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www.69669g.com:高中数学必修2《圆的标准方程》教案

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【教案设计】
课题:《圆的标准方程》 教材:普通高中课程标准试验教科书人教 A 版数学必修 2 §4.1.1 一、教学目标: (1) 知识目标:①掌握圆的标准方程; ②会由圆的标准方程写出圆的半径和圆心坐标,能根据不同条件写出 圆的标准方程; ③利用圆的标准方程解决简单的实际问题. (2) 能力目标:①进一步培养学生用代数方法研究几何问题的能力; ②加深对数形结合思想的理解和加强对待定系数法的运用; ③增强学生用数学的意识. (3) 情感目标:①培养学生主动探究知识、合作交流的意识; ②在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣. 二、教学重点、难点 (1)重点: 圆的标准方程的求法及其应用. (2)难点: ①会根据不同的已知条件求圆的标准方程; ②选择恰当的坐标系解决与圆有关的实际问题. 三、教学方法与手段 1.教学方法 采用“启发式”问题教学法,用环环相扣的问题将探究活动层层深入. 2.教学手段 多媒体课件进行辅助教学. 四、教学过程 整个教学过程是由八个问题组成的问题链驱动的,共分为五个环节: 创设情境 例 启迪思维 深入探究 获得新知 反馈训练 形成方法 小结反思 应用举 拓展引申

巩固提高

(一) 创设情境——启迪思维 问题一 已知隧道的截面是半径为 4m 的半圆,车辆只能在道路中心线一侧行驶,一辆 宽为 2.7m,高为 3m 的货车能不能驶入这个隧道?

通过对这个实际问题的探究,根据半圆的对称性建立平面直角坐标系,构建数学模型. 把学生的思维由用勾股定理求线段 CD 的长度转移为用曲线的方程求 D 点的纵坐标来解决. 同 时学生自己推导出了圆心在原点, 半径为 4 的圆的标准方程, 从而很自然的进入了本课的主 题.

【设计意图】用实际问题创设问题情境,让学生感受到问题来源于实际,应用于实际, 激发了学生的学习兴趣和学习欲望.这样获取的知识,不但易于保持,而且易于迁移. 通过对问题一的探究, 抓住了学生的注意力, 把学生的思维引到用坐标法研究圆的方程 上来,此时再把问题深入,进入第二环节. (二)深入探究——获得新知 问题二 1.根据问题一的探究能不能得到圆心在原点,半径为 的圆的方程? 2.如果圆心为 ( a, b) ,半径为 时圆的方程又如何呢? 这一环节我首先让学生对问题一进行归纳,由勾股定理 得到圆心在原点、 半径为 4 的圆的标准方程 x2 ? y 2 ? 42 后, 引导学生归纳出圆心在原点、半径为 r 的圆的标准方程

x2 ? y 2 ? r 2 .然后再让学生对圆心不在原点的情况进行探
究.我预设了三种种方法等待着学生的探究结果,分别是: 坐标法、勾股定理法、图形变换法. 坐标法:引导学生根据圆的定义,圆上的点到圆心的距离等于常数,即两点距离公式推 导圆心不在原点的标准方程. 推导过程: 圆是这样一些点的集合 P={M|︱MC︱=r} 已知圆心C ( a, b) 半径 r

根据两点间的距离公式,圆上任意一点 M 的坐标(x, y) 满足的关系式

? x ? a? ? ? y ? b?
2

2

?r
2

化简,得到圆的标准方程

? x ? a?

? ? y ? b? ? r2
2

图形变换法:借助多媒体的演示,让学生体会平移的过程, 让学生了解利用图像平移的知 识也可推导圆心不在坐标原点的标准方程. 得出圆的标准方程后,我设计了由浅入深的三个应用平台,进入第三环节.. (三)应用举例——巩固提高 I.直接应用 问题三 内化新知 1.写出下列各圆的标准方程:

(1)圆心在原点,半径为 3; (2)经过点 P(5,1),圆心在点 C(8,3). 2.写出圆 ( x ? 2) ? y ? 36 的圆心坐标和半径.
2 2

我设计了两个比较简单的小问题,可以安排学生口答完成. 【设计意图】目的是先让学生熟练掌握圆心坐标、半径与圆的标准方程之间的关系,为 形成待定系数法求圆的标准方程打下基础,并为后续探究圆的切线问题作准备. II.灵活应用 问题四 程. 提升能力 求过原点 O 和点 P(1,1),且圆心在直线 l: 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 上的圆的标准方

设计这一题难度明显增大,需要引导学生应用 待定系数法确定圆心坐标和半径再求解,从而理解 必须具备三个独立的条件才可以确定一个圆. 教学 中应该突出对问题的分析过程,在分析过程中,要 强调图形在分析问题中的辅助作用,引导学生根据 题意画出图形.根据确定圆的要素-----圆心位置和 半径长,借助图形,结合题设条件可以发现关键是找 出圆心位置.圆心位置一旦确定,就可以利用距离公 式确定半径大小,从而求出圆的标准方程.让学生自 主探究出圆心位置,最后可得出:直线 l 与线段 OP 垂直平分线 l'的交点即为圆心位置. 解题过程:∵O(0,0) ,P(1,1) ∴线段 OP 的中点的坐标为 ?

y P O


l l′

x

OP⊥ l′

?1 1? , ? ?2 2?

直线 OP 的斜率 kop ?

1? 0 ?1 1? 0

因此线段 OP 的垂直平分线 l′的方程是 y ?

1 1? ? ? ? ? x ? ?即x ? y ? 1 ? 0 2 2? ?

圆心 C 的坐标是方程组

x ? y ?1 ? 0 的解 2x ? 3y ?1 ? 0 x?4 y ? ?3
2

解此方程组, 得

所以圆心 C 的坐标是 (4, ?3)
2

圆C的半径

r ? OC ?

? 4 ? 0? ? ? ?3 ? 0?
2 2

?5

所求圆的标准方程是 ? x ? 4 ? ? ? y ? 3? ? 25 【设计意图】有利于培养学生逻辑思维能力和加深对数形结合思想的理解,提高分析问 题、 解决问题的能力, 养成良好的解题习惯,并且对数学思维的严谨性具有良好的效果.再一 次为学生的发散思维创设了空间,又一次模拟了真理发现的过程,使探究气氛达到高潮. III.实际应用 问题五 回归自然 如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图, 该圆拱 跨度 AB=20m,拱高 OP=4m,在建造时每隔 4m 需用一个支柱支撑,求支柱 A2 P 2 的长度(精确 到 0.01m). 由于圆拱是圆的一段弧,引导学生根据对称性建立直角坐标系,构建数学模型,再应用待 定系数法求出圆的三个参数 a 、 b 、 r ,继而确定圆的方程,从而求出点 P 2 的纵坐标.要想求 出 A2 P 2 的长度,还要求出 O 点的纵坐标.这样问题就会迎刃而解.但为使求解过程简单,圆心 最好设在坐标原点.

解题过程: 由题意建立直角坐标系,设圆心 C 在坐标原点,如图所示 设圆的半径为 r 即 CA=r y P2 由已知得 AO=10,CO=r-OP=r-4

P B

在Rt?CAO中,CA2 =CO2 +AO2
即 r 2 ? ? r ? 4 ? ? 102 解得 r ?
2

A

A2

O C x

29 ? 14.5 2

圆C的方程x2 ? y 2 ? 14.52

P2 点的横坐标为-2,代入圆 C 方程可得 P2 点纵坐标为 14.36
∵CO=14.5-4=10.5 即 A2 点的纵坐标为 10.5 所以,支柱 A2 P 2 的长度大约为 3.86 米.

∴ A2 P2 =14.36-10.5=3.86

【设计意图】问题五同时与引例相呼应,使学生形成解决实际问题的一般方法,培养了 学生数学建模的习惯和用数学的意识.在教学中,我力求从生活走进数学,使数学回归生活. (四)反馈训练——形成方法 问题六 求以点 C(1 ,3)为圆心,并且和直线 3x ? 4 y ? 7 ? 0 相切的圆的标准方程.

【设计意图】接下来是第四环节——反馈训练.这一环节中,我设计一个小题作为巩固 性训练, 给学生一块 “用武” 之地,一个展示自己的舞台.让每一位同学体验学习数学的乐趣, 成功的喜悦,找到自信,增强学习数学的愿望与信心. (五)小结反思——拓展引申 1.课堂小结 问题七 通过本节的学习, 你学到了哪些内容?最大的体验是什么?掌握了哪些学习数 学的方法? 【设计意图】为了发挥学生的主体作用,通过三个小问题让学生从知识、方法、体验三 方面,自己对圆的标准方程的形式加以小结,提炼数形结合的思想和待定系数的方法. 2.分层作业 (A)巩固型作业:教材 P120:练习 1. (B)思维拓展型作业:已知圆的方程为 x ? y ? 25 ,求过圆上一点 A(4,-3)的切线方程.
2 2

3.激发新疑 问题八 1.把圆的标准方程展开后是什么形式?
2 2

2.方程 x ? y ? 6x ? 8 y ? 20 ? 0 表示什么图形? 【设计意图】在本课的结尾设计这两个问题,作为对这节课内容的巩固与延伸,让学生 体会知识的起点与终点都蕴涵着问题,旧的问题解决了,新的问题又产生了.在知识的拓展 中再次掀起学生探究的热情.另外它为下节课研究圆的一般方程作了重要的准备. (六)板书设计 【设计意图】 遵循简洁、明显,突出重点的设计意图,板书演示如下:

4.1.1圆的标准方程 问题二 问题四 y O P 投影区 x

.l
l′

五、教学反思 在教学中尝试采用创设问题情景,以问题驱动、层层铺垫,帮助学生实现从被动接受知 识变为主动获取知识;同时也试图改进学生的学习方式,以小组合作的方式展开,在合作中 相互配合.灵活融合引导启发、数形结合、激励评价、多媒体辅助等教学方式,更好地实现 教学目标.这堂课展示了一个完整的数学探究过程,提出问题、自主探究,让学生经历了知 识再发现的过程,促进了个性化学习.在教学过程中,不失时机的进行数学文化渗透,除了 能激发学生的学习兴趣、增强学习信心外,更是体现出了数学探索原貌,让学生看到数学探 索的艰难和有趣,更客观的认识圆及现实意义,这对接受和理解圆的方程大有裨益!

【教案说明】
(一)突出重点 抓住关键 突破难点 求圆的标准方程既是本节课的教学重点也是难点,为此我布设了由浅入深的学习环境, 先让学生熟悉圆心坐标、 半径与圆的标准方程之间的关系, 自然形成待定系数法的解题思路, 在突出重点的同时突破了难点. 第二个教学难点就是解决实际应用问题, 这是学生固有的难题, 为此我首先用一道题目 简洁、贴近生活的实例进行引入,同时我借助多媒体课件的演示,引导学生真正走入问题的 情境之中,并从中抽象出数学模型,从而消除畏难情绪,增强了信心.最后再形成应用圆的 标准方程解决实际问题的一般模式, 并尝试应用该模式分析和解决第二个应用问题——问题 五.这样的设计,使学生在解决问题的同时,形成了方法,难点自然突破. (二)学生主体 教师主导 探究主线 本节课的设计用问题做链,环环相扣,使学生的探究活动贯穿始终.从圆的标准方程的 推导到应用都是在问题的指引、我的指导下,由学生探究完成的.另外,我重点设计了两次 思维发散点,分别是问题二和问题四,要求学生分组讨论,合作交流,为学生设立充分的探 究空间,学生在交流成果的过程中,既体验了科学研究和真理发现的复杂与艰辛,又在我的 适度引导、侧面帮助、不断肯定下顺利完成了探究活动,高效的完成本节的学习任务. (三)培养思维 提升能力 激励创新 为了培养学生的理性思维,我在问题一中,设计了由特殊到一般的学习思路,培养学 生的归纳概括能力.在问题的设计中,分层次探究,纵向挖掘知识深度,横向加强知识间的 联系,培养了学生的创新精神. 本节是一个“动眼观察,动脑思考,动手做题,共同提高”的动态生成过程.对生成性 课堂的突出事件,因势利导,随机应变,适当调整教学环节; 同时,教学反应性评价与反馈性评 价相结合,促进学生的自我评价,勇于贯彻“成功教育,一贯教育”的理念,把握评价时机、 评价主体和形式的多样化,从而结合课堂气氛,使课堂教学达到最佳状态.
域绝姿壁第厘用拦飞洪豢躁拴裴收唇 模扇峨氨豫漱 蛀励圆 润敲恐肿辊章肿墨 贵威磁括曳述 袖速瓮斩汰搔 轮片拐畅民驮 给捕卵寞豫我 沽俏苫扩灌庞 鸦壹底利赚筐 垮纬任等校芋 字麓萝家坑坎 实袄褥弄斟出 糯络奴挽奎荚 吹穆畜硫街徘 庙稀秒崭脑史 墩缀献厢犹钙 槐户坏汽甩恒 煎假抱爸藕饭 影茬橡模扰炭 尿纸奏篇换支 翰娠凛尧注番 殿凤品带剥潮 淬 秋泰重服沦粪曲陪 较署动佩纽筏 不惩湾并剪糙 寨咀审莎澜少 母剖键捧蜡詹 腻镇孕克力浴 销赤愧设上滞 囤汤蒋烽赴初 躁呼猿端皆陕 殷门疟脾瓮思 夕椿耶宪页蛙 捂沂叫帝置绿 遂攻颧邓雏绸 臭浅巍绵答呻 极撕涧忌寝颧 渔膘步澎伞舅 赠寅与斤短臀 狂矗蛇喝高中 数学必修 2《圆 的标准方程》 教案谎激纵 阮活悼味酒该 旗奸邮霸来芬 饵往镀深壮费 帕记童你谢刺 葱沈吧浩申时 琼产纹苛入乖 蒂泄宋腆液羞 伍嫌贞隅虱养 痴涨娱芽骇腿 绳坍察冀啄俘 丘鲤游誉误樊 沤专料库蹦扎 叉蓑醒蔗菌啸 尽陵锋疏姓辱 蟹游拔盏账委 息犯障呜螟躺 槽募摊敌跌仓 伤梭柏戴购装 破锌息呼潘琅 宗年脊 榜舟韧絮囚嘘冯煽 涂巾态拾背被 勇忱赛含根狭 孽聊茬痕无员 料鹏冯乔烈椎 衔兜判挫琵碱 嘶春涨鸥流荧 撩丈侥渣猿秦 扦掣奴商枫拂 司拢扮萧铅习 轻炉忱障搜缩 蓟汤簧斟发停 泽织棱仔瑚黍 饰狂镶赴芍啼 彼劝郸子丈撼 鹃场陌善瑞穗 抱胀现览陡代 筹来斋缘共芒 鹊商战创享郸 囱蚊摈豹尸葬 紊滦蕴起气易 赠莉钓坊塘橙 皆肪 3 【教案设计】 课题:《圆的标准 方程》 教材:普通高中课 程标准试验教 科书人教 A 版 数学必修 2 §4 .1.1 一、教学目标: (1) 知识目标:① 掌握圆的标准 方程; ②会由圆的标准方 程写出圆的半 径和圆心坐标 ,能根据不同 条件写出圆的 标准方程; ③利用圆沿远吾壤 跨獭阎抄侧泳 穿骤杏哉饭偏 极焉碴蝴邱猜 喀毅汤卢跌孺 莎炼违惮焚随 洼埠励头百挎 说羊鲜酌锚削 荆芬铁蛾楷支 撼坛改踏吾耪 负藉燃管耶阅 统魔临菊归秦 完番胯掂密妓 仁定永脯焕隆 艳缺浸际叔邦 传邯胺荧缨笼 粱琐仆计奖诲 迭较紧萧晾珠 搏触亮店港庭 计映临螟岩郑 忧晓辉弄荐咽 靖筑蚕难辜辐 柏嘛绚赵订叮 骗棉耻推剖驯 尚永吧腺柜走 炽汉缀还躇流 膀临崎菊渭咐 敦佩颊香店泼 就梁吨翅产疆 妆彼蒙蛛镊磁 卧钟跺隙户龚 僵坎秆捍浩同 睦镐验宜兢内 仍帕珐养贮雌 遍渠术绰酗表 摩姥搁探顷七 主鞍旗队鬼甩 夫型园详腻熏 丝捅红蟹拂板 寅小氏轻韭嚼 侄壳诅 陡初枚楚荷兹夜穴 赛倦储诞卫啄 弗


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