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周末复习学案五(下周一周二讲)


周末复习学案五
【知识梳理】 分类计数原理与分步计数原理是计数问题的基本原理,体现了解决问题时将其分解的两种常用方法,即 把问题分类解决和分步解决. 分类计数原理:做一件事情,完成它可以有 n 类办法,在第一类办法中有 m1 种不同的方法,在第二类办 法 中 有 m2 种 不 同 的 方 法 , ? ? , 在 第 n 类 办 法 中 有 mn 种 不 同 的 方 法 那 么 完 成 这 件 事 共 有
王新敞
奎屯 新疆

N ? m1 ? m2 ?

? mn 种不同的方法

王新敞
奎屯

新疆

分步计数原理:做一件事情,完成它需要分成 n 个步骤,做第一步有 m1 种不同的方法,做第二步有 m2 种 不同的方法,??,做第 n 步有 mn 种不同的方法,那么完成这件事有 N ? m1 ? m2 ?

? mn 种不同的方法

王新敞
奎屯

新疆

要正确运用两个计数原理的关键在于: 一、弄清楚完成的是怎样的“一件事” :搞清楚我们所要解决的“这件事”的含义,是正确应用分类计数 原理和分步计数原理的前提,因此我们在解题时要认真审题,分析清楚事情的前因后果,做到不重复、不遗 漏. 二、明确完成“这件事”需“分类”还是“分步” : 1. 应用分类计数原理,必须要各类的每一种方法都能保证这件事的完成, “类”与“类”之间具有相互 独立性和并列性; 2. 用分步计数原理,是指要完成这件事,需要分几“步”完成,各个步骤中的方法互相依存,只有各 个步骤都完成才算做完这件事,因此分步的精髓在于步骤的“连续”与“独立” , “连续”确保问题不遗漏, “独立”确保问题不重复. 【典型例题】 例 1 从 1,2,3,…,10 中选出 3 个不同的数,使这三个数构成等差数列,则这样的数列共有多少个?

例 2 1)4 名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目参加校运动会,每人报一项,共有多少种选法? 2)4 名同学争夺跑步、跳高、跳远三个项目的冠军,共有多少种可能的结果?

例 3 电视台在“欢乐今宵”节目中拿出两个信箱,其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信,甲信 箱中有 30 封,乙信箱中有 20 封.现由主持人抽奖确定幸运观众,若先确定一名幸运之星,再从两信箱中各确 定一名幸运伙伴,有多少种不同的结果?

例 4 某城市在中心广场建造一个花圃,花圃分为 6 个部分(如下图).现要栽种 4 种不同颜色的花,每部分 栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花,不同的栽种方法有_____________种. 5 1 (以数字作答) 3 4 2 6

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例 5 (1)有红、黄、白色旗子各 n 面(n>3),取其中一面、二面、三面组成纵列信号,可以有多少不同的 信号? (2) 有 1 元、2 元、5 元、10 元的钞票各一张,取其中一张或几张,能组成多少种不同的币值?

例 6 (2006 全国 Ⅰ)设集合 I ? ?1,2,3,4,5? .选择 I 的两个非空子集 A 和 B,要使 B 中最小的数大于 A 中 最大的数,则不同的选择方法共有( (A) 50种 (B) 49种 ) (C) 48种 (D) 47种

例 7 已知函数 f ( x) ? ln ? 2ax ? 1? ?

x3 ? x 2 ? 2ax ? a ? R ? . 3 (1)若 x ? 2 为 f ( x ) 的极值点,求实数 a 的值;
3

(2)若 y ? f ( x) 在 ?3, ?? ? 上为增函数,求实数 a 的取值范围;

1 ?1 ? x ? + b 有实根,求实数 b 的最大值. (3)当 a ? ? 时,方程 f ?1 ? x ? ? 2 3 x

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【周末练习】 一、选择题 1. 从甲地到乙地一天有汽车 8 班,火车 3 班,轮船 2 班,则某人一天内乘坐不同班次的汽车、 火车或轮船时, 共有不同的走法数为( ) A.13 种 B.16 种 C.24 种 D.48 种 2. 某商店有三层,第一层有 4 个门,从第一层到第二层有 3 个楼梯,从第二层到第三层有 2 个通道,某顾客 从商店外直至三层,不同的走法有 ( ) (A)9 种 (B)10 种 (C)12 种 (D)24 种 3. 如图:甲—— ——乙,在儿童公园中有四个圆圈组成的连环道路,从甲走到乙,不同的路线的走 法有 (A)2 种 (B)8 种 (C)12 种 (D)16 种 4. 将 4 个不同的小球放入编号为 1,2,3 的三个不同的盒子中的放法总数共有( A. 3 种
4



) )

B. 4 种

3

C.18 种

D.36 种

5.将 1,2,3 填入 3×3 的方格中,要求每行、每列都没有重复数字,下面是一种填法,则不 同的填写方法共有( ) (A)6 种 (B)12 种 (C)24 种 (D)48 种 6. 体育场南侧有 4 个大门,北侧有 3 个大门,某学生到该体育场练跑步,则他进出门的方案 有 ( ) ( ) A.12 种 B.7 种 C.24 种 D.49 种 * 7. 若 m,n ? N ,且m ? n ? 8,则平面上的点 (m,n) 共有 (A)21 (B)20 (C)28 (D)30 8. 如图,小圆圈表示网络的结点,结点之间的连线表示它们有网线相连,连 线上标注的数字表示该段网线在单位时间内可以通过的最大信息量,现从结 点 B 向结点 A 传递信息,信息可以分开沿不同路线同时传递,则单位时间内 传递的最大信息量为( ) A.26 B.24 C.20 D.19 9.同室四人各写一张贺年卡,先集中起来,然后,每人从中拿一张别人送出的 贺年卡,则四张贺年卡不同的分配方式有( A.6 种 B.9 种 C.11 种 ) D.23 种

10.如右图是某汽车维修公司的维修点分布图,公司在年初分配给A、 B、C、D四个维修点的某种配件各50件,在使用前发现需将A、B、 C、D四个维修点的这批配件分别调整为40、45、54、61件, 但调整只能在相邻维修点之间进行,那么完成上述调整,最少的调动件 次 (n个配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n) 为 ( ) (A)15 (B)16 (C)17 (D)18 二、填空题 11. 某班级有男学生 5 人,女学生 4 人,从中任选一人去领奖, 有_________种不同的选法. 12. 从甲地到乙地有 2 条路可通,从乙地到丙地有 3 条路可通;从甲地到丁地有 4 条路可通, 从丁地到丙地有 2 条路可通.从甲地到丙地共有__________种不同的走法. 13. 多项式(a 1 + a 2 + a 3 )(b 1 + b 2 )+( a 4 + a 5 )( b 3 + b 4 )展开式共有__________项. 14. 从集合 P 到 Q ? ?a, b, c? 的不同映射共有 81 个, 则从 Q 到 P 的不同映射共有________个.

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三、解答题 15. 书架上层放有 6 本不同的数学书,下层放有 5 本不同的语文书. (1) 从中任取一本,有多少种不同的取法? (2)从中任取数学书与语文书各一本,有多少种不同的取法?

16. 集合 A={1,2,-3},B={-1,-2,3,4},从 A、B 中各取 1 个元素分别作为点 P 的横、纵坐标. (1)可以得到多少个不同的点? (2)在这些点中位于第一象限的点有几个?

17. 集合 A={1,2,3,4} ,集合 B={-1,-2} ,可建立多少个以 A 为定义域 B 为值域的不同函数?

18. 三张卡片的正反面分别写有 1 和 2,3 和 4,5 和 6,若将三张卡片并列,可得到几个不同的三位数(6 不能 作 9 用).

19.已知数列 ?an ? 满足: a1 ? 1, 4an?1 ? an an?1 ? 2an ? 9(n ? N ? ) (1)求 a1 , a2, a3, a4 ,并猜想数列 ?an ? 的通项公式, (2)用数学归纳法证明(1)的猜想.

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【典型例题答案】

例1

解:首先考虑等差数列的公差大于 0 的情况:根据构成的等差数列的公差,分为公差为 1、2、3、4

四类.由分类计数原理可知, 共构成了公差大于 0 的不同等差数列 8+6+4+2=20 个.再考虑公差小于 0 的情 况,得所求等差数列共有 20 ? 2 ? 40 个. (1) 3 ? 3 ? 3 ? 3 ? 81 ; (2) 4 ? 4 ? 4 ? 64 . 解:分两类: (1)幸运之星在甲箱中抽,再在两箱中各定一名幸运伙伴,有 30×29×20=17400 种结果; (2)幸运之星在乙箱中抽,同理有 20×19×30=11400 种结果.因此共有 17400+11400=28800 种不同结果. 例 4 解:从题意来看 6 部分种 4 种颜色的花,又从图形看知必有 2 组同颜色的花,从同颜色的花入手分类 求.(1)②与⑤同色,则③⑥也同色或④⑥也同色,所以共有 N1=4×3×2×2×1=48 5 种; (2)③与⑤同色,则②④或⑥④同色,所以共有 N2=4×3×2×2×1=48 种; 1 (3)②与④且③与⑥同色,则共有 N3=4×3×2×1=24 种. 3 4 2 6 所以,共有 N=N1+N2+N3=48+48+24=120 种. 例 5 解(1) 因为纵列信号有上、下顺序关系,所以是一个排列问题,信号分一面、 二面、三面三种情况(三类),各类之间是互斥的,所以用加法原理:①升一面旗,共有 3 种信号;②升二 面旗,要分两步,连续完成每一步,信号方告完成,而每步又是独立的事件,故用乘法原理,因同色旗子可 重复使用,故共有 3×3=9 种信号;③升三面旗,有 3×3×3=27 种信号.所以共有 3+9+27=39 种信号. (2) 解:每一张币值要么取出,要么不取,再除去都不取的情况,共有 2×2×2×2-1=15 种. 例2 例3 例 6 解 : 以 A 集 合 中 元 素 最 大 数 分 别 为 1,2,3,4 分 类 , 可 得 符 合 条 件 的 不 同 选 择 方 法 有

(2 4 ? 1) ? 21 (23 ? 1) ? 2 2 (2 2 ? 1) ? 23 (21 ? 1) ? 49种,故选 B.

x? 2ax 2 ? ?1 ? 4a ? x ? 4a 2 ? 2 ? 2a 2 ? ?. ? x ? 2 x ? 2a ? 例 7 解: (1) f ?( x) ? 2ax ? 1 2ax ? 1 2a ? 2a ? 0 ,解得 a ? 0 . 因为 x ? 2 为 f ? x ? 的极值点,所以 f ? ? 2? ? 0 .即 4a ? 1 又当 a ? 0 时, f ?( x) ? x( x ? 2) ,从而 x ? 2为f ( x) 的极值点成立.
(2)因为 f ? x ? 在区间 ?3, ?? ? 上为增函数, 所以 f ? ? x ? ? 符合题意.
2

?

?

? 0 在区间 ?3, ?? ? 上恒成立. 2ax ? 1 ①当 a ? 0 时, f ?( x) ? x( x ? 2) ? 0 在 [3, ??) 上恒成立,所以 f ( x)在[3, ??) 上为增函数,故 a ? 0
②当 a ? 0 时,由函数 f ? x ? 的定义域可知,必须有 2ax ? 1 ? 0 对 x ? 3 恒成立,故只能 a ? 0 , 所以 2ax ? (1 ? 4a) x ? (4a ? 2) ? 0对x ?[3, ??) 上恒成立.
2

2 2 ? x? ? 2ax ? ?1 ? 4a ? x ? ? 4a ? 2 ? ?

令 g ( x) ? 2ax ? (1 ? 4a) x ? (4a ? 2) ,其对称轴为 x ? 1 ?
2 2

1 , 4a

1 ? 1 ,从而 g ( x) ? 0在[3, ??) 上恒成立,只要 g (3) ? 0 即可, 4a 3 ? 13 3 ? 13 2 ?a? 因为 g ? 3? ? ?4a ? 6a ? 1 ? 0 ,解得 . 4 4 ? 3 ? 13 ? 3 ? 13 ? 因为 a ? 0 ,所以 0 ? a ? .综上所述, a 的取值范围为 ? 0, 4 ?. ? 4 b (1 ? x)3 b 1 + 可化为, ln x ? (1 ? x) 2 ? (1 ? x) ? . (3)若 a ? ? 时,方程 f (1 ? x) ? x 2 3 x
因为 a ? 0 所以 1 ?
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问题转化为 b ? x ln x ? x(1 ? x)2 ? x(1 ? x) ? x ln x ? x 2 ? x3 在 ? 0, ??? 上有解, 即求函数 g ( x) ? x ln x ? x 2 ? x 3 的值域.以下给出两种求函数 g ? x ? 值域的方法:
2 方法 1:因为 g ? x ? ? x ln x ? x ? x ,令 h( x) ? ln x ? x ? x2 ( x ? 0) ,

?

?

1 (2 x ? 1)(1 ? x) ? 1 ? 2x ? ,所以当 0 ? x ? 1 时, h?( x) ? 0 ,从而 h( x)在(0,1) 上为增函数, x x 当 x ?1 时, h?( x) ? 0 ,从而 h( x)在(1,??) 上为减函数,因此 h( x) ? h(1) ? 0 .而 x ? 0 ,故 因此当 x ? 1 时, b 取得最大值 0. b ? x ? h( x ) ? 0 ,
则 h?( x) ?
2 方法 2:因为 g ? x ? ? x ln x ? x ? x ,所以 g ?( x) ? ln x ? 1 ? 2x ? 3x 2 .

?

?

1 6 x2 ? 2 x ?1 . ? 2 ? 6x ? ? x x ? 1? 7 ? 1? 7 当0 ? x ? 时, p? ? x ? ? 0 ,所以 p ? x ? 在 ? 0, ? 上单调递增; ? 6 ? 6 ? ? ? 1? 7 ? 1? 7 , ?? ? 当x? 时, p? ? x ? ? 0 ,所以 p ? x ? 在 ? ? ? 上单调递减; 6 ? 6 ? ? 1? 7 ? 2 3 3 ?1? 因为 p ?1? ? 0 ,故必有 p ? ? 6 ? ? ? 0 ,又 p ? 2 ? ? ?2 ? 1 ? 2 ? 4 ? ? 4 ? 0 , e e e ? ? ?e ?
设 p( x) ? ln x ? 1 ? 2 x ? 3x2 ,则 p?( x) ?

? 1 1? 7 ? ? 使得 g '( x ) ? 0 , ?当0 ? x ? x 时, g?( x) ? 0 ,所以 g ( x)在? 0, x ? 0 0 0 6 ? ? ? 上单调递减;当 x0 ? x ? 1 时, g ?( x) ? 0 ,所以 g ( x)在? x0 ,1? 上单调递增;
因此必存在实数 x0 ? ? ? e2 , 当 x ?1 时, g '( x) ? 0, 所以g( x)在?1, ??? 上单调递减; 又因为 g ( x) ? x ln x ? x ? x ? x(ln x ? x ? x ) ? x(ln x ? ) ,
2 3 2

1 4

当 x ? 0时, ln x ?

1 ? 0 ,则 g ( x) ? 0 ,又 g (1) ? 0 . 因此当 x ? 1 时, b 取得最大值 0. 4
3. D 4. A 5. B 6.D 7. C 8. D 9. B 三、15. (1)5+6=11.(2) 5×6=30. 10. B

【周末练习答案】一、1. A 2. D 二、11.9 12.14 13.10 14.64

16. 解:(1)3×4=12 个.(2)在这些点中位于第一象限的点有 2×2=4 个. 17. 解: 从集合 A 到集合 B 的映射共有 2 =16 个,故以 A 为定义域 B 为值域的不同函数共有 16-2=14 个. 18. 2 ×3×2×1=6 19.解: (1)由 a1 ? 1 ,及 an ?1 ?
3 4

13 19 6n ? 5 9 ? 2an 9 ? 2a1 7 ,n? N* 得 a2 ? ? , a3 ? , a4 ? ,猜想: an ? 5 7 2 n ? 1 4 ? an 4 ? a1 3
6 ?1 ? 5 ? 1 ,猜想正确, 2 ?1 ? 1 6k ? 5 时 , 猜 想 正 确 , 即 ak ? , 当 2k ? 1

(1)下面用数学归纳法证明上述结论:①当 n=1 时, a1 ? ② 假 设 当 n=k

? k ? 1, k ? N ?
*

n=k+1

时 ,

6k ? 5 9 ? 2ak 2k ? 1 ? 6(k ? 1) ? 5 ,这就是说 n=k+1 时猜想成立.综合①②可知,猜想对任何正整数 ak ?1 ? ? 6k ? 5 4 ? ak 2(k ? 1) ? 1 4? 2k ? 1 9 ? 2?
n 都正确.
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