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英才中学第二次月考理科试题


高三第二次月考数学试题(理科)
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,满分40分. ) 1 ? 3i 1.复数 3 的共轭复数是( ) i A. ? 3 ? i B. ? 3 ? i C. 3 ? i

D. 3 ? i )

2.已知向量 p ? ?2,?3?, q ? ?x,6?,且 p // q ,则 p ? q 的值为( A.
5

B.

13

C. 5

D. 13 )

3. 已知集合 A ? ?? 1,1?, B ? ?x ax ? 1 ? 0?, 若 B ? A, 则实数 a 的所有可能取值的集合为 ( A. ?? 1? B. ? 1? C. ?? 1,1? D. ?? 1,0,1? ) D.-2 )

1 2 ) ,则 log 4 f (2) 的值为( 4.已知幂函数 y ? f ( x) 的图象过点 ( , 2 2

A.

1 4

B. ?

1 4

C.2

5.“ m ? n ? 0 ”是“方程 mx 2 ? ny 2 ? 1 表示焦点在y轴上的椭圆”的(

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.某赛季,甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛,他们每场比赛得分的情况用如图所示 的茎叶图表示,则甲、乙两名运动员的中位数分别为( ) A.19、13 B.13、19 C.20、18 D .18、20
?x ? y ? 5 ? 0 ? 7.已知 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 0 , 则z ? 2 x ? 4 y 的最小值为( ?y ? 0 ?

) D. ? 17 ) D.82

A. ? 14

B. ? 15

C. ? 16

8.数列 ?a n ? 中, a n ?1 ? (?1) n a n ? 2n ? 1,则数列 ?a n ?前 12 项和等于( A.76 B.78 C. 80

二、填空题(本大题共7小题,分为必做题和选做题两部分.每小题5分,满分30分) (一)必做题(第9至13题为必做题,每道试题考生都必须作答) 9.在等比数列 ?a n ?中, a1 ? 1 ,公比 q ? 2 ,若 ?a n ?前 n 项和 S n ? 127 , 则 n 的值为 .

1

10.阅读右图程序框图. 若输入 n ? 5 ,则输出 k 的值为________. 11.已知双曲线
x2 y2 ? 2 ? 1 的一个焦点与抛线线 y 2 ? 4 10 x 的焦点 2 a b
10 ,则该双曲线的方程为 3

重合,且双曲线的离心率等于



12.已知 m, n 是两条不同直线, ? , ? , ? 是三个不同平面,下列命题 中正确的有 .

① 若m // ? , n // ? , 则m // n ;② 若? ? ?,? ? ?,则? // ? ; ③ 若m // ? , m // ? , 则? // ? ;④ 若m ? ?,n ? ?,则m // n .
? 2 1 ? x ? a ? 2, x ? 1, 13.已知函数 f ( x) ? ? .若 f ( x) 在 ?0,??? 上单调递增, 2 ?a x ? a , x ? 1 ?

则实数 a 的取值范围为



(二)选做题(14~15题,考生只能从中选做一题) 14. (几何证明选讲选做题)如图, PA 切 ?O 于点 A ,割线 PBC 经过圆心 O , OB ? PB ? 1 ,
OA 绕点 O 逆时针旋转 60 0 到 OD ,则 PD 的长为



15. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,已知两点 A, B 的 极坐标分别为 (3, ) , (4, ) ,则 ?AOB (其中 O 为极点)的面积 3 6 为 . 三、解答题(本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、 证明过程和演算步骤) 16. (本小题满分12分)已知函数 f ( x) ? sin x cos? ? cos x sin? (其中 x ? R , 0 ? ? ? ? ) ,且 函数 y ? f (2 x ?

?

?

?
4

) 的图像关于直线 x ?

?
6

对称.

(1)求 ? 的值;

(2)若 f (? ?

2? 2 )? ,求 sin 2? 的值。 3 4

2

17. (本小题满分12分)某校从高一年级学生中随机抽取 40 名学生,将他们的期中考试数学 成绩(满分100分,成绩均为不低于 40 分的整数)分成六段: ?40, 50 ? , ?50, 60 ? ,…,?90,100 ? 后得到如下图的频率分布直方图. (1)求图中实数 a 的值; (2)若该校高一年级共有学生 640 人,试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的 人数; (3)若从数学成绩在 ?40, 50 ? 与 ?90,100 ?两个分数段内的学生中随机选取两名学生,求这两名 学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率。

18. (本小题满分14分)如图,在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AD ? AA1 ? 1, AB ? 2 ,点 E 在棱 AB 上移动. (1)证明: D1 E ? A1 D ; (2)当 E 点为 AB 的中点时,求点 E 到平面 ACD1 的距离; (3) AE 等于何值时,二面角 D1 ? EC ? D 的大小为

? ? 4

3

1 19. (本小题满分14分)已知点 (1, ) 是函数 f ( x) ? a x (a ? 0,且a ? 1) 的图象上一点,等比数 3

列 ?a n ?的前 n 项和为 f (n) ? c , 数列 ?bn ?(bn ? 0) 的首项为 c ,且前 n 项和 S n 满足:
S n ? S n ?1 ? S n ? S n ?1 (n ? 2)

(1)求数列 ?a n ?和 ?bn ? 的通项公式;
1 (2)若数列 ?cn ? 的通项 cn ? bn ? ( ) n ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Rn ; 3
? 1 ? 1000 (3)若数列 ? 的最小正整数 n 是多少? ? 前 n 项和为 Tn ,问 Tn ? 2009 ? bn bn ?1 ?

20. (本小题满分14分)设椭圆 M :

x2 y2 ? ? 1 (a ? 2 ) 的右焦点为 F1 ,直线 l : x ? 2 a2

a2 a2 ? 2



. x 轴交于点 A ,若 OF1 ? 2 F1 A (其中 O 为坐标原点) (1)求椭圆 M 的方程; (2)设 P 是椭圆 M 上的任意一点, EF 为圆 N : x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 1 的任意一条直径( E , F 为直 径的两个端点) ,求 PE ? PF 的最大值.

x3 ? x 2 ? 2ax (a ? R) . 21. (本小题满分14分)已知函数 f ( x) ? ln(2ax ? 1) ? 3

(1)若 x ? 2 为 f ( x) 的极值点,求实数 a 的值; (2)若 y ? f ( x) 在 ?3,??? 上为增函数,求实数 a 的取值范围;
(1 ? x) 3 b 1 ? 有实根,求实数 b 的最大值。 (3)当 a ? ? 时,方程 f (1 ? x) ? 3 x 2

4

高三第二次月考数学答题卡(理科)
班别: 姓名: 学号: 成绩:

一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分. ) 1 2 3 4 5 题号 答案

6

7

8

二、填空题(本大题共7小题,分为必做题和选做题两部分.每小题5分,满分30分) (一)必做题(第9至13题为必做题,每道试题考生都必须作答) 9、 10、 11、 12、 13、

(二)选做题(14~15题,考生只能从中选做一题) 14、 15、

三、解答题(本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤) 16、 (本小题满分 12 分)

5

17. (本小题满分 12 分)

18. (本小题满分 14 分)

6

19. (本小题满分 14 分)

20. (本小题满分 14 分)

7

21. (本小题满分 14 分)

8

惠州市2013届高三第三次调研考试 数学(理科)试题参考答案及评分标准 一、选择题:本大题考查基本知识和基本运算.共8小题,每小题5分,满分40分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B C A C A B B
1 ? 3i ? ?1 ? 3i ? i = 3 + i 3 1. 【解析】 i .故选D.

2. 【解析】

2 ? 6 ? 3x ? 0 ? x ? ?4 ? p ? q ? (2 , ? 3) ? (?4 , 6) ? (?2 , 3) ? 13

.故选B.

3. 【解析】 a ? 0或1或 ?1 .故选D.
1 2 1 ? 2 1 1 1 ? ( )2 ? ? ? ( , ) ( ) ? ? f ( x ) ? x 2 2 2, 4. 【解析】由设 ,图象过点 2 2 得 2

log 4 f (2) ? log 4 2 2 ?

1

1 4 .故选A.

mx 2 ? ny 2 ? 1 ?

5. 【解析】

x2 y 2 ? ?1 1 1 1 1 m?n?0?0? ? m n m n ,即 p ? q .故选C. ,

6. 【解析】甲中位数为19,甲中位数为13.故选A. 7. 【解析】最优解为 8. 【解析】
(?2.5 , ? 2.5) ? zmin ? ?15

.故选B.

an ? 2 ? an ? (?1)n (2n ? 1) ? (2n ? 1)



5, 9 及 n ? 2 ,, 6 10 , 取 n ? 1,

结果相加可得

S12 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? ? ? a11 ? a12 ? 78

. 故选B.

二、填空题:本大题查基本知识和基本运算,体现选择性.共7小题, 每小题5分,满分30分.其中14~15题是选做题,考生只能选做一题. 9.7 10.3
Sn ? 127 ? x2 ? y2 ? 1 11. 9

12.④

13.

2? ?1,

14. 7

15.3

9. 【解析】

1 ? 2n ? 2n ? 1 ? n ? 7 1? 2 .答案: 7 .

k ? 1 ? n ? 16 , k ? 1 ? n ? 49, k ? 2 ? n ? 148 , k ? 3 .答案:3. 10. 【解析】 n ? 5 ,

11. 【解析】抛线线

y 2 ? 4 10 x

0 ) ? a 2 ? b 2 ? 10 . 的焦点 ( 10 ,

9

e?

x2 10 10 ? ? a ? 3? b ?1 ? y2 ? 1 a 3 .答案: 9 .

n 均为直线,其中 m , n 平行 ? , m , n 可以相交也可以异面,故①不正确; 12. 【解析】 m ,

m ? ? ,n⊥α 则同垂直于一个平面的两条直线平行;④正确 .答案④.
1 12 ? a ? 2 ? 0 ? a ? 2 x 2 13. 【解析】 , a ? a 是增函数,所以 a ? 1

? 1 ? a ? 2 .答案: 1 ? a ? 2 .

(二)选做题(14~15题,考生只能从中选做一题) 14. 【解析】∵PA切 ? O 于点A,B为PO中点,∴AB=OB=OA, ∴ ?AOB ? 60 ,∴ ?POD ? 120 ,在△POD中由余弦定理,
? ? 2 2 2 得: PD ? PO ? DO ? 2PO ? DO cos ?POD

1 4 ? 1 ? 4 ? (? ) ? 7 2 = .

解析2:过点D作DE⊥PC垂足为E,∵ ?POD ? 120 ,
?

∴ ?DOB ? 60 ,
?

可得

OE ?

3 1 DE ? 2 ,在 Rt ?PED 中, 2,
25 3 ? ? 7 4 4 .答案: 7 .

PD ? PE 2 ? DE 2 ?



? ? 1 (3 , ) (4 , ) S? ABC ? OA? OBsin?AOB ? 3 , 6 ,则 2 15. 【解析】 A 、 B 的极坐标分别为
1 ? ? 3 ? 4 ? sin ? 3 2 6 (其中 O 为极点) .答案3.

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分12分) (1)解:∵ ∴函数
f ? x? f ( x) ? sin ? x ? ? ?

,……………………………………2分

的最小正周期为 2? .……………………………………3分

10

?? ? ? ? ? y ? f ? 2 x ? ? ? sin ? 2 x ? ? ? ? 4? 4 ? ? ? ,……………………………………5分 ∵函数
又 y ? sin x 的图像的对称轴为
2x ? x ? k? ?

?
2 ( k ?Z ) ,………………………………6分

?
4



? ? ? k? ?

?
2,



x?

?
6 代入,得

? ? k? ?

?
12 ( k ? Z ) .

∵ 0 ? ? ? ? ,∴

??

11? 12 .……………………………………7分

(2)解:

f (? ?

2? 2 2? 11? ? 2 )? ? sin(? ? ? ) ? sin(? ? ) ? (sin ? ? cos ? ) 3 4 3 12 4 2 ,…9分

sin ? ? cos ? ?

1 1 3 ? 1 ? sin 2? ? ? sin 2? ? ? 2 4 4 ………12分

17. (本小题满分12分) (1)解:由于图中所有小矩形的面积之和等于1, 所以 10 ? (0.005 ? 0.01 ? 0.02 ?a ? 0.025 ? 0.01) ? 1 .…………………………1分 解得 a ? 0.03 .………………………………………………………………………2分 (2)解:根据频率分布直方图,成绩不低于60分的频率为 1 ? 10 ? (0.005 ? 0.01) ? 0.85 .……3 分 由于该校高一年级共有学生640人,利用样本估计总体的思想,可估计该校高一年级数学成绩 不低于60分的人数约为 640 ? 0.85 ? 544 人.………………………………………5分 (3)解:成绩在 成绩在
50 ? ? 40 , 分数段内的人数为 40 ? 0.05 ? 2 人,………………

6分

?90,100? 分数段内的人数为 40 ? 0.1 ? 4 人,
C62 ? 15

……………………………………7分 ………………… 9分

若从这6名学生中随机抽取2人,则总的取法有 如果两名学生的数学成绩都在

50 ? 100? ? 40 , ?90 , 分数段内或都在 分数段内,那么这两名学生 50 ? ? 40 , 分数段内,另一个成绩在

的数学成绩之差的绝对值一定不大于 10. 如果一个成绩在

100? ?90 , 分数段内,那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10.…………………

10分

11

则所取两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10分的取法数为
P?M ? ?

2 2 C2 ? C4 ?7

……11分

所以所求概率为

7 15 .…………………………………………………………………… 13

分 18. (本小题满分14分) (1)证明:如图,连接 D1 B ,依题意有:在长方形
A1 ADD1

中,

AD ? AA1 ? 1



四边形A1 ADD1 ?

A1D ? AD1 ? ? ? A1D ? 平面AD1B ? 又AB ? 平面A1 ADD1 ? AB ? A1D ? ? ? A1D ? D1E D1 E ? 平面AD1B ? ? AD ? AB ? A? .……… 4分

2 2 (2)解: AC ? AB ? BC ? 5 , AE ? AB / 2 ? 1 ,

EC ? BE 2 ? BC 2 ? 2 ,

cos ?AEC ?

1? 2 ? 5 2 ?? 2 , 2 ? 1? 2

? sin ?AEC ?

2 2 .

1 2 1 S?AEC ? ?1? 2 ? ? 2 2 2 ,…………… 6分 ∴

1 1 1 2 2 2 2 VD1 ? AEC ? ?1? ? 3 2 6 . AD1 ? AA1 ? DA ? 2 , D1C ? D1C1 ? CC1 ? 5 ,
5? ? sin ?D1 AC ? 1 1 3 10 3 2 ? 3 10 S?A1DC ? ? 2 ? 5 ? ? 10 .∴ 5 2 10 2.

设点 E 到平面

ACD1

1 3 1 1 VD1 ? AEC ? VE ? AD1C ? d ? ? ? d ? 3 2 6 3. 的距离为 d ,∴

1 ACD1 ∴点 E 到平面 的距离为 3 . ………………………………………………… 8分

( 3 )解:过 D 作 DF ? EC 交 EC 于 F ,连接
D1 ? EC ? D

D1 F

.由三垂线定理可知,

?DFD1

为二面角

的平面角.



?DFD1 ?

?
4,

?D1DF ?

?

2 , D1D ? 1 ? DF ? 1 . ……………………… 10分

12

sin ?DCF ?

DF 1 ? ? ? ? ?DCF ? ?BCF ? DC 2 6 ,∴ 3 .…………………… 12分



tan

?
3

?

BE ? BE ? 3 BC , AE ? AB ? BE ? 2 ? 3 .

? D ? EC ? D 故 AE ? 2 ? 3 时,二面角 1 的平面角为 4 .…………………………… 14分
19. (本小题满分14分)
1 ? f x ??1? ? ? ? ? Q f ?1? ? a ? ?3? 3 解: (1) ,
x

1 2 a1 ? f ?1? ? c ? ? c ?? a ? f 2 ? c ? f 1 ? c ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? ? ? 3 9, , 2 a3 ? ? ? f ? 3? ? c ? ??? ? f ? 2? ? c ? ? ? ? 27

.

4 2 a2 2 1 a1 ? ? 81 ? ? ? ? c a3 ? 2 3 3 an ? ? 27 又数列 成等比数列, ,所以 c ? 1 ;
a 1 2?1? q? 2 ? an ? ? ? ? a1 3 ,所以 3?3? 又公比
Q S n ? S n ?1 ?
n ?1

?1? ? ?2 ? ? ? 3?

n

n ? N*

;……………………2分

?

S n ? S n ?1

??

S n ? S n ?1 ? S n ? S n ?1

?

? n ? 2?



bn ? 0


n

Sn ? 0



? S n ? S n ?1 ? 1


Sn ? 1 ? ? n ? 1? ?1 ? n

数列

? S ? 构成一个首相为1公差为1的等差数列,
2



Sn ? n 2

bn ? S n ? S n ?1 ? n 2 ? ? n ? 1? ? 2n ? 1 b ? c ?1 n ? 2 当 , ;又其满足 1 ,

? bn ? 2n ? 1 n ? N * ( );
n n

……………………………… 5分

?1? ?1? ? cn ? bn ? ? ? (2n ? 1) ? ? ?3? ? 3 ? ,所以 Rn ? c1 ? c2 ? c3 ? L ? cn (2) ?1? ?1? ?1? ?1? Rn ? 1? ? ? ? 3 ? ? ? ? 5 ? ? ? ? L ? (2n ? 1) ? ? ? ?3? ? 3? ? 3? ? 3?
2 3 4 1 2 3 3


n n ?1

1 ?1? ?1? ?1? ?1? ?1? Rn ? 1? ? ? ? 3 ? ? ? ? 5 ? ? ? ? L ? (2n ? 3) ? ? ? ? (2n ? 1) ? ? ? 3 ?3? ? 3? ? 3? ? 3? ? 3?



13

①式减②式得:
n n ?1 ?? 1 ? 2 ? 1 ?3 ? 1 ? 4 2 1 ?1? ? ?1? Rn ? ? 2 ?? ? ? ? ? ? ? ? ? L ? ? ? ? ? (2n ? 1) ? ? ? 3 3 ?3? ? ?3? ?? 3 ? ? 3 ? ? 3 ? ? ?

……

7分

2 n ?1 ?1? ? ?1? ? ? ? ?1 ? ? ? ? n ?1 n ?3? ? 2 1 2 2( n ? 1) ? 1 ? ? ? 3? ? ? ?1? Rn ? ? 2 ? ? (2n ? 1) ? ? ? ? ? ?? ? 1 3 3 3 3 ?3? ?3? 1? 3 化简: ……

9分

所以所求

Rn ? 1 ?

n ?1 3n

…………………………………………

10分

Tn ?

(3)

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ?K ? ? ? ?L ? (2n ? 1) ? ? 2n ? 1? b1b2 b2b3 b3b4 bnbn ?1 1? 3 3 ? 5 5 ? 7

1? 1? 1?1 1? 1?1 1? 1? 1 1 ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? K ? ? ? ? 2? 3? 2?3 5? 2?5 7 ? 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?

……

12分

1? 1 ? n ? ?1 ? ?? 2 ? 2n ? 1 ? 2n ? 1 ; ……

13分



Tn ?

n 1000 1000 1000 ? n? Tn ? 2n ? 1 2009 得 9 ,满足 2009 的最小正整数为112. …………
a2 a2 ? 2
2

14分

20. (本小题满分14分)
A( , 0)

解: (1)由题设知,



F1

?

a2 ? 2 , 0

? ,………………………………1分

? a2 ? 2 ? a ? 2 ? 2? ? a ? 2 ???? ???? ? 2 ? OF1 ? 2 AF1 ? 0 ? a ?2 ? ,…………………………3分 由 ,得
2 解得 a ? 6 .

x2 y2 M: ? ?1 6 2 所以椭圆 M 的方程为 .……………………………4分
2 2 (2)方法1:设圆 N : x ? ? y ? 2 ? ? 1 的圆心为 N ,

则 PE ? PF ? NE ? NP ? NF ? NP ………………………………………………6分 ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?N F ? N P ? N F? N P …………………………………………7分

?

??

?

?

??

?

14

??? ? 2 ???? 2 ??? ?2 ? NP ? NF ? NP ? 1 .………………………………………………………………8分

从而求 PE ? PF 的最大值转化为求 NP 的最大值.……………………………………9分 因为 P 是椭圆 M 上的任意一点,设
2 2

2

P ? x0 , y0 ?

,………………………………………10分

x0 y ? 0 ?1 2 2 2 所以 6 ,即 x0 ? 6 ? 3 y0 .………………………………………………11分

因为点 N ?0,2 ? ,所以 NP ? x0 ? ? y0 ? 2? ? ?2? y0 ? 1? ? 12 .…………………12分
2 2 2 2

因为

? y0 ? ? ?? 2 , 2 ?

,所以当 y0 ? ?1 时, NP 取得最大值12.…………………13分

2

所以 PE ? PF 的最大值为11.…………………………………………………………14分 方法2:设点
E ( x1 , y1 ) , F ( x2 , y2 ), P( x0 , y0 )



? x2 ? ? x1 , ? y ? 4 ? y1. 因为 E , F 的中点坐标为 (0, 2) ,所以 ? 2 ………………………………………6分 ??? ? ??? ? PE ? PF ? ( x1 ? x0 )( x2 ? x0 ) ? ( y1 ? y0 )( y2 ? y0 ) 所以 …………………………………7分

? ( x1 ? x0 ) (? x1 ? x0 ) ? ( y1 ? y0 ) ( 4? y1 ? y0 )
2 2 2 ? x0 ? x 12? y 0 ?y ? 1 4 y ?14 y 0

2 2 2 2 ? x0 ? y0 ? 4 y0 ? ( x ? y ) 1 ? y1 4 1 .……………………………………… 9分

因为点 E 在圆 N 上,所以

x12 ? ( y1 ? 2)2 ? 1

,即

x12 ? y12 ? 4 y1 ? ?3

.………………10分

2 x0 y2 ? 0 ?1 2 x 2 ? 6 ? 3 y0 2 因为点 P 在椭圆 M 上,所以 6 ,即 0 .…………………………11分

??? ? ??? ? 2 ? ?2 y0 ? 4 y0 ? 9 ? ?2( y0 ? 1) 2 ? 11 所以 PE ? PF .……………………………………12分 ??? ? ??? ? PE ? PF ? 11 y0 ? [? 2 , 2] y0 ? ?1 min 因为 ,所以当 时, .………………………14分

?

?

方法3:①若直线 EF 的斜率存在,设 EF 的方程为 y ? kx ? 2 ,………………………6分

? y ? kx ? 2 1 x?? ? 2 2 k 2 ? 1 .……………………………………………7分 由 ? x ? ( y ? 2) ? 1 ,解得
因为 P 是椭圆 M 上的任一点,设点
P ? x0 , y0 ?



15

x0 y ? 0 ?1 2 2 2 所以 6 ,即 x0 ? 6 ? 3 y0 .……………………………………………8分

2

2

??? ? ? 1 ? ? ? ??? ? k 1 k PE ? ? ? x0 , ? 2 ? y0 ? PF ? ? ? ? x0 , ? ? 2 ? y0 ? 2 k 2 ?1 k 2 ?1 k 2 ?1 ? k ?1 ?, ? ? 所以

…………………………………9分 所以

PE ? PF ? x0

2

1 k2 2 2 ? 2 ? (2 ? y 0 ) ? 2 ? x0 ? (2 ? y0 ) 2 ? 1 ? ?2( y0 ? 1) 2 ? 11 k ?1 k ?1 .
……………………………………10分

因为

? y0 ? ? ? ? 2, 2 ? ,所以当 y0 ? ?1 时, PE ? PF 取得最大值11.……………11分

?x ? 0 ? 2 x ? ( y ? 2) 2 ? 1 x ? 0 EF EF ②若直线 的斜率不存在,此时 的方程为 ,由 ? ,解得 y ? 1 或 y ? 3 .

不妨设,

E ?0 , 3?



F ?0 , 1?



…………………………………………12分
P ? x0 , y0 ?

因为 P 是椭圆 M 上的任一点,设点
2 2



x0 y ? 0 ?1 2 2 x ? 6 ? 3 y0 2 所以 6 ,即 0 . ??? ? ??? ? PE ? ? ? x0 , 3 ? y0 ? PF ? ? ? x0 , 1 ? y0 ? 所以 , . ??? ? ??? ? PE ? PF ? x0 2 ? y0 2 ? 4 y0 ? 3 ? ?2( y0 ? 1) 2 ? 11 所以 .

因为

? y0 ? ? ?? 2 , 2 ?

,所以当 y0 ? ?1 时, PE ? PF 取得最大值11.……………13分

综上可知, PE ? PF 的最大值为11.…………………………………………14分 21. (本小题满分14分)
x? 2ax 2 ? ?1 ? 4a ? x ? ? 4a 2 ? 2 ? ? 2a ? ? 2 f ?( x) ? ? x ? 2 x ? 2a ? 2ax ? 1 2ax ? 1 解: (1) .……1分

因为 x ? 2 为

f ? x?

的极值点,所以

f ? ? 2? ? 0

.…………………………………2分

2a ? 2a ? 0 即 4a ? 1 ,解得 a ? 0 .

…………………………………………3分 ……………4分

又当 a ? 0 时, f ?( x) ? x( x ? 2) ,从而 x ? 2为 f ( x ) 的极值点成立. (2)因为
f ? x?

在区间

?3, ?? ? 上为增函数,

16

所以

f ?? x? ?

2 2 ? x? ? 2ax ? ?1 ? 4a ? x ? ? 4a ? 2 ? ?

2ax ? 1

?0

在区间

?3, ?? ? 上恒成立.………5分

? ?) 上为增函数,故 ①当 a ? 0 时, f ?(x) ? x(x ? 2) ? 0 在 [3, ??) 上恒成立,所以 f ( x)在[3 ,
a ? 0 符合题意.…………………………………………6分

②当 a ? 0 时,由函数

f ? x?

的定义域可知,必须有 2ax ? 1 ? 0 对 x ? 3 恒成立,故只能 a ? 0 , ……………………7分

2 2 ? ?) 上恒成立. 所以 2ax ? (1 ? 4a) x ? (4a ? 2) ? 0对x ? [3 ,

令 g ( x) ? 2ax ? (1 ? 4a) x ? (4a ? 2) ,其对称轴为
2 2

x ? 1?

1 4a ,

…………8分

因为 a ? 0 所以 因
3? 4

1?

1 ?1 ? ?) 上恒成立,只要 g(3) ? 0 即可, 4a ,从而 g ( x) ? 0在[3 ,
g ? 3? ?
?4a 2 ? a ? ? 6 ,


?a? ? 4 1



1



3

3

1

3


3 ? 13 4 .

……………………………………9分

因为 a ? 0 ,所以

0?a?

? 3 ? 13 ? ?0 , ? 4 ? ? a 综上所述, 的取值范围为 .

……………………………10分

(3)若

a??

(1 ? x)3 b 1 b f (1 ? x) ? + ln x ? (1 ? x) 2 ? (1 ? x) ? 3 x 可化为, 2 时,方程 x.

2 2 3 ? ?? ?0 , 问题转化为 b ? x ln x ? x(1 ? x) ? x(1 ? x) ? x ln x ? x ? x 在 上有解,

2 3 即求函数 g( x) ? x ln x ? x ? x 的值域.

………………………………11分

以下给出两种求函数 方法1:因为

g ? x?

值域的方法:
2 ,令 h( x) ? ln x ? x ? x ( x ? 0) ,

g ? x ? ? x ? ln x ? x ? x 2 ?

则 , ………………………………12分

h?( x) ?

1 (2x ? 1)(1 ? x) ? 1 ? 2x ? x x

1) 上为增函数, 所以当 0 ? x ? 1时, h?( x) ? 0 ,从而 h( x)在(0 , h?( x) ? 0 ,从而 h( x)在(1,??) 上为减函数, 当 x ? 1时,

………………13分
17

因此 h(x) ? h(1) ? 0 . 而 x ? 0 ,故 b ? x ? h( x) ? 0 , 因此当 x ? 1 时, b 取得最大值0. 方法2:因为
g ? x ? ? x ? ln x ? x ? x 2 ?

………………………………………14分
2

,所以 g ?( x) ? ln x ? 1 ? 2x ? 3x .
1 6 x2 ? 2 x ?1 ? 2 ? 6x ? ? x x .

设 p( x) ? ln x ? 1 ? 2 x ? 3x ,则
2

p?( x) ?



0? x?

1? 7 1? 7 (0 , ) ? p x ? 0 p x ? ?在 6 时, ? ? 6 ,所以 上单调递增;



x?

1? 7 1? 7 ( , ? ?) ? p x ? 0 p x ? ? ? ? 6 6 时, ,所以 在 上单调递减;

? 1? 7 ? 2 3 3 ?1? p? ?0 ? p ? 2 ? ? ?2 ? 1 ? 2 ? 4 ? ? 4 ? 0 ? ? 6 p ?1? ? 0 e e e ? 因为 ,故必有 ? ,又 ? e ? ,

因此必存在实数

x0 ?(

1 1? 7 , ) e2 6 使得 g '( x0 ) ? 0 ,

g ( x)在 ? 0 , x0 ? ? ) ?0 ?当0 ?x ?x 0时, g ( x ,所以 上单调递减; g ( x)在 ? x0 ,1? g ?( x) ? 0 当 x0 ? x ? 1时, ,所以 上单调递增;



x ? 1时, g '( x) ? 0 , 所以g ( x)在 ?1, ? ??

上单调递减;

1 g ( x) ? x ln x ? x 2 ? x 3 ? x(ln x ? x ? x 2 ) ? x(ln x ? ) 4 , 又因为
x ? 0时, ln x ? 1 ?0 4 ,则 g(x) ? 0 ,又 g(1) ? 0 .



因此当 x ? 1 时, b 取得最大值0. …………………………………………14分

18


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