 (5) 式 得 9 X (0) ? ? ?? b ? V (0) ? 0 (11) (12) 由 (8) 至 (12 ) 式 可 求 得 A? ?? b ? (13 ) (14 ) ? ?? 将 (10) 、 (13 ) 和 (14 ) 式 分 别 代 人 (8 ) 和 (9 ) 式 得 X (t ) ? ?? b cos ??t ? ? ? ? (15) V (t ) ? ? ?? gb sin ??t ? ? ? ? (16 ) 由 (15) 式 可 知 , 物 块 再 次 返 回 到 初 始 位 置 时 恰 好 完 成 一 个 振 动 周 期 ; 但 物 块 的 运 动 始 终 由 (15) 表 示 是 有 条 件 的 , 那 就 是 在 运 动 过 程 中 物 块 始 终 没 有 完 全 浸 没 在湖水中. 若物块从某时刻起全部浸没在湖水中,则湖水作用于物块的浮力变 成恒力,物块此后 的 运动将不再是简谐 振 动,物块再次返回 到 初始位置所需的 时间也就不再全由振动的周期决定. 为此,必须研究物块可能完全浸没在湖水 中的情况. 显然,在 x系中看,物块下底面坐标为 b 时,物块刚好被完全浸没; 由 (5) 式 知 在 X 系 中 这 一 临 界 坐 标 值 为 ? ?? ? X ? X b ? ?1 ? ? b ( 17 ) 即 ?? ? 物 块 刚 好 完 全 浸 没 在 湖 水 中 时 ,其 下 底 面 在 平 衡 位 置 以 下 X b 处 . 注 意 到 在 振 动 过程中,物块下底面离平衡位置的最大距离等于振动的振蝠 A,下面分两种情 况讨论: I . A ? X b . 由 (13 ) 和 (17 ) 两 式 得 (18 ) ? ? 2? ? 在这种情况下,物块在运动过程中至多刚好全部浸没在湖水中. 因而,物块从 初 始 位 置 起 , 经 一 个 振 动 周 期 , 再 次 返 回 至 初 始 位 置 . 由 (10 ) 式 得 振 动 周 期 T? 2? ? ? 2? ? ?b ?g (19) 物 块 从初始位置出发往返一次所需的时间 t I ? T ? 2? ? ?b ?g (20) II . A ? X b . 由 (13) 和 (17) 两 式 得 ? ? 2? ? (21 ) 在这种情况下,物块在运动过程中会从某时刻起全部浸没在湖水表面之下. 设 从 初 始 位 置 起 , 经 过 时 间 t1 物 块 刚 好 全 部 浸 入 湖 水 中 , 这 时 X ? t1 ? ? X b . 由 (15) 和 (17) 式 得 10 ?? ?? cos ?? t1 ? ? ? ? 1 ? ? ? 取合理值,有 t1 ? ?? ?? ? ?b ? ?? ? arccos ? ? 1?? ?g ? ? ? ? ?? (2 2) (23) 由 上 式 和 (16 ) 式 可 求 得 这 时 物 块 的 速 度 为 ?? V ( 1t ) ?? ? ?? ? g b1 ? -? ? ? 1 ?? ? 2 (24 ) 此 后 , 物 块 在 液 体 内 作 匀 减 速 运 动 , 以 a? 表 示 加 速 度 的 大 小 , 由 牛 顿 定 律 有 ? ? ?? a? ? g (2 5 ) ?? 设 物 块 从 刚 好 完 全 浸 入 湖 水 到 速 度 为 零 时 所 用 的 时 间 为 t2 , 有 V ? t1 ? ? a?t2 ? 0 由 (24)-(26 ) 得 ?? ? ?? b? ? t2 ? 1 ? ? ? 1? ( ? ? ? ?) g ? ? ?? ? 2 (26 ) (

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