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w5588:重庆市杨家坪中学2015-2016学年高二数学下学期第一次月考试题 文

杨家坪中学高 2017 级高二下期第一次月考(文数)
考试时间:120 分钟 参考公式:(1) b ? 总分:150 分
2 , a ? y ? bx ,(2) ? ?

?x y
i ?1 n i

n

i

? nx y ? nx
2

?x
i ?1

2 i

n(ad ? bc)2 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.) 1.设集合 A ? {?1, 0,1, 2} , B ? {x | x2 ? x} ,则集合 A ? B ? ( A. {?1, 0,1}
1 ? 2i 2.复数 1 ? i =(



B. {?1, 2}

C. {0,1, 2}

D. {?1,1, 2}


1

A.

?

1 3 ? i 2 2

B. 2

3 ? i 2

C. 2 2

?

1

3 ? i

1

D. 2 2

3 ? i

3.演绎推理“因为对数函 数 y ? log a x (a>0 且 a≠1)是增函数,而函数 y ? log 1 x 是对
2

数函数,所以 y ? log 1 x 是增函数”所得结论错误的原因是(
2



A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 4.如图,某人拨通 了电话,准备手机充值须如下操作 (

D.大前提和小前提都错误 )

A.1-5-1-1

B.1-5-1-5
2

C.1 -5-2-3

D.1-5-2-1 )

5. 使命题“对任意的 ∈[1,2], A. ≥4 B. ≤4

-

≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( C. ≥5 ) D.1 D. ≤5

6. 函数 f ( x) ? 3x ? 4 x 3 A.

, x ??0,1? 的最大值是( B. -1 C.0

1 2

7.下列三个命题中真命题的个数是( ) (1)命题“ ?x ? R , sin x ? 1 ”的否定是“ ?x ? R , sin x ? 1 ”
1

(2)“若 am 2 ? bm 2 ,则 a ? b ”的逆命题为真命题 (3)命题 p : ?x ? ?1, ?? ? , lg x ? 0 ,命题 q : ?x ? R , x 2 ? x ? 1 ? 0 ,则 p ? q 为真命题 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 8. 下表 为某班 5 位同学身高 x (单位:cm)与体重 y (单位 kg)的数据, 身高 体重 170 75 171 80 166 70 178 85 160 65 )

若两个量间的回归直线方程为 ? y ? 1.16x ? a ,则 a 的值为( A. ? 121.04 9.若曲线 ? B.123.2 C.21

D. ? 45.12

0 ? ? x ? 2 ? t sin 30 ( t 为参数)与曲线 ? ? 2 2 相交于 B , C 两点,则 0 y ? ? 1 ? t sin 30 ? ?

| BC | 的值为 (
A. 2 7

) B. 60 C. 7 2 D. 30

10.给出命题:若 a, b 是正常数,且 a ? b , x, y ? (0, ??) ,则

a 2 b 2 (a ? b) 2 (当且仅当 ? ? x y x? y

1 a b 2 9 -5( x ? (0, ) )的 ? 时等号成立).根据上面命题,可以得到函数 f ( x) ? ? 2 x 1 ? 2 x x y
最小值及取最小值时的 x 值分别为( A. 5 ? 6 2 , ) C.20,

2 13

B. 5 ? 6 2 ,

1 5

1 5

D.20,

2 13

11.已知函数 f ( x) 在 R 上可导,其导函数为 f '( x) ,且函数 F ( x) ? (1 ? x) f '( x) 的图像如 右图所示,零点分别为 ?1 , 1 , 2 ,则 f (?1), f (1), f (2) 的大小关系正确的是( A. f (?1) ? f (1) ? f (2) C. f (?1) ? f (1) ? f (2) B. f (?1) ? f (1) ? f (2) D. f (?1) ? f (2) ? f (1) )

1 2. 已知函数

满足

,且当

时,

, 若当

时, 函数 )

=

与 轴

有交点,则实数 的取值范围是(

2

A.

B.

C.

D.

第 II 卷(非选择题共 100 分) 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.) 13.设复数 z 满足 i( z ? 1) ? ?3 ? 2i ,则 z 的虚部是 。 ___.

14.按流程图的程序计算,若开始输入的值为 x ? 3 ,则输出的 x 的值是___ 输入 x 计算 x ?

x( x ? 1) 的值 2

x ? 100?



输出结果 x



15. 已知 f1(x)=sinx+cosx,fn+1(x)是 fn(x)的导函数,即 f2(x)=f′1(x),f3(x)=f′ * 2(x),?,f n+1(x)=f′n(x),n∈N ,则 f2 014(x)=________. 16.古希腊数学家把 1,3 ,6,10,15,21······叫做三角数,它有一定的规律性,则第 30 个三角数减去第 2 8 个三角数的值为 . 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17.(本题满分 8 分)复数 z ? ?1 ? i ? a ? 3a ? 2 ? i ( a ? R ),
2

(1)若 z ? z ,求 | z | ; (2)若在复平面内复数 z 对应的点在第一象限,求 a 的范围.

18.在某校对 30 名女生与 80 名男生进行是否有懒惰习惯进行调查,发现女生中有 15 人有 懒惰习惯,男生中有 50 人有懒惰习惯。 (1)请根据上述数据填写 2×2 列联表; 懒惰 女 男 总计 不懒惰 总计

n(ad ? bc) 2 (2)能否判断懒惰是否与性别有关。(参考公式: k ? ) (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
临界值表 0.02 5 5.02 4 0.01 0 6.63 5 0.00 5 7.87 9

P(K 2? k0 )

0.50 0.45 5

0.40 0.70 8

0.25 1.32 3

0.15 2.07 2

0.10 2.70 6

0.05 3.84 1

0.001 10.82 8

k0

3

19. (本小题 12 分)已知函数 f ( x) ? l n x ?

1 2 ax ? 2 x ? 1, a ? R. 2

(1)若 f ( x ) 在 x ? 2 处的切线与直线 2 x ? y ? 0 垂直,求 a 的值; (2)若 f ( x ) 存在单调递减区间,求 a 的取值范围. 20.正方体 ABCD-A1B1C1D1 , AA1 =2 ,E 为棱 CC1 的中点.

(1) 求证: AC // 平面 B1DE ; (2)求三棱锥 A-BDE 的体积.
? ?x ? ? 5 ? ? ? ? y? 5? ? xOy l 21. (本小题 12 分) 在平面直角坐标系 中, 直线 的参数方程为 ? 2 t 2 t为参数 ? ? 2 t 2 ,

若以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,已知曲线 C 的极坐 标方程为 ? ? 4cos ? . (1)求曲线 C 的直角坐标方程及直线 l 的普通方程;

1 (2)将曲线 C 上的所有点的横坐标缩短为原来的 2 ,再将所得曲线向左平移 1 个单位,得
到曲线 C1,求曲线 C1 上的点到直线 l 的距离的最小值.

22.(本小题 12 分)已知函数 f ( x) ? ax 3 ? bx 2 ? cx ? d 为奇函数,且在 x ? ?1 处取得极大 值 2. (1)求 f ( x) 的解析式; (2)过点 A(1, t ) ( t ? ?2) 可作函数 f ( x) 图像的三条切线,求实数 t 的取值范围;
4

(3) 若 f ( x) ? (m ? 2) x ? x (e ? 1) 对于任意的 x ? [0, ??) 恒成立, 求实数 m 的取值范围.
2 x

答案 1.B 2.C 3.A 4.D 5.C 6.D 7.C 8.A 9.D 10.C 11.B 12.B 13 .3 14.231 15.Cosx- sinx 16.59 17. 解 : ( 1 )由 z ? z 知, 1 ? a 2 ? 0 ,故 a ? ?1 .当 a ? 1 时, z ? 0 ;当 a ? ?1 时,

z ? 6.

4分

? a 2 ? 3a ? 2 ? 0 ,即 ?a ? 2或a ? 1 , (2)由已知得,复数的实部和虚部皆大于 0,即 ? ? ? 2 ? ??1 ? a ? 1 ?1 ? a ? 0

所以 ?1 ? a ? 1 . 18.解: (1) 懒惰 女 男 总计 15 50 65 不懒惰 15 30 45

8分

总计 30 80 110

(2)由列联表的数据可得: k ?

110? (15 ? 30 ? 50 ? 15) 2 ? 1.410 ? 2.706 30 ? 80 ? 65 ? 45

? 没有充分的证据显示, 懒惰与性别有关。

20.解:(Ⅰ)证明:连结 BD ,则 BD // B1D1 , ∵ ABCD 是正方形,∴ AC ? BD . ∵ CE ? 面 ABCD ,∴ CE ? BD . 又 AC ? CE ? C , ∴ BD ? 面 ACE . ∵ AE ? 面 ACE , ∴ BD ?AE , ∴ B1D1 ? AE .

5

(Ⅱ)证明:作 BB1 的中点 F,连结 AF、CF、EF .

∵ E、F 是 CC1、BB1 的 中 点 , ∴ CE

B1F , ∴ 四 边 形 B1 FCE 是 平 行 四 边 形 , ∴

CF// B1E .
∵ E , F 是 CC1、BB1 的中点,∴ EF //BC ,又 BC // AD ,∴ EF // AD . ∴四边形 ADEF 是平行四边形,? AF // ED , ∵ AF ? CF ? C , B1E ? ED ? E ,∴平面 ACF // 面 B1DE . 又 AC ? 平面 ACF ,∴ AC // 面 B1DE . (3) S ?ABD ?

1 1 1 2 AB ? AD ? 2 . VA? BDE ? VE ? ABD ? S?ABD ? CE ? S?ABD ? CE ? 2 3 3 3

21.解:(1)曲线 C 的直角坐标方程为:

x2 ? y 2 ? 4 x

2 即: ? x ? 2 ? ? y ? 4 2

直线 l 的普通方程为 x ? y ? 2 5 ? 0

5分

1 2 (2) 将曲线 C 上的所有点的横坐标缩为原来的 , 得 ?2x ? 2
再将所得曲线向左平移 1 个单位,得 C1 : x ?
2

?

2

y2 ?y 4 ? , ?1 即 ? x ? 1? ? 4
2

2

y2 ?1 4

6

又曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? cos ? ( ? 为参数),设曲线 C1 上任一点 P ? cos? , 2sin ? ? ? y ? 2sin ?
? 2 5 ? 5 sin ?? ? ? ? 2 ?
1 10 (其中 tan ? ? ? ) 2 2

则 d p ?l ?

cos ? ? 2sin ? ? 2 5 2

? 点 P 到直线 l 的距离的最小值为

10 。 2

12 分

22. 试题分析: (1) 根据函数为奇函数,f ?? x ? ? ? f ?x ? , 可得 b ? d ? 0 , 函数在在 x ? ?1

? y 0 ? x0 3 ? 3x0 ? 处取得极大值 2 得 f ??? 1? ? 0, f ?? 1? ? 2 ,(2)设切点为 ? x0 , y0 ? ,则 ? y ? t , 2 0 ? x ? 1 ? 3 x 0 ?3 ? 0
消去 y 0 ,写成关于 x0 的三次函数,转化为此三次函数有三个零点问题,先求此三次函数的 导数, 利用导数分析函数的单调性, 及极值, 利用图像分析函数与 x 轴三个交点的范围, (3 ) 将函数代入转化为 ?m ? 2?x ? x 2 e x ? 1 ? x 3 ? 3x 恒成立的问题, 当 x ? ?0,?? ? 时, 分x ? 0 或 x ? 0 两种情况进行讨论, m ? x e x ? x ? 1 ? 1 恒成立,即 m ? [ x e x ? x ? 1 ? 1] min ,利 用导数求函数的最小值. 试题解析:解:(1)? f ( x) ? ax3 ? bx 2 ? cx ? d 为奇函数
? b ? d ? 0 ? f '( x) ? 3ax 2 ? c

?

?

?

?

?

?

? f ( x) 在 x ? ?1 处取得极大值 2

? f ?(?1) ? 3a ? c ? 0 ?a ? 1 ?? ?? ? f (?1) ? ?a ? c ? 2 ?c ? ?3

从而 f ( x) 解析式为 f ( x) ? x3 ? 3x
3 ? y0 ? x0 ? 3x0 ? (2)设切点为 ? x0 , y0 ? ,则 ? y0 ? t 2 ? x ? 1 ? 3x0 ? 3 ? 0

3 2 ? 3x0 ?3 消去 y0 得 t ? ?2 x0

设 ? ( x) ? ?2 x3 ? 3x 2 ? 3 ,则 ? '( x) ? ?6 x 2 ? 6 x ? ?6 x( x ? 1)
?? ( x) 在 ? ??,0 ? , ?1, ?? ? 递减, ? 0,1? 递增

? ( x)极小值 ? ? (0) ? ?3, ? ( x)极大值 ? ? (1) ? ?2
7

要使过点 A ?1, t ) ? 可作函数 y ? f ? x ? 图像的三条切线,则实数 t 的取值范围为 ? ?3, ?2 ? (3)? f ? x ? ? ? m ? 2 ? x ? x 2 (e x ? 1)

? x3 ? 3x ? (m ? 2) x ? x 2 (e x ? 1) 从而 ? m ? 2 ? x ? x 2 ? e x ? 1? ? x3 ? 3x
当 x ? 0 时, m ? R 当 x ? 0 时,? m ? 2 ? xe x ? x ? x 2 ? 3 ? m ? x ? e x ? x ? 1? ? 1 设 h ? x? ? ex ? x ? 1

h '( x) ? e x ? 1 ? 0 ? h ? x ? 在 ? 0, ?? ? 递增, h ? x ? ? h ? 0 ? ? 0

? g ( x) ? x ? e x ? x ? 1? ? 1 ? 1
从而 m ? 1 ? 实数 m 的取值范围为 (??,1]

8


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