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重庆市名校联盟2014-2015学年高二下学期期中数学试卷(理科) Word版含解析


重庆市名校联盟 2014-2015 学年高二下学期期中数学试卷 (理科)
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个备选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1. (5 分)复数 z=(x ﹣1)+(x+1)i 是纯虚数,则实数 x 的值为() A.﹣1 B. 1 C. 0 D.±1 2. (5 分)若函数 y=f(x)在点 x=1 处的导数为 1,则 A.2 B. 1 C. D. =()
2

3. (5 分)如果两个实数之和为正数,则这两个数() A.一个是正数,一个是负数 B. 两个都是正数 C. 至少有一个数是正数 D.两个都是负数 4. (5 分)小花老师从甲、乙、丙、丁共计 4 名学生中选出 2 名分别担任班长和学习委员, 她有()种备选方案. A.4 B. 6 C.10 D.12 5. (5 分)若抛物线 y=ax 在点 x=1 处的切线与直线 x+2y=0 垂直,则 a=() A.1
n 2

B.

C. ﹣

D.﹣1

6. (5 分) (2x+1) 的展开式中的各项系数和为 729,则 n 的值为() A.5 B. 6 C. 7 D.8 7. (5 分)有这样一段演绎推理:“有些整数是自然数,﹣2 是整数,则﹣2 是自然数”,这 个结论显然是错误的,是因为() A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误 8. (5 分)把 1,2,3,4,5,6,7,8,9 这 9 个数字填入图中的表格,从上到下,从左到 右依次增大,当 3,4 固定在图中位置时,余下的数的填法有()种. 3 4

A.6

B.12
2

C.18

D.24

9. (5 分)若函数 f(x)=x ﹣2bx+1 在区间(0,1)内有极小值 ,则 b 的值为()

A.

B.
3 2

C.

D.1

10. (5 分)若函数 f(x)=x ﹣mx ﹣x+5 在区间(0,1)内单调递减,则实数 m 的取值范 围是() A.m≥1 B.m=1 C.m≤1 D.0<m<1

11. (5 分)对任意实数 x,y 定义运算 x?y= b?a?c 的值是() A.a

设 a=

,b=

,c=

.则

B. b

C. c
2

D.不确定

12. (5 分)设 M={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},若方程 x ﹣ax﹣b=0 满足 a,b∈M 且方程至少有一根 c∈M,则称该方程为“气质方程”,则“气质方程”的个数为() A.3 B. 9 C.12 D.21

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填写在答题卡相应位置上. 13. (5 分)已知复数 z= 则它的模|z|=.

14. (5 分)函数 f(x)=lnx﹣x+1 的极值点是 x=. 15. (5 分)将 A,B,C 三种不同的文件放入一排编号依次为 1,2,3,4,5 的五个抽屉内, 每个抽屉至多放一种文件,若 A,B 必须放入相邻的抽屉内,则文件放入抽屉内的满足条件 的所有不同的方法有种. 16. (5 分)若方程 xe ﹣a+1=0 有两个不相等的实数根,则 a 的取值范围是.
﹣x

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (12 分)在(x +
2

) 的展开式中.求:

6

(Ⅰ)第 3 项的二项式系数; (Ⅱ)常数项. 18. (12 分)为了庆祝 5 月 18 日“世界博物馆日”,重庆白鹤梁水下博物馆对外宣传组需要 张贴海报进行宣传,现让你设计一张如图所示的横向张贴的海报,要求版心(图中的阴影部 2 分)面积为 162dm ,上、下两边各空 1dm,左、右两边各空 2dm,如何设计版心的尺寸, 才能使四周空白面积最小?

19. (12 分)已知 x=3 是函数 f(x)=ax ﹣ x +2 的一个极值点 (I)求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ)若不等式 b<f(x) ,x∈时恒成立,求 b 的取值范围.

3

2

20. (12 分)在数列{an}中,an=

(n∈N ) ,记 bn=(1﹣a1) (1﹣a2)…(1﹣an)

x

(I)试求 b1,b2,b3,b4 的值; (Ⅱ)根据(I)中的计算结果,猜想数列{bn}的通项公式并用数学归纳法进行证明. 21. (12 分)在△ ABC 中,∠BCA=90°,BC 在 BA 的投影为 BD(即 CD⊥AB) ,如图,有 2 射影定理 BC =BD?BA.类似,在四面体 P﹣ABC 中,PA,PB,PC 两两垂直,点 P 在底面 ABC 的射影为点 O(即 PO⊥面 ABC) ,则△ PAB,△ ABO,△ ABC 的面积 S1,S2,S3 也 有类似结论,则类似的结论是什么?这个结论正确吗?说明理

由. 22. (10 分)已知函数 f(x)=ln(x+m+1) ,m∈R. (I)若直线 y=x+1 与函数 y=f(x)的图象相切,求 m 的值; x (Ⅱ)当 m≤1 时,求证 f(x)<e .

重庆市名校联盟 2014-2015 学年高二下学期期中数学试 卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个备选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1. (5 分)复数 z=(x ﹣1)+(x+1)i 是纯虚数,则实数 x 的值为() A.﹣1 B. 1 C. 0 D.±1 考点: 复数的基本概念. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 由于 z 为纯虚数,可得
2 2

,解出即可.

解答: 解:∵复数 z=(x ﹣1)+(x+1)i 是纯虚数, ∴ ,

解得 x=1. 故选:B. 点评: 本题考查了纯虚数的定义,属于基础题. 2. (5 分)若函数 y=f(x)在点 x=1 处的导数为 1,则 A.2 B. 1 C. D. =()

考点: 专题: 分析: 解答: ∴

极限及其运算. 导数的综合应用. 利用导数的定义即可得出. 解:∵函数 y=f(x)在点 x=1 处的导数为 1, =f′(1)=1.

故选:B. 点评: 本题考查了导数的定义,属于基础题. 3. (5 分)如果两个实数之和为正数,则这两个数() A.一个是正数,一个是负数 B. 两个都是正数 C. 至少有一个数是正数 D.两个都是负数 考点: 进行简单的合情推理. 专题: 推理和证明. 分析: 由题意可得, 这 2 个实数一定不会都是负数, 即这 2 个实数中至少有一个数是正数, 也不会是一个负数和零,从而得出结论. 解答: 解:如果两个实数之和为正数,则这 2 个实数一定不会都是负数,也不会是一个负 数和零, 即这 2 个实数中至少有一个数是 正数, 故选:C.

点评: 本题主要考查推理与证明,属于基础题. 4. (5 分)小花老师从甲、乙、丙、丁共计 4 名学生中选出 2 名分别担任班长和学习委员, 她有()种备选方案. A.4 B. 6 C.10 D.12 考点: 计数原理的应用. 专题: 排列组合. 分析: 根据题意,分析可得从甲、乙、丙、丁共计 4 名学生中选出 2 名分别担任班长和学 习委员是排列问题,运用排列数公式计算即可得答案. 解答: 解:根据题意,从甲、乙、丙、丁共计 4 名学生中选出 2 名分别担任班长和学习委 员,是排列问题, 即有 A4 =4×3=12 种不同的选法; 故选:D. 点评: 本题考查排列数公式,关键要分析题意,认清是排列还是组合问题. 5. (5 分)若抛物线 y=ax 在点 x=1 处的切线与直线 x+2y=0 垂直,则 a=() A.1 B. C. ﹣ D.﹣1
2 2

考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 导数的概念及应用;直线与圆. 分析: 先求出已知函数 y 在 x=1 处的斜率;再利用两条直线互相垂直,斜率之间的关系 k1?k2=﹣1,求出未知数 a. 解答: 解:∵y'=2ax, ∵x=1,∴y′=2a 即切线斜率为 k=2a, ∵切线与直线 x+2y=0 垂直, ∴k=﹣ , ∴2a×(﹣ )=﹣1 即 a=1. 故选 A. 点评: 本题考查导数的几何意义:在切点处的导数值为切线的斜率;两直线垂直的条件: 斜率乘积为﹣1.属于基础题. 6. (5 分) (2x+1) 的展开式中的各项系数和为 729,则 n 的值为() A.5 B. 6 C. 7 D.8 考点: 二项式定理的应用. 专题: 二项式定理. n n 分析: 在(2x+1) 中,令 x=1 可得,其展开式的各项系数的和,又由题意,可得 3 =729, 解可得 n=6,即可得答案. n n 解答: 解:在(2x+1) 中,令 x=1 可得,其展开式的各项系数的和为 3 , n 又由题意,可得 3 =729,解可得 n=6,
n

故选:B. 点评: 本题考查二项式定理的应用, 求二项式展开式的各项系数的和时, 一般用特殊值法, 即求 x=1 时二项式的值. 7. (5 分)有这样一段演绎推理:“有些整数是自然数,﹣2 是整数,则﹣2 是自然数”,这 个结论显然是错误的,是因为() A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误 考点: 演绎推理的意义. 专题: 综合题;推理和证明. 分析: 在使用三段论推理证明中,如果命题是错误的,则可能是“大前提”错误,也可能是 “小前提”错误,也可能是推理形式错误. 解答: 解:大前提:整数包含自然数与负整数. 故大前提错误. 故选:A. 点评: 本题是一个 简单的演绎推理,这种问题 不用进行运算,只要根据所学的知识点, 判断这种说法是否正确,是一个基础题. 8. (5 分)把 1,2,3,4,5,6,7,8,9 这 9 个数字填入图中的表格,从上到下,从左到 右依次增大,当 3,4 固定在图中位置时,余下的数的填法有()种. 3 4

A.6

B.12

C.18

D.24

考点: 计数原理的应用. 专题: 排列组合. 分析: 由题意知,要求每一行从左到右依次增大,每一列从上到下依次增大,1 只能在 3 左边,2 只能在 4 的左边,9 只能在第三行第三列,从而得到结果. 解答: 解:∵由题意知,要求每一行从左到右依次增大,每一列从上到下依次增大, ∴1 只能在 3 左边,2 只能在 4 的左边,9 只能在第三行第三列.余下的有 6 种, 故选:A. 点评: 本题主要考查排列组合、两个基本原理的应用,数字问题是排列中的一大类问题, 条件变换多样,把排列问题包含在数字问题中,解题的关键是看清题目的实质,很多题目要 分类讨论,要做到不重不漏,属于中档题
2

9. (5 分)若函数 f(x)=x ﹣2b x+1 在区间(0,1)内有极小值 ,则 b 的值为() A. B. C. D.1

考点: 利用导数研究函数的极值. 专题: 导数的概念及应用.

分析: 先求出函数的导数,得到函数的单调区间,从而求出函数的极小值,进而求出 b 的值. 解答: 解:∵f′(x)=2x﹣2b, 令 f′(x)>0,解得:x>b, 令 f′(x)<0,解得:x<b, ∴函数 f(x)在(0,b)递减,在(b,1)递增, ∴f(x)极小值=f(b)=b ﹣2b +1= , 解得:b= ,
2 2

故选:C. 点评: 本题考察了函数的单调性,极值问题,考察导数的应用,是一道基础题. 10. (5 分)若函数 f(x)=x ﹣mx ﹣x+5 在区间(0,1)内单调递减,则实数 m 的取值范 围是() A.m≥1 B.m=1 C.m≤1 D.0<m<1 考点: 利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 求导数 f′(x)=3x 2mx﹣1,所以根据题意便有 3x 2mx﹣1≤0 在(0,1)上恒成 立,这样解关于 m 的不等式组即得实数 m 的取值范围. 解答: 解:f′(x)=3x 2mx﹣1,f(x)在(0,1)上单调递减; 2﹣ ∴f′(x)≤0 在(0,1)上恒成立;即 3x 2mx﹣1≤0,在(0,1)上恒成立. 分离参数 m ,易知,函数 =1. 故选:A 点评: 考查函数单调性和函数导数符号的关系,要熟悉二次函数的图象,并会运用.属于 简单题型. 为增函数,所以
2﹣ 2﹣ 2﹣ 3 2

11. (5 分)对任意实数 x,y 定义运算 x?y= b?a?c 的值是() A.a 考点: 专题: 分析: 解答:

设 a=

,b=

,c=

.则

B. b

C. c

D.不确定

对数的运算性质. 函数的性质及应用. 比较对数值的大小.利用新定义求解即可. 9 4 解:因为 ln2 >ln3 ,所以 a>b, 设 a= ,b= ,

对任意实数 x,y 定义运算 x?y=

b?a=
25


4

因为 ln2 >ln5 ,所以 a>c, b?a?c= ? = =a.

故选:A. 点评: 本题考查对数值的大小比较,新定义的应用,基本知识的考查. 12. (5 分)设 M={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},若方程 x ﹣ax﹣b=0 满足 a,b∈M 且方程至少有一根 c∈M,则称该方程为“气质方程”,则“气质方程”的个数为() A.3 B. 9 C.12 D.21 考点: 元素与集合关系的判断. 专题: 集合. 分析: 根据题意用十字相乘法,先把 b 分解因数,依据方程根与系数的关系,这两个因数 的差就是 a,进而可以确定方程,再依次分析 c 等于 2、3、…10,分别分析、列举其“气质方 程”的个数,由加法原理,计算可得答案. 解答: 解:用十字相乘法,先把 b 分解因数,依据方程根与系数的关系,这两个因数的差 就是 a; 2 b=2 时,有 2×1=2,a=2﹣1=1,则“气质方程”为 x ﹣x﹣2=0; 2 b=3 时,有 3×1=3,a=3﹣1=2,则“气质方程”为 x ﹣2x﹣3=0; 2 b=4 时,有 4×1=4,a=4﹣1=3,则“气质方程”为 x ﹣3x﹣4=0, 另外 4=2×2,a=2﹣2=0?M,不符合条件,故排除; 2 b=5 时,有 5×1=5,a=5﹣1=4,则“气质方程”为 x ﹣4x﹣5=0; 2 b=6 时,有 6×1=6,a=6﹣1=5,则“气质方程”为 x ﹣5x﹣6=0, 2 同时,有 2×3=6,a=3﹣2=1,则“气质方程”为 x ﹣x﹣6=0; 2 b=7 时,有 7×1=7,a=7﹣1=6,则“气质方程”为 x ﹣6x﹣7=0, 2 b=8 时,有 8×1=8,a=8﹣1=7,则“气质方程”为 x ﹣7x﹣8=0, 2 同时,有 2×4=8,a=4﹣2=2,则“气质方程”为 x ﹣2x﹣8=0; 2 b=9 时,有 9×1=9,a=9﹣1=8,则“气质方程”为 x ﹣8x﹣9=0, 另外 9=3×3,a=3﹣3=0?M,不符合条件,故排除; 2 b=10 时,有 10×1=10,a=10﹣1=9,则“气质方程”为 x ﹣10x﹣9=0, 2 同时,有 2×5=10,b=5﹣2=3,则“气质方程”为 x ﹣3x﹣10=0; 综合可得,共 12 个 “气质方程”, 故答案为 12. 点评: 本题考查方程的根的存在性及个数判断,分类计数原理的应用,注意分析题意,得 到“气质方程”的定义,体现了分类讨论的数学思想,属于中档题. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填写在答题卡相应位置上. 13. (5 分)已知复数 z= 则它的模|z|= .
2

考点: 复数求模. 专题: 数系的扩充和复数.

分析: 利用复数定义是法则、模的计算公式即可得出. 解答: 解:复数 z= 则它的模|z|= =﹣1﹣2i, = .

故答案为: . 点评: 本题考查了复数定义是法则、模的计算公式,属于基础题. 14. (5 分)函数 f(x)=lnx﹣x+1 的极值点是 x=1. 考点: 利用导数研究函数的极值. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 先求出函数的导数,得到函数的单调区间,从而求出函数的极值点. 解答: 解:∵f′(x)= ﹣1= , (x>0) ,

令 f′(x)>0,解得:0<x<1, 令 f′(x)<0,解得:x>1, ∴函数 f(x)在(0,1)递增,在(1,+∞)递减, ∴x=1 是函数 f(x)的极值点, 故答案为:1. 点评: 本题考察了函数的单调性, 考察了函数的极值问题, 求出函数的导数得到函数的单 调区间是解答本题的关键,本题是一道基础题. 15. (5 分)将 A,B,C 三种不同的文件放入一排编号依次为 1,2,3,4,5 的五个抽屉内, 每个抽屉至多放一种文件,若 A,B 必须放入相邻的抽屉内,则文件放入抽屉内的满足条件 的所有不同的方法有 24 种. 考点: 计数原理的应用. 专题: 排列组合. 分析: 由题意知 A,B 分别看成一个元素,相应的抽屉看成 4 个,则 2 个元素在 4 个位置 排列, 共有 A4 种结果, 看成一个元素的两部分还有一个排列, 根据分步计数原理得到结果. 解答: 24 解:∵文件 A、B 必须放入相邻的抽屉内, ∴A,B 分别看成一个元素,相应的抽屉看成 4 个, 2 则有 2 个元素在四个位置排列,共有 A4 种结果, 2 2 组合在一起的元素还有一个排列,共有 A2 A4 =24 种结果, 故答案为:24. 点评: 本题考查分步计数原理, 题目中要求两个元素相邻的问题, 一般把这两个元素看成 一个元素进行排列,注意这两个元素内部还有一个排列,
﹣x

2

16. (5 分)若方程 xe ﹣a+1=0 有两个不相等的实数根,则 a 的取值范围是(1,1+ ) .

考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 计算题;作图题;数形结合;函数的性质及应用;导数的综合应用.

分析: 方程 xe ﹣a+1=0 有两个不相等的实数根可化为 e = 再化为函数 y=e 与 y=
﹣x

﹣x

x

有两个不相等的实数根,

x

的交点个数问题,从而作函数的图象,结合导数求解.

解答: 解:∵方程 xe ﹣a+1=0 有两个不相等的实数根, ﹣x ∴方程 xe =a﹣1 有两个不相等的实数根, ﹣x 而当 a﹣1=0 时,方程 xe =a﹣1 只有一个根 0,故不成立; 故 a﹣1≠0; 故e =
x

有两个不相等的实数根,
x

作函数 y=e 与 y=

的图象如下,

设切点为 A(x,e ) ; 则e =
x

x



故 x=1; 即切线的斜率 k=e; >e; 解得,1<a<1+ ; 故答案为: (1,1+ ) . 点评: 本题考查了方程的根与函数的图象的交点的关系应用, 同时考查了切线的斜率与导 数的几何意义的应用,属于中档题. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (12 分)在(x +
2

) 的展开式中.求:

6

(Ⅰ)第 3 项的二项式系数; (Ⅱ)常数项.

考点: 二项式定理的应用. 专题: 计算题;二项式定理. 分析: (Ⅰ)第 3 项的二项式系数为 ;

(Ⅱ)利用二项式展开式的通项公式,即可得出结论. 解答: 解: (Ⅰ)第 3 项的二项式系数为 (Ⅱ)Tr+1= 令 12﹣4r=0,∴r=3, 故常数项为 T4= =20…(12 分) = =15…(4 分) …(8 分)

点评: 本题考查二项式定理的运用,考查学生的计算能力,比较基础. 18. (12 分)为了庆祝 5 月 18 日“世界博物馆日”,重庆白鹤梁水下博物馆对外宣传组需要 张贴海报进行宣传,现让你设计一张如图所示的横向张贴的海报,要求版心(图中的阴影部 分)面积为 162dm ,上、下两边各空 1dm,左、右两边各空 2dm,如何设计版心的尺寸, 才能使四周空白面积最小?
2

考点: 基本不等式在最值问题中的应用. 专题: 应用题;不等式的解法及应用. 分析: 利用版心面积设出一边长为 xdm, 表示出海报的总面积, 四周空白面积最小即为海 报的总面积最小,求面积最小可以利用基本不等式的思想. 解答: 解:设“版心”的长为 xdm,则版心的宽为 S=(x+4) ( 当且仅当 2x= +2)﹣162=2x+ +8≥2 dm,此时四周空白面积为: +8=80,

,即 x=18 时四周空白面积最小.

答:当版心长为 18dm,宽为 9dm 时,海报四周空白面积最小…(12 分) 点评: 本题考查建立函数模型解决实际问题的能力,考查基本不等式求函数最值的方法, 考查学生的转化与化归能力,运算能力,方程思想,属于基本题型.
3 2

19. (12 分)已知 x=3 是函数 f(x)=ax ﹣ x +2 的一个极值点 (I)求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ)若不等式 b<f(x) ,x∈时恒成立,求 b 的取值范围.

考点: 利用导数求闭区间上函数的最值; 利用导数研究函数的单调性; 利用导数研究函数 的极值. 专题: 导数的综合应用;不等式的解法及应用. 分析: (Ⅰ)求出函数的导数,由题意可得 f′(3)=0,可得 a,再令导数大于 0,可得增 区间,令导数小于 0,可得 减区间; (Ⅱ)求出 f(x)在的最小值,由恒成立思想可得 b<f(x)min,即可得到 b 的范围. 解答: 解: (Ⅰ)函数 f(x)=ax ﹣ x +2, 则 f′(x)=3ax ﹣3x, 又 x=3 是函数 y=f(x)的一个极值点, f′(3)=0,即有 27a﹣9=0, 解得 a= , 此时 f′(x)=x ﹣3x=x(x﹣3) , 由 f′(x)>0 得 x<0 或 x>3,f′(x)<0 得 0<x<3, 故 f(x)的单增区间为(﹣∞,0) (3,+∞) ,单减区间为(0,3) ; (Ⅱ)由(1)知:f(x)在上为减函数,在上为增函数, 则当 x∈时,f(x)min=f(3)=﹣ , 由 b<f(x) ,x∈恒成立, 即 b<f(x)min, 故 b<﹣ . 点评: 本题考查导数的运用:求单调区间和极值、最值,同时考查函数的单调性的运用和 不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题,属于中档题.
2 2 3 2

20. (12 分)在数列{an}中,an=

(n∈N ) ,记 bn=(1﹣a1) (1﹣a2)…(1﹣an)

x

(I)试求 b1,b2,b3,b4 的值; (Ⅱ)根据(I)中的计算结果,猜想数列{bn}的通项公式并用数学归纳法进行证明. 考点: 数学归纳法;归纳推理. 专题: 等差数列与等比数列;推理和证明. 分析: (1)由于 an= b3,b4 的值; (2)由(1)的 值归纳得:
x

(n∈N ) ,bn=(1﹣a1) (1﹣a2)…(1﹣an) ,可得 b1,b2,

x

.用数学归纳法证明即可. (n∈N ) ,bn=(1﹣a1) (1﹣a2)…(1﹣an) ,

解答: 解: (1)∵an=

∴b1=1﹣a1=1﹣

= ,b2= = .

= ,

= ,

(2)由(1)的值归纳得: 用数学归纳法证明如下: ①当 n=1 时,b1= = ②假设当 n=k 时等式成立,即 当 n=k+1 时,bk+1=bk(1﹣ak+1) = =



,等式成立. .

=

=

, 即当 n+1 时,等式也成立. 由①②知,对任何正整数 n 有得: 成立.

点评: 本题考查了递推式的应用、 数学归纳法, 考查了推理能力与计算能力, 属于中档题. 21. (12 分)在△ ABC 中,∠BCA=90°,BC 在 BA 的投影为 BD(即 CD⊥AB) ,如图,有 2 射影定理 BC =BD?BA.类似,在四面体 P﹣ABC 中,PA,PB,PC 两两垂直,点 P 在底面 ABC 的 射影为点 O(即 PO⊥面 ABC) ,则△ PAB,△ ABO,△ ABC 的面积 S1,S2,S3 也 有类似结论,则类似的结论是什么?这个结论正确吗?说明理

由. 考点: 类比推理. 专题: 综合题;推理和证明. 分析: 这是一个类比推理的题, 在由平面图形到空间图形的类比推理中, 一般是由点的性 质类比推理到线的性质,由线的性质类比推理到面的性质,即可得出结论. 2 解答: 解:类似的结论是:S1 =S2.S3…(4 分) 这个结论是正确的,证明如下: 连接 CO 延长交 AB 于点 D,连接 PD、OA、OB

∵PC⊥PA,PC⊥PB,PA∩PB=P ∴PC⊥面 PAB ∴PC⊥PD,PC⊥AB, 又∵PO⊥面 ABC,CD 为 PC 在面 ABC 的射影 ∴AB⊥CD. 2 在△ PDC 中,由射影定理有:PD =DO?DC ∴S1 =(
2

) = AB ?DO?DC=

2

2

=S2.S3

故结论正确…(12 分) 点评: 类比推理的一般步骤是: (1)找出两类事物之间的相似性或一致性; (2)用一类事 物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想) . 22. (10 分)已知函数 f(x)=ln(x+m+1) ,m∈R. (I)若直线 y=x+1 与函数 y=f(x)的图象相切,求 m 的值; x (Ⅱ)当 m≤1 时,求证 f(x)<e . 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数求闭区间上函数的最值. 专题: 导数的概念及应用;导数的综合应用;不等式的解法及应用. 分析: (1)求出函数的导数,设出切点,求得切线的斜率,由点满足曲线和切线方程, 解方程,可得 m=1: (2)由 m≤1,可得 ln(x+m+1)≤ln(x+2) ,要证 f(x)<e ,只需证 ln(x+2)<e ,令 h x (x)=e ﹣ln(x+2) ,求出导数,运用零点存在定理,可得?x0∈(﹣1,0) ,使 h′(x0)=0, 求得 h(x)的最小值,证明它大于 0,即可得证. 解答: 解:函数 f(x)=ln(x+m+1)的导数 f′(x)= (1)设直线 y=x+1 与函数 f(x)的图象切于点( x0,y0) , 则 y0=x0+1,y0=ln(x0+m+1) , =1, ,
x x

解得 x0=﹣1,y0=0,m=1; (2)证明:由 m≤1,可得 ln(x+m+1)≤ln(x+2) , 要证 f(x)<e ,只需证 ln(x+2)<e , 令 h(x)=e ﹣ln(x+2) ,则 h′(x)=e ﹣ 由 h′(﹣1)= ﹣1<0,h′(0)= >0, 即有?x0∈(﹣1,0) ,使 h′(x0)=0, 即 = ,ln(x0+2)=﹣x0,
x x x x



则 h(x)在( ﹣2,x0)上递减,在(x0,+∞)上递增, 即有 h(x)min=h(x0)= ﹣ln(x0+2) ,

则 h(x)≥h(x)min=

﹣ln(x0+2)=

+x0=

>0,

则有 f(x)<e . 点评: 本题考查导数的运用:求切线的斜率和求单调区间、极值和最值,主要考查导数的 几何意义,函数的单调性的运用,考查运算能力,属于中档题.

x


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