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重庆市南开中学2014-2015学年高二下学期期末考试数学(理)试卷 Word版含解析


2014-2015 学年重庆市南开中学高二(下)期末数学试卷(理科)
一.选择题:共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每个小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.设全集 U=R,集合 R={0,1,2},B={x| >0,x∈R},则 A∩?UB=( )

A. {0} B. {0,1} C. {1,2} D. {0,1,2} 2.已知命题 p:?x∈R,2x +1>0,则¬p 是( ) 2 2 A. ?x∈R,2x +1≤0 B. ?x0∈R,2x0 +1>0 2 2 C. ?x0∈R,2x0 +1<0 D. ?x0∈R,2x0 +1≤0 3.函数 y= 的定义域是( )
2

A. (1,2) B. (2,+∞) C. (1,+∞) D. [2,+∞) 4.设 a=logπ3,b=2 ,c=log2 ,则 a,b,c 的大小关系为( A. a>b>c B. c>a>b C. b>a>c D. a>c>b 5.下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( A. y=ln(x+1) B. y=﹣
x 0.3





C. y=( ) D. y=x+

6. 已知 x、 y 的取值如下表从所得的散点图分析, y 与 x 线性相关, 且 =0.95x+a, 则 a= (



x0134 y 2.2 4.3 4.8 6.7 A. 2.1 B. 2.2 C. 2.4 D. 2.6 7.已知 a 为实数,则|a|≥1 是关于 x 的不等式|x﹣3|+|x﹣4|≤a 有解的( ( A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 )

8.若函数 f(x)=loga( A. B.

)有最小值 1,则 a 等于(



C. 2 D . 4

9.函数 f(x)=x ﹣bx+a 的图象如图所示,则函数 g(x)=lnx+f′(x)的零点所在的区间是 ( )

2

A. ( , ) B. ( ,1) C. (1,2) D. (2,3)

10.定义在 R 上函数 f(x)满足:f(x)=f(﹣x) ,f(2+x)=f(2﹣x) ,若曲线 y=f(x) 在 x=1 处的切线方程为 x+y﹣3=0,则 y=f(x)在 x=2015 的切线方程为( ) A. x+y﹣3=0 B. x﹣y﹣2013=0 C. x﹣y﹣2015=0 D. x﹣y+2017=0 11.点 P(x0,y0)是曲线 C:x=e (x≠0)上的一个动点,曲线 C 在点 P 处的切线与 x 轴、y 轴分别交于 A,B 两点,点 O 是坐标原点,则△ AOB 面积的最大值为( ) A. B. C. D. 2
﹣|x|

12.已知偶函数 f(x) :Z Z,且 f(x)满足:f(1)=1,f(2015)≠1,对任意整数 a,b 都有 f(a+b)≤max{f(a) ,f(b)},其中 max(x,y)= ( ) A. 0 B. 1 C. 2015 D. 2016 ,则 f(2016)的值为

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填写在答题卡相对应位置上. 2 13.设随机变量 ξ 服从正态分布 N(3,? ) ,若 P(ξ<2a﹣3)=P(ξ>a+3) ,则实数 a 的值 为 . 14.若函数 f(x)=x ﹣a 的图象不经过第二象限,则实数 a 的取值范围是
2 3



15.已知函数 f(x)=|1﹣x |,在[0,1]上任取一数 a,在[1,2]上任取一数 b,则满足 f(a) ≤f(b)的概率为 .

16.己知函数 f(x)=

,若关于 x 的方程 f(f(x) )=0 有且只有一个实数

解,则实数 a 的取值范围为



三.解答题:本大题共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (12 分) (2015 春?重庆校级期末)已知命题 p: ( ) 题“p∨q”为真命题,命题“p∧q”为假命题,求实数 a 的取值范围. 18. (12 分) (2015 春?重庆校级期末)某校小卖部根据以往某种商品的销售记录,绘制了如 下的日销售量频率分布直方图. 若以日销售量的频率为概率, 假设每天的销售量是相互独立 的.结合直方图相关数据,以此来估计未来连续 3 天日销售量. (Ⅰ)求在未来 3 天里,恰好只有连续 2 天的日销售量都高于 100 个的概率; (Ⅱ)用 X 表示在未来 3 天里日销售量高于 100 个的天数,求随机变量 X 的分布列和数学 期望. <9,q:|2a﹣1|<4,若命

19. (12 分) (2015 春?重庆校级期末)已知函数 f(x)=2lnx﹣x ﹣ax+3,其中 a∈R. (Ⅰ)设曲线 f(x)在点(1,f(1) )处的切线与直线 2x﹣y+1=0 平行,求 a 的值; (Ⅱ)若函数 f(x)在[ ,e]上单调递减,求 a 的取值范围.
x

2

20. (12 分) (2015 春?重庆校级期末)已知函数 f(x)=kx+log2(4 +1) (k∈R)是偶函数. (Ⅰ)求 k 的值; x (Ⅱ)设函数 g(x)=log2(a?2 ﹣4a) ,其中 a>0.若函数 f(x)与 g(x)的图象有且只 有一个交点,求 a 的取值范围. 21. (12 分) (2015 春?重庆校级期末)已知函数 f(x)=e ,g(x)=ax+b,其中 a,b∈R. (Ⅰ)若 a=﹣1,函数 y= (Ⅱ)若 0≤2a≤b≤1,求证:当 x≥0 时, 在(0,+∞)上有意义,求 b 的取值范围; + ≥ 1.
x

四、请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,同按所做的第一题计分,作答 时请写清题号.选修 4-1:几何证明选讲 22. (10 分) (2015 春?重庆校级期末)如图△ ABC 内接于圆 O,AB=AC,直线 MN 切圆 O 于点 C,弦 BD∥MN,AC 与 BD 相交于点 E. (Ⅰ)求证:△ ABE≌△ACD;

(Ⅱ)若 AB=6,BC=4,求

的值.

选修 4-4:坐标系与参数方程 23. (2015 春?重庆校级期末)在直角坐标系中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建 立极坐标系,己知曲线 C1 的方程为 ρ=2cosθ+2sinθ,直线 C2 的参数方程为 为参数) (Ⅰ)将 C1 的方程化为直角坐标方程; (Ⅱ)P 为 C1 上一动点,求 P 到直线 C2 的距离的最大值和最小值. (t

选修 4-5:不等式选讲 24. (2015 春?重庆校级期末)设函数 f(x)=|x+2|﹣|x﹣3|﹣a (Ⅰ)当 a=1 时,求函数 f(x)的最大值; (Ⅱ)若 f(x)≤ 对任意 x∈R 恒成立,求实数 a 的取值范围.

2014-2015 学年重庆市南开中学高二(下)期末数学试卷 (理科)
参考答案与试题解析

一.选择题:共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每个小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.设全集 U=R,集合 R={0,1,2},B={x| >0,x∈R},则 A∩?UB=( )

A. {0} B. {0,1} C. {1,2} D. {0,1,2} 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 集合.

分析: 求出集合 B 中的不等式的解集, 确定出集合 B, 根据全集 U=R, 找出集合 B 的补集, 然后找出集合 B 补集与集合 A 的公共元素,即可求出所求的集合 解答: 解:由集合 B 中的不等式 解得:x>1 ∴B=(1,+∞) ,又全集 U=R, ∴CUB=(﹣∞,1],又 A={0,1,2}, ∴A∩CUB={0,1}. 故选:B. 点评: 此题考查了交、并、补集的混合运算,是一道基本题型,求集合补集时注意全集的 范围. 2.已知命题 p:?x∈R,2x +1>0,则¬p 是( ) 2 2 A. ?x∈R,2x +1≤0 B. ?x0∈R,2x0 +1>0 2 2 C. ?x0∈R,2x0 +1<0 D. ?x0∈R,2x0 +1≤0 考点: 命题的否定. 专题: 简易逻辑. 分析: 利用全称命题的否定是特称命题,写出结果即可. 2 解答: 解:因为全称命题的否定是特称命题,所以命题 p:?x∈R,2x +1>0,则¬p 是: 2 ?x0∈R,2x0 +1≤0. 故选:D. 点评: 本题考查命题的否定,全称命题与特称命题的否定关系. 3.函数 y= 的定义域是( )
2

>0,

A. (1,2) B. (2,+∞) C. (1,+∞) D. [2,+∞) 考点: 专题: 分析: 解答: 对数函数的定义域. 计算题. 无理式被开方数大于等于 0,对数的真数大于 0,解答即可. 解:要使原函数有意义,则 lg(x﹣1)≥0,即 x﹣1≥1,解得:x≥2. 的定义域是[2,+∞) .

所以函数 y=

故选 D. 点评: 本题考查对数函数的定义域,考查学生发现问题解决问题的能力,是基础题.
0.3

4.设 a=logπ3,b=2 ,c=log2 ,则 a,b,c 的大小关系为( A. a>b>c B. c>a>b C. b>a>c D. a>c>b 考点: 对数值大小的比较. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用指数函数与对数函数的单调性即可得到.



解答: 解:∵0<a=logπ3<1,b=2 >1,c=log2 <0, ∴c<a<b. 故选:C. 点评: 本题考查了指数函数与对数函数的单调性,属于基础题. 5.下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( A. y=ln(x+1) B. y=﹣
x

0.3



C. y=( ) D. y=x+

考点: 函数单调性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据指数函数,对数函数,幂函数,一次函数,对勾函数和复合函数单调性,逐一 分析四个答案中函数的单调性,可得答案. 解答: 解:A 中,函数 y=ln(x+1)在区间(0,+∞)上为增函数, B 中,y=﹣ 在区间(0,+∞)上为减函数, C 中,y=( ) 在区间(0,+∞)上为减函数, D 中,y=x+ 在区间(0,1)上为减函数,在(1,+∞)为增函数, 故选:A 点评: 本题考查的知识点是函数单调性的性质,熟练掌握指数函数,对数函数,幂函数, 一次函数,对勾函数和复合函数单调性,是解答的关键.
x

6. 已知 x、 y 的取值如下表从所得的散点图分析, y 与 x 线性相关, 且 =0.95x+a, 则 a= (



x0134 y 2.2 4.3 4.8 6.7 A. 2.1 B. 2.2 C. 2.4 D. 2.6 考点: 线性回归方程. 专题: 计算题. 分析: 本题考查的知识点是线性回归直线的性质,由线性回归直线方程中系数的求法,我 们可知 在回归直线上,满足回归直线的方程,我们根据已知表中数据计算出 ,再将点的坐标代入回归直线方程,即可求出对应的 a 值. 解答: 解:点 在回归直线上, 计算得 ; 代入得 a=2.6; 故选 D. 点评: 统计也是高考新增的考点,回归直线方程的求法,又是统计中的一个重要知识点, 其系数公式及性质要求大家要熟练掌握并应用.

7.已知 a 为实数,则|a|≥1 是关于 x 的不等式|x﹣3|+|x﹣4|≤a 有解的( ( A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件



考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 由已知中的不等式|x﹣3|+|x﹣4|≤a,我们可以构造绝对值函数,根据绝对值的几何意 义,我们易求出对应函数 y=|x﹣3|+|x﹣4|的值域,进而得到实数 a 的取值范围, 再根据充分条件和必要条件去判断即可. 解答: 解:令 y=|x﹣3|+|x﹣4|, 则函数 y=|x﹣3|+|x﹣4|的值域为[1,+∞) 若不等式|x﹣3|+|x﹣4|≤a 有解集 则 a≥1, ∴|a|≥1 是关于 x 的不等式|x﹣3|+|x﹣4|≤a 有解必要不充分条件. 故选:B. 点评: 本题考查了绝对值的几何意义以及必要不充分条件的判断,属于中档题.

8.若函数 f(x)=loga( A. B.

)有最小值 1,则 a 等于(



C. 2 D . 4

考点: 基本不等式在最值问题中的应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 运用基本不等式可得 =x+ ≥2 ,当且仅当 x= 取得最小值.再由对数函数

的单调性可得 loga2 =1,解方程可得 a=4. 解答: 解:由于 x>0,a>0, 则 =x+ ≥2 ,

当且仅当 x= 取得最小值. 由题意结合对数函数的单调性可得 a>1, 由最小值为 1, 可得 loga2 =1, 即为 a=2 , 解得 a=4. 故选:D. 点评: 本题考查对数函数的单调性的运用,同时考查基本不等式的运用,属于中档题. 9.函数 f(x)=x ﹣bx+a 的图象如图所示,则函数 g(x)=lnx+f′(x)的零点所在的区间是 ( )
2

A. ( , ) B. ( ,1) C. (1,2) D. (2,3)

考点: 函数零点的判定定理. 专题: 计算题;作图题;压轴题;数形结合. 分析: 由二次函数图象的对称轴确定 b 的范围,据 g(x)的表达式计算 g( 的值的符号,从而确定零点所在的区间. 解答: 解:∵二次函数 f(x)图象的对称轴 x= ∈( ∴1<b<2,g(x)=lnx+2x﹣b 在定义域内单调递增, g( )=ln +1﹣b<0, ,1) , )和 g(1)

g(1)=ln1+2﹣b=2﹣b>0, ∴函数 g(x)=lnx+f′(x)的零点所在的区间是( ,1) ;

故选 B. 点评: 此题是个中档题.题考查导数的运算、函数零点的判断以及识图能力,体现了数形 结合的思想,考查了学生应用知识分析解决问题的能力. 10.定义在 R 上函数 f(x)满足:f(x)=f(﹣x) ,f(2+x)=f(2﹣x) ,若曲线 y=f(x) 在 x=1 处的切线方程为 x+y﹣3=0,则 y=f(x)在 x=2015 的切线方程为( ) A. x+y﹣3=0 B. x﹣y﹣2013=0 C. x﹣y﹣2015=0 D. x﹣y+2017=0 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 函数的性质及应用;导数的概念及应用;直线与圆. 分析: 由 f(﹣x)=f(x) ,f(x+2)=f(2﹣x) ,可令 x 为 x+2,可得 f(x)为周期为 4 的 函数,再由 x=1 处的切线方程为 x+y﹣3=0,可得 f(1) ,f(2015) ,再通过求导,可得导函 数为奇函数且为周期函数,即可求得 f′(2015) ,由点斜式方程,即可得到所求切线方程. 解答: 解:由 f(﹣x)=f(x) ,f(x+2)=f(2﹣x) , 即有 f(x+4)=f(2﹣(x+2) )=f(﹣x)=f(x) , 则 f(x)为周期为 4 的函数, 若曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线方程为 x+y﹣3=0, 则 f(1)=2,f′(1)=﹣1, 即有 f(2015)=f(503×4+3)=f(3)=f(1)=2, 对 f(﹣x)=f(x) ,两边求导,可得﹣f′(﹣x)=f′(x) , 由 f(x+4)=f(x) ,可得 f′(x+4)=f′(x) , 即有 f′(2015)=f′(3)=f′(﹣1)=1,

则该曲线在 x=2015 处的切线方程为 y﹣2=x﹣2015, 即为 x﹣y﹣2013=0. 故选:B. 点评: 本题考查导数的运用:求切线方程,主要考查导数的几何意义,同时考查函数的奇 偶性和周期性的运用,属于中档题. 11.点 P(x0,y0)是曲线 C:x=e (x≠0)上的一个动点,曲线 C 在点 P 处的切线与 x 轴、y 轴分别交于 A,B 两点,点 O 是坐标原点,则△ AOB 面积的最大值为( ) A. B. C. D. 2
﹣|x|

考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 导数的概念及应用;导数的综合应用. 分析: 由函数为偶函数,可设 y=e (x>0) ,求出导数,求得切线的斜率和切点,由点斜 式方程可得切线方程,令 x=0,y=0 可得 y.x 轴的截距,再由三角形的面积公式,再求导 数,求得单调区间,可得 x0=1 处取得极大值,也为最大值,可得结论. ﹣x 解答: 解:可设 y=e (x>0) , ﹣x y′=﹣e , 曲线 C 在点 P 处的切线斜率为 k=﹣ 即有曲线 C 在点 P 处的切线方程为 y﹣ 可令 y=0,则 x=x0+1, 令 x=0,可得 y=(x0+1) 即有△ AOB 面积 S= =(x0+1) S′=[2(x0+1)﹣(x0+1) ]
2
﹣x

, =﹣ (x﹣x0) ,


2

, =(1+x0) (1﹣x0) ,

当 0<x0<1 时,S′>0,当 x0>1 时,S′<0, 即有 x0=1 处取得极大值,也为最大值 . 则△ AOB 面积的最大值为 . 故选:A. 点评: 本题考查导数的运用:求切线的方程和单调区间、极值和最值,同时考查三角形的 面积的最值,考查运算能力,属于中档题. 12.已知偶函数 f(x) :Z Z,且 f(x)满足:f(1)=1,f(2015)≠1,对任意整数 a,b 都有 f(a+b)≤max{f(a) ,f(b)},其中 max(x,y)= ( ) A. 0 B. 1 C. 2015 D. 2016 ,则 f(2016)的值为

考点: 进行简单的演绎推理;函数奇偶性的性质. 专题: 推理和证明. 分析: 先根据已知条件求出 f(2) ,f(3) ,f(4)…找到其规律即可得到答案. 解答: 证明:∵f(1)=1,f(a+b)≤max{f(a) ,f(b)} f(2)=f(1+1)≤max{f(1) ,f(1)}=1,即 f(2)≤1, f(3)=f(1+2)≤max{f(1) ,f(2)}=1,即 f(3)≤1, f(4)=f(1+3)≤max{f(1) ,f(3)}=1,即 f(4)≤1, …, f(2015)≤max{f(1) ,f(2014)}=1,即 f(2015)≤1. 因为 f(2015)≠1,所以 f(2015)<1, 从而 f(2016)≤max{f(1) ,f(2015)}=1,即 f(2016)≤1. 假设 f(2016)<1, 因为 f(x)为偶函数,所以 f(﹣2015)=f(2015) . 于是 f(1)=f(2016﹣2015)≤max{f(2016,f(﹣2015)}=max{f(2016) ,f(2015)}<1, 即 f(1)<1.这与 f(1)=1 矛盾. 所以 f(2016)<1 不成立,从而只有 f(2016)=1. 故选:B 点评: 本题主要考查函数的值.解决本题的关键利用合情推理进行一步步向前推,找到其 最基本的地方即可. 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填写在答题卡相对应位置上. 13.设随机变量 ξ 服从正态分布 N(3,? ) ,若 P(ξ<2a﹣3)=P(ξ>a+3) ,则实数 a 的值 为 2 . 考点: 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 根据随机变量符合正态分布,又知正态曲线关于 x=3 对称,得到两个概率相等的区 间关于 x=3 对称,得到关于 a 的方程,解方程即可. 2 解答: 解:∵随机变量 ξ 服从正态分布 N(3,? ) , ∵P(ξ<2a﹣3)=P(ξ>a+3) , ∴2a﹣3 与 a+3 关于 x=3 对称, ∴2a﹣3+a+3=6, ∴3a=6, ∴a=2, 故答案为:2. 点评: 本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义,本题主要考查曲线关于 x=3 对 称,考查关于直线对称的点的特点,本题是一个基础题. 14.若函数 f(x)=x ﹣a 的图象不经过第二象限,则实数 a 的取值范围是 [0,+∞) . 考点: 函数的图象与图象变化. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据幂函数的图象和性质即可得到结论
3 2

解答: 解:∵函数 f(x)单调递增, ∴要使 f(x)=f(x)=x ﹣a 的图象不经过第二象限, 则 f(0)≤0,即可, 即 f(0)=﹣a≤0, 解得 a≥0, 故 a 的取值范围为[0,+∞) 故答案为:[0,+∞) . 点评: 本题主要考查幂数函数的图象和性质,比较基础. 15.已知函数 f(x)=|1﹣x |,在[0,1]上任取一数 a,在[1,2]上任取一数 b,则满足 f(a) ≤f(b)的概率为 .
2 3

考点: 几何概型. 专题: 概率与统计. 分析: 由题意化简 f(a)≤f(b)可得 ,或 ,而 a∈[0,1],b∈[1,

2],作出图形由几何概型可得. 2 2 解答: 解:由题意可得 f(a)≤f(b)即|1﹣a |≤|1﹣b |, 2 2 2 2 平方化简可得(a ﹣b ) (a +b ﹣2)≤0 即 ,或 ,对应的区域如图阴影部分

而 a∈[0,1],b∈[1,2], 图形 AEB 的面积 s= 正方形 ABCD 的面积为 1×1=1, 故可得所求概率为 P=1﹣ 故答案为: . = ; ﹣ ×1×1= ,

点评: 本题考查几何概型,得出 f(a)≤f(b)的区域是解决问题的关键,属中档题.

16.己知函数 f(x)=

,若关于 x 的方程 f(f(x) )=0 有且只有一个实数

解,则实数 a 的取值范围为

(﹣∞,﹣1)∪(﹣1,+∞) .

考点: 分段函数的应用;函数的零点与方程根的关系. 专题: 数形结合;函数的性质及应用. 分析: 根据题意,分析可得如果 f(f(x) )=0 有且只有一个实数解,则 f(x)=1 和 f(x) =lna(a>0)中只能有 1 个方程有解,且只有 1 解,即函数 f(x)的图象与 y=1 或 y=lna(a

>0)的图象有且只能有一个交点,进而作出函数 g(x)=

的图象,

分析其图象与函数 f(x)的图象的位置关系,即可得答案. 解答: 解:根据题意,假设 f(t)=0, 则当 t≤0 时,有 e ﹣a=0,则 t=lna, (a>0) 当 t>0 时,有 t﹣ =1,解可得 t=1, 如果 f(f(x) )=0 有且只有一个实数解,则 f(x)=1 和 f(x)=lna(a>0)中只能有 1 个 方程有解,且只有 1 解, 即函数 f(x)的图象与 y=1 或 y=lna(a>0)的图象有且只能有一个交点,
t

作出函数 g(x)=

的图象,将其图象 x≤0 的部分向上或向下平移|a|

个单位可得函数 f(x)的图象, 分析可得,函数 f(x)的图象只可能与 y=1 有且只有一个交点, 且 a 的取值范围是(﹣∞,﹣1)∪(﹣1,+∞) ; 故答案为: (﹣∞,﹣1)∪(﹣1,+∞) .

点评: 本题考查分段函数的运用,主要考查函数的零点和方程的根的关系,运用分类讨论 的思想和函数的值域是解题的关键. 三.解答题:本大题共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (12 分) (2015 春?重庆校级期末)已知命题 p: ( ) 题“p∨q”为真命题,命题“p∧q”为假命题,求实数 a 的取值范围. 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 函数的性质及应用;不等式的解法及应用;推理和证明. 分析: 先根据指数函数的单调性、绝对值不等式的解的情况,求出命题 p,q 下的 a 的取值 范围,再根据 p∨q 为真,p∧q 为假,得到 p 真 q 假和 p 假 q 真两种情况,求出每种情况下 的 a 的取值范围并求并集即可. 解答: 解:若命题 p: ( )
2

<9,q:|2a﹣1|<4,若命

<9=( )

﹣2

为真命题,

则 a﹣a >﹣2,解得:a∈(﹣1,2) , 若命题 q:|2a﹣1|<4 为真命题, 则﹣4<|2a﹣1|<4,解得 a∈(﹣ , ) , ∵命题“p∨q”为真命题,命题“p∧q”为假命题, 则 p,q 一真一假; 当 p 真 q 假时,a∈(﹣1,2) ,且 a?(﹣ , ) ,不存在 满足条件的 a 值; 当 p 假 q 真时,a?(﹣1,2) ,且 a∈(﹣ , ) , 则 a∈(﹣ ,﹣1]∪[2, ) . 点评: 考查指数函数的单调性,绝对值不等式解的情况和判别式△ 的关系, 以及 p∨q,p∧q 的真假和 p,q 真假的关系. 18. (12 分) (2015 春?重庆校级期末)某校小卖部根据以往某种商品的销售记录,绘制了如 下的日销售量频率分布直方图. 若以日销售量的频率为概率, 假设每天的销售量是相互独立 的.结合直方图相关数据,以此来估计未来连续 3 天日销售量. (Ⅰ)求在未来 3 天里,恰好只有连续 2 天的日销售量都高于 100 个的概率; (Ⅱ)用 X 表示在未来 3 天里日销售量高于 100 个的天数,求随机变量 X 的分布列和数学 期望.

考点: 离散型随机变量的期望与方差;二项分布与 n 次独立重复试验的模型. 专题: 概率与统计. 分析: 根据二项分布与独立重复实验的定义即可. 解答: 解: (1)用 A 表示事件“日销售量高于 100 个”,用 B 表示事件“在未来 3 天里恰有 连续 2 天日销售量高于 100 个”, 则:P(A)=0.3+0.2+0.1=0.6, ∴P(B)=0.6×0.6×0.4×2=0.288. (2)依题意:X 的可能取值为 0,1,2,3 且 X~B(3,0.6) , P(X=0)= P(X=1)= P(X=2)= P(X=3)= ×(1﹣0.6) =0.064, ×0.6×(1﹣0.6) =0.288, ×0.6 ×0.4=0.432, ×0.6 =0.216.
3 2 2 3

∴X 的分布列为: X0123 P 0.064 0.288 0.432 0.216 ∴E(X)=3×0.6=1.8. 点评: 本题主要考查的是二项分布的分布列及均值. 19. (12 分) (2015 春?重庆校级期末)已知函数 f(x)=2lnx﹣x ﹣ax+3,其中 a∈R. (Ⅰ)设曲线 f(x)在点(1,f(1) )处的切线与直线 2x﹣y+1=0 平行,求 a 的值; (Ⅱ)若函数 f(x)在[ ,e]上单调递减,求 a 的取值范围.
2

考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)先求出函数的导数,根据切线的斜率是 2,求出 a 的值即可; (Ⅱ)问题转化为 a≥2lnx+2﹣2x,先求出函数 g(x)的单调区间,从而求出函数的最大值, 进而求出 a 的范围. 解答: 解:f′(x)=2lnx+2﹣2x﹣a(x>0) , (Ⅰ)由 f′(1)=﹣a=2,解得:a=﹣2, ;

(Ⅱ)由题意得:f′(x)≤0 在 x∈[ ,e]恒成立, 即:a≥2lnx+2﹣2x, 令 g(x)=2lnx+2﹣2x,则:g′(x)= 令 g′(x)>0,解得:x<1, 令 g′(x)<0,解得:x>1, ∴g(x)在[ ,1)递增,在(1,e]递减, ∴g(x)max=g(1)=0, ∴a≥0. 点评: 本题考查了函数的单调性、最值问题,考查导数的应用,考查函数恒成立问题,是 一道中档题. 20. (12 分) (2015 春?重庆校级期末)已知函数 f(x)=kx+log2(4 +1) (k∈R)是偶函数. (Ⅰ)求 k 的值; (Ⅱ)设函数 g(x)=log2(a?2 ﹣4a) ,其中 a>0.若函数 f(x)与 g(x)的图象有且只 有一个交点,求 a 的取值范围. 考点: 对数函数图象与性质的综合应用. 专题: 分类讨论;转化思想;函数的性质及应用. 分析: (Ⅰ)根据函数 f(x)是 R 上的偶函数,利用 f(﹣1)=f(1) ,求出 k 的值; (Ⅱ)a>0 时,函数 g(x)的定义域是(2,+∞) ,转化为方程 f(x)=g(x)在(2,+∞) 上有且只有一解,构造函数,讨论 a 的取值,求出满足条件 a 的取值范围即可. 解答: 解: (Ⅰ)∵函数 f(x)=kx+log2(4 +1)是 R 上的偶函数, ∴f(﹣1)=f(1) , 即﹣k+log2(4 +1)=k+log2(4+1) , ∴﹣2k=log25﹣log2 =2, 解得 k=﹣1; (Ⅱ)当 a>0 时,函数 g(x)=log2(a?2 ﹣4a)的定义域是(2,+∞) , x x 由题意知,﹣x+log2(4 +1)=log2(a?2 ﹣4a)在(2,+∞)上有且只有一解, 即方程
x x
﹣1



x

x

x

=a?2 ﹣4a 在(2,+∞)内只有一解;

x

令 2 =t,则 t>4,因而等价于关于 t 的方程 2 (a﹣1)t ﹣4at﹣1=0 在(4,+∞)上只有一解; 2 设 h(t)=(a﹣1)t ﹣4at﹣1, 当 a=1 时,解得 t=﹣ ?(4,+∞) ,不合题意; 当 0<a<1 时,h(t)的对称轴 t= <0,

故 h(t)在(0,+∞)上单调递减,而 h(0)=﹣1, 2 ∴方程(a﹣1)t ﹣4at﹣1=0 在(4,+∞)上无解;

当 a>1 时,h(t)的对称轴 t=

>0,

故只需 h(4)<0, 即 16(a﹣1)﹣16a﹣1<0, 此不等式恒成立; 综上,a 的取值范围是(1,+∞) . 点评: 本题考查了函数的性质与应用问题,也考查了分类讨论思想以及转化思想的应用问 题,是综合性题目. 21. (12 分) (2015 春?重庆校级期末)已知函数 f(x)=e ,g(x)=ax+b,其中 a,b∈R. (Ⅰ)若 a=﹣1,函数 y= (Ⅱ)若 0≤2a≤b≤1,求证:当 x≥0 时, 在(0,+∞)上有意义,求 b 的取值范围; + ≥ 1.
x

考点: 利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)若 a=﹣1,函数 y= 在(0,+∞)上有意义,等价为 f(x)

+g(x)≠0 在(0,+∞)上恒成立,构造函数求出函数的导数,即可求 b 的取值范围; (Ⅱ)将不等式进行转化,构造函数,求函数的导数,利用导数研究函数的单调性进行证明 即可. 解答: 解: (Ⅰ)若 a=﹣1,g(x)=﹣x+b, x 令 h(x)=f(x)+g(x)=e ﹣x+b, 若函数 y=
x

在(0,+∞)上有意义,

则等价为 h(x)=e ﹣x+b≠0 在(0,+∞)上恒成立, x 函数的导数 h′(x)=e ﹣1, 当 x>0 是,h′(x)>0,即 h(x)为增函数, 则只需要 h(0)=1+b≥0 即可,即 b≥﹣1, 即 b 的取值范围[﹣1,+∞) ; (Ⅱ)当 0≤2a≤b≤1,x≥0,ax+b>0, 则不等式,
﹣x

+

≥1 等价为 e ﹣1+

﹣x

0,

(e ﹣1) (ax+b)+x≥0, ﹣x 即故只需要证明: (e ﹣1) (ax+b)+x≥0, ﹣x 令 φ(x)=(e ﹣1) (ax+b)+x, ﹣x 则函数的导数 φ′(x)=e (a﹣b﹣ax)+1﹣a, x x 由(Ⅰ)知 e ≥x+1,从而﹣x≥1﹣e , ﹣x ﹣x ﹣x x ∴φ′(x)=e (a﹣b﹣ax)+1﹣a≥e [a﹣b+a(1﹣e )]+1﹣a=e (2a﹣b)+1﹣2a, ∵0≤2a≤b≤1, ∴φ′(x)≥e (2a﹣1)+1﹣2a=(1﹣2a) (1﹣e )≥0, ∴φ(x)在[0,+∞)上为增函数, ∵φ(0)=0,
﹣x ﹣x

∴φ(x)≥0, 即原不等式成立. 点评: 本题主要考查函数单调性的判断以及函数与不等式的综合应用,构造函数,求函数 的导数,利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键.综合性较强,难度较大. 四、请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,同按所做的第一题计分,作答 时请写清题号.选修 4-1:几何证明选讲 22. (10 分) (2015 春?重庆校级期末)如图△ ABC 内接于圆 O,AB=AC,直线 MN 切圆 O 于点 C,弦 BD∥MN,AC 与 BD 相交于点 E. (Ⅰ)求证:△ ABE≌△ACD; (Ⅱ)若 AB=6,BC=4,求 的值.

考点: 与圆有关的比例线段. 专题: 选作题;推理和证明. 分析: (Ⅰ)在两个三角形中,证明两个三角形全等,找出三角形全等的条件,根据同弧 所对的圆周角相等,根据所给的边长相等,由边角边确定两个三角形是全等三角形. (Ⅱ) 证明△ ABE 与△ DEC 相似, 得到对应边成比例, 利用 BD∥MNDC=BC=4, 即可求 的值. 解答: (Ⅰ)证明:由题意∠BAE=∠EDC ∵BD∥MN ∴∠EDC=∠DCN ∵直线是圆的切线, ∴∠DCN=∠CAD ∴∠BAE=∠CAD 在△ ABE 和△ ACD 中, ∵AB=AC,∠ABE=∠ACD,∠BAE=∠CAD, ∴△ABE≌△ACD (Ⅱ)解:∵∠ABE=∠DCE,∠AEB=∠DEC ∴△ABE∽△DEC ∴ ∵BD∥MN, ∴DC=BC=4,



= .

点评: 本题考查与圆有关的比例线段,考查圆内接多边形的性质与判定,考查相似性的证 明,属于中档题. 选修 4-4:坐标系与参数方程 23. (2015 春?重庆校级期末)在直角坐标系中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建 立极坐标系,己知曲线 C1 的方程为 ρ=2cosθ+2sinθ,直线 C2 的参数方程为 为参数) (Ⅰ)将 C1 的方程化为直角坐标方程; (Ⅱ)P 为 C1 上一动点,求 P 到直线 C2 的距离的最大值和最小值. 考点: 直线的参数方程;简单曲线的极坐标方程. 专题: 坐标系和参数方程. 分析: (Ⅰ)由 ρ=x +y 、ρcosθ=x、ρsinθ=y,将曲线 C1 的方程:ρ=2cosθ+2sinθ 化为直角 坐标方程; (Ⅱ) 将直线 C2 的参数方程消去 t 化为直角坐标方程, 利用点到直线的距离求出圆心 C1 (1, 1)到直线 C2 的距离 d,判断出直线与圆的位置关系,即可求出答案. 2 解答: 解: (Ⅰ)因为曲线 C1 的方程为 ρ=2cosθ+2sinθ,则 ρ =2ρcosθ+2ρsinθ, 2 2 2 2 所以 C1 的直角坐标方程是 x +y =2x+2y,即(x﹣1) +(y﹣1) =2; (Ⅱ)因为直线 C2 的参数方程为 所以直线 C2 的直角坐标方程为 x+y+2=0, 因为圆心 C1(1,1)到直线 C2 的距离 d= =2 , (t 为参数)
2 2

(t

则直线与圆相离, 所以求 P 到直线 C2 的距离的最大值是 3 ,最小值 . 点评: 本题考查极坐标方程及参数方程化为直角坐标方程,点到直线的距离公式,以及直 线与圆的位置关系,属于中档题. 选修 4-5:不等式选讲 24. (2015 春?重庆校级期末)设函数 f(x)=|x+2|﹣|x﹣3|﹣a (Ⅰ)当 a=1 时,求函数 f(x)的最大值; (Ⅱ)若 f(x)≤ 对任意 x∈R 恒成立,求实数 a 的取值范围.

考点: 函数恒成立问题. 专题: 函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 分析: (Ⅰ)运用绝对值不等式的性质,可得|x+2|﹣|x﹣3|≤|(x+2)﹣(x﹣3)|=5,即可 得到 f(x)的最大值;

(Ⅱ)f(x)≤ 对任意 x∈R 恒成立,即为 f(x)max=5﹣a≤ ,解不等式可得 a 的范围. 解答: 解: (Ⅰ)当 a=1 时,f(x)=|x+2|﹣|x﹣3|﹣1, 由|x+2|﹣|x﹣3|≤|(x+2)﹣(x﹣3)|=5, 故 f(x)≤4, 所以,当 x≥3 时,f(x)取得最大值,且为 4; (Ⅱ)f(x)≤ 对任意 x∈R 恒成立,即为 f(x)max=5﹣a≤ ,

即为

即有



即为 a≥4 或 0<a≤1. 即有 a 的取值范围是(0,1]∪[4,+∞) . 点评: 本题考查绝对值不等式的性质和不等式恒成立问题的解法,同时考查运算能力,属 于中档题.


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