当前位置:首页 >> 高三数学 >>

江苏省连云港、徐州、淮安、宿迁四市2015届高三第一次调研考试(一模)数学试题

连云港、徐州、淮安、宿迁四市高三年级第一次模拟考试

数 学(定稿)
数学Ⅰ 必做题部分
注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共 4 页,包含填空题(第 1 题~第 14 题) 、解答题(第 15 题~第 20 题) .本卷满 分 160 分,考试时间为 120 分钟.考试结束后,请将本卷和答题卡一并交回. 2.答题前,请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及 答题卡的规定位置. 3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答,在其他位置作答一律无效.作答必须 用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整,笔迹清楚. 4.如需作图,须用 2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗. 5.请保持答题卡卡面清洁,不要折叠、破损. 1 n 1 n 参考公式:1.样本数据 x1 , x2 , , xn 的方差 s 2 ? ? ( xi ? x) 2 ,其中 x ? ? xi . n i ?1 n i ?1

1 2.锥体的体积公式: V ? Sh ,其中 S 是锥体的底面面积, h 是高. 3 一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.不需写出解题过程,请把答案直接填写在答 .
题卡相应位置上 ) ....... 1.已知集合 A ? {0 ,1, 2 , 3} , B = {2 , 3 , 4 , 5} ,则 A U B 中元素的个数为 ▲ 个. 2.设复数 z 满足 i ? z ? 4? ? 3 ? 2i ( i 是虚数单位) ,则 z 的虚部为 ▲ . 3.如图,茎叶图记录了甲、乙两组各 3 名同学在期末考试中的数学 成绩,则方差较小的那组同学成绩的方差为 ▲ . 4.某用人单位从甲、乙、丙、丁共 4 名应聘者中招聘 2 人,若每个 6 应聘者被录用的机会均等,则甲、乙 2 人中至少有 1 人被录用的 概率为 ▲ . 5.如图是一个算法的流程图,若输入 x 的值为 2, 则输出 y 的值为 ▲ . 6.已知圆锥的轴截面是边长为 2 的正三角形, 则该圆锥的体积为 ▲ . 7.若 f ( x) 为定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时,
x? y
甲组 乙组

8 2

8 9 0 1 5

(第 3 题) 开始 输入 x

y ? 2x ? 1
N

y ? x ≥4
Y 输出 y
结束 (第 5 题)

f ( x) = log 2 (2 - x) ,则 f (0) + f (2) 的值为 ▲ .
8.在等差数列 ?a n ? 中,已知 a2 ? a8 ? 11 ,则 3a3 ? a11 的值为 ▲ .
2 2

9.若实数 x , y 满足 x + y - 4 ≥ 0 ,则 z = x + y + 6x - 2 y + 10 的最小值为 ▲ .

10. 已知椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,点 A ,B1 ,B2 ,F 依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点.若 a2 b2

直线 AB2 与直线 B1 F 的交点恰在该椭圆的右准线上,则该椭圆的离心率为 ▲ .
高三数学试卷 第 1 页 共 13 页

11.将函数 y ? 2 sin(? x ?

称轴重合,则 ? 的最小值为 ▲ .

π π )(? ? 0) 的图象分别向左、向右各平移 个单位长度后,所得的两个图象对 4 4

12.已知 a , b 为正数,且直线 ax ? by ? 6 ? 0 与直线 2x ? ?b ? 3? y ? 5 ? 0 互相平行,则 2a ? 3b 的最小 值为 ▲ . 13.已知函数 f ? x ? ? ?

?? x 2 ,
2

x ≥ 0,

? x ? 2 x, x ? 0

,则不等式 f ( f ( x)) ≤ 3 的解集为 ▲ .

14.在△ ABC 中,已知 AC ? 3 , ? A ? 45 ,点 D 满足 CD ? 2DB ,且 AD ? 13 ,则 BC 的长为 ▲ . 二、解答题: 本大题共 6 小题, 15~17 每小题 14 分,18~20 每小题 16 分,共计 90 分.请在答题卡指定 ..... 的区域内作答 ,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . ...... .................... 15. (本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,设向量 a ? (1, 2sin ? ) , b ? (sin(? ? ) ,1) , ? ? R . (1) 若 a ? b ,求 tan ? 的值; (2) 若 a ∥ b ,且 ? ? (0 ,

π 3

π ) ,求 ? 的值. 2

16. (本小题满分 14 分) 如图,在三棱锥 P ? ABC 中,已知平面 PBC ⊥平面 ABC . (1) 若 AB ⊥ BC ,且 CP ⊥ PB ,求证: CP ⊥ PA ; (2) 若过点 A 作直线 l ⊥平面 ABC ,求证: l //平面 PBC .

P

A B
(第 16 题)

C

17. (本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(?3,4) , B(9,0) ,若 C , D 分别为线段 OA , OB 上的动点,且满足 AC ? BD . (1) 若 AC ? 4 ,求直线 CD 的方程; (2)证明:△ OCD 的外接圆恒过定点(异于原点 O ) . y A C O
(第 17 题)

D

B

x

18. (本小题满分 16 分) 如图,有一个长方形地块 ABCD ,边 AB 为 2 km , AD 为 4 km .地块的一角是草坪(图中阴影部分) ,
高三数学试卷 第 2 页 共 13 页

其边缘线 AC 是以直线 AD 为对称轴,以 A 为顶点的抛物线的一部分.现要铺设一条过边缘线 AC 上 一点 P 的直线型隔离带 EF , E , F 分别在边 AB , BC 上(隔离带不能穿越草坪,且占地面积忽略 不计) ,将隔离出的△ BEF 作为健身场所.设点 P 到边 AD 的距离为 t (单位: km ) ,△ BEF 的面积为 2 S (单位: km ) . (1)求 S 关于 t 的函数解析式,并指出该函数的定义域; (2)是否存在点 P ,使隔离出的△ BEF 面积 S 超过 3 km2 ?并说明理由. D C F

P

A

E
(第 17 题)

B

19. (本小题满分 16 分)

在数列 ?an ? 中,已知 a1 ? a2 ? 1 ,且满足 an ? an?2 ? ? ? 2an?1 , n ? N , ? 为常数.
*

(1)证明: a1 , a4 , a5 成等差数列;

(2)设 cn ? 2an?2 ?an ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Sn ; (3)当 ? ? 0 时,数列 ?an ?1 ? 中是否存在三项 as?1 ?1,at ?1 ?1,a p?1 ? 1 成等比数列,且 s ,t , p 也 成等比数列?若存在,求出 s , t , p 的值;若不存在,说明理由.

20. (本小题满分 16 分)

1 2 ax ? x , a ? R . 2 (1)若 a ? 2 ,求函数 f ( x ) 的单调递减区间; (2)若关于 x 的不等式 f ( x) ≤ ax ? 1 恒成立,求整数 a 的最小值; (3)若 a ? ?2 , x1 , x 2 是两个不相等的正数,且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 x2 ? 0 ,
已知函数 f ( x ) ? ln x ? 求证: x1 ? x2 ≥

5 ?1 . 2
高三数学试卷 第 3 页 共 13 页

苏北四市高三年级摸底考试

数 学(定稿)
数学Ⅱ 附加题部分
注意事项
1.本试卷共 2 页,均为解答题(第 21 题~第 23 题,共 4 题) .本卷满分为 40 分,考试时间为 30 分钟。 考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回. 2.作答试题,必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其它位置作答一律无效. 21. 【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两题 ,并在相应的答题区域内作答 .若多做, ....... ............ 则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.选修 4-1:几何证明选讲 (本小题满分 10 分) AB = AC , e O 是△ ABC 的外接圆, 如图, 延长 BC 到点 D , 使得 CD = AC , 连结 AD 交 e O 于点 E . 求 证: BE 平分 ?ABC . A E O B.选修 4-2:矩阵与变换 (本小题满分 10 分) B C
(第 21A 题)

D

? ?1 a ? 已知 a , b ? R ,矩阵 A ? ? ? 所对应的变换 TA 将直线 x ? y ? 1 ? 0 变换为自身,求 a , b 的值. ? b 3?

C.选修 4-4:坐标系与参数方程 (本小题满分 10 分)

高三数学试卷

第 4 页 共 13 页

ì ì ? x = t, ? x = a cos q, 已知直线 l 的参数方程为 ? ( a ? 0, ? 为参数) , ( t 为参数),圆 C 的参数方程为 ? í í ? ? ? ? ? y = a sin q ? y = 2t + 1
点 P 是圆 C 上的任意一点,若点 P 到直线 l 的距离的最大值为

5 ? 1 ,求 a 的值. 5

D.选修 4-5:不等式选讲 (本小题满分 10 分) 若 a ? 0, b ? 0 ,且

1 1 ? ? ab .求 a 3 ? b3 的最小值. a b

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出文字 ....... 说明、证明过程或演算步骤. 22. (本小题满分 10 分) 某校现有 8 门选修课程,其中 4 门人文社会类课程,4 门自然科学类课程,学校要求学生在高中 3 年 内从中任选 3 门课程选修,假设学生选修每门课程的机会均等. (1)求某同学至少选修 1 门自然科学类课程的概率; (2)已知某同学所选修的 3 门课程中有 1 门人文社会类课程,2 门自然科学类课程,若该同学通过人文 社会类课程的概率都是

4 3 , 自然科学类课程的概率都是 , 且各门课程通过与否相互独立. 用? 表 5 4

示该同学所选的 3 门课程通过的门数,求随机变量 ? 的概率分布列和数学期望.

23. (本小题满分 10 分) 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0) 的准线方程为 x = 于点 N . (1)求抛物线的方程; (2)试问:

1 , 过点 M (0, - 2) 作 4 抛物线的切线 MA ,切点为 A (异于点 O ),直线 l 过点 M 与抛物线交于两点 B , C ,与直线 OA 交

MN MN ? 的值是否为定值?若是,求出定值;若不是,说明理由. MB MC
y C l

O M B

N A (第 23 题)

x

数学Ⅰ参考答案与评分标准
高三数学试卷 第 5 页 共 13 页

一、填空题: 1.6 11.2; 2. ?3 3.
14 3

4.

5 6

5.7 14.3.

6.

3 π 3

7. ?2

8.22;

9.18;

1 10. ; 2

12.25 ; 13. (??, 3] ;

二、解答题: 15.(1)因为 a ? b ,所以 a ? b =0 ,??????????????????????2 分 所以 2sin ? ? sin ? ? ?

? ?

5 3 π? cos ? ? 0 . ? ? 0 ,即 sin ? ? 2 2 3?

???????4 分

因为 cos ? ? 0 ,所以 tan ? ? ? (2)由 a ∥ b ,得 2sin ? sin ? ? ? 即 2sin
2

3 . 5

????????????????6 分

? ?

π? ? ? 1, ??????????????????8 分 3?

? cos ? 2sin ? cos ? sin
? ? π? 1 ?? , 6? 2

π 3

π 1 3 ? 1 ,即 ?1 ? cos 2? ? ? sin 2? ? 1 , 3 2 2
????????????????????11 分

整理得, sin ? 2? ? 又 ? ? ? 0,

? ?

π π π π ? π 5π ? π? ? ,所以 2? ? ? ? ? , ? ,所以 2? ? 6 ? 6 ,即 ? ? 6 . ??14 分 6 ? 6 6 ? 2?
平面 ABC ? BC , AB ? 平面 ABC , P

16. (1)因为平面 PBC ⊥平面 ABC ,平面 PBC

AB ⊥ BC ,所以 AB ⊥平面 PBC . ??2 分
因为 CP ? 平面 PBC ,所以 CP ⊥ AB .?4 分 又因为 CP ⊥ PB ,且 PB
AB ? B ,

A AB, PB ? 平面 PAB , 所以 CP ⊥平面 PAB ,?6 分 又因为 PA ? 平面 PAB ,所以 CP ⊥ PA .?7 分 B

C D

(2)在平面 PBC 内过点 P 作 PD ⊥ BC ,垂足为 D .?????????????8 分 因为平面 PBC ⊥平面 ABC ,又平面 PBC ∩平面 ABC =BC,

PD ? 平面 PBC ,所以 PD ⊥平面 ABC .????????????????10 分
又 l ⊥平面 ABC ,所以 l // PD .????????????????????12 分 又 l ? 平面 PBC , PD ? 平面 PBC , l //平面 PBC .???????????14 分 17.(1) 因为 A(?3, 4) ,所以 OA ?

(?3) 2 ? 4 2 ? 5 ,?????????????1 分

又因为 AC ? 4 ,所以 OC ? 1 ,所以 C (? , ) ,?????????????3 分

3 4 5 5

4 5 ??1 由 BD ? 4 ,得 D(5, 0) ,所以直线 CD 的斜率 , ???????5 分 7 ? 3? 5??? ? ? 5? 0?
高三数学试卷 第 6 页 共 13 页

所以直线 CD 的方程为 y ? ? ( x ? 5) ,即 x ? 7 y ? 5 ? 0 .??????????6 分 (2)设 C (?3m, 4m)(0 ? m ≤1) ,则 OC ? 5m .????????????????7 分 则 AC ? OA ? OC ? 5 ? 5m ,因为 AC ? BD ,所以 OD ? OB ? BD ? 5m+4 , 所以 D 点的坐标为 (5m+4,0) , ????????????????????8 分 又设△ OCD 的外接圆的方程为 x2 ? y 2 ? Dx+Ey ? F ? 0 ,

1 7

? F ? 0, ? ? 2 2 则有 ?9m ? 16m ? 3mD ? 4mE ? F ? 0, ?????????????????10 分 ? 2 ? ?? 5m ? 4 ? ? ? 5m ? 4 ? D ? F ? 0.
解之得 D ? ?(5m ? 4), F ? 0 , E ? ?10m ? 3 , 所以△ OCD 的外接圆的方程为 x2 ? y 2 ? (5m ? 4) x ? (10m ? 3) y ? 0 ,???12 分 整理得 x2 ? y 2 ? 4 x ? 3 y ? 5m( x ? 2 y) ? 0 ,

? x 2 ? y 2 ? 4 x ? 3 y =0, ? x ? 0, ? x ? 2, 令? ,所以 ? (舍)或 ? ? y ? 0. ? y ? ?1. ? x+2 y =0
所以△ OCD 的外接圆恒过定点为 (2, ?1) .????????????????14 分 18 . (1) 如 图 , 以 A 为 坐 标 原 点 O , AB 所 在 直 线 为 x 轴 , 建 立 平 面 直 角 坐 标 系 , 则 C 点 坐 标 为 (2, 4) .?????????????????????????????1 分 设边缘线 AC 所在抛物线的方程为 y = ax 2 , 把 (2, 4) 代入,得 4 = a 22 ,解得 a = 1 , 所以抛物线的方程为 y = x2 .??????????????????????3 分 因为 y ?= 2 x ,所以过 P(t , t 2 ) 的切线 EF 方程为 y = 2tx - t 2 .????????5 分 令 y = 0 ,得 E ( ,0) ;令 x = 2 ,得 F (2,4t - t 2 ) ,故 S ?

t 2

1 t (2 ? )(4t ? t 2 ) ,?8 分 2 2

所以 S ?

1 3 (t ? 8t 2 ? 16t ) ,定义域为 (0, 2] .???????????????9 分 4

(2) S ?(t ) ?

1 2 3 4 (3t ? 16t ? 16) ? (t ? 4)(t ? ) ,????????????????12 分 4 4 3
D y C F

4 4 由 S ?(t ) ? 0 ,得 0 ? t ? ,所以 S ?(t ) 在 (0, ) 上是增 3 3

高三数学试卷

第 7 页 共 13 页

P

O(A)

E

B x

函数,由 S ?(t ) ? 0 ,得

4 4 ? t ? 4 ,所以 S ?(t ) 在 ( , 2] 3 3

上是减函数,???????14 分 所以 S 在 (0, 2] 上有最大值 S ( ) ?

4 3

64 . 27

又因为

64 17 ? 3? ? 3 ,所以不存在点 P ,使隔离出的△ BEF 面积 S 超过 3 km2 . 27 27

答:不存在点 P ,使隔离出的△ BEF 面积 S 超过 3 km2 .?????????16 分 19. (1)因为 an ? an?2 ? ? ? 2an?1,a1 ? a2 ? 1,所以 a3 ? 2a2 -a1 +? ? ? ? 1 , 同理, a4 ? 2a3 -a2 +? ? 3? ? 1 , a5 ? 2a4 -a3 +? ? 6? ? 1 , ????????2 分 又因为 a4 ? a1 ? 3? , a5 ? a4 ? 3? ,???????????????????3 分 所以 a4 ? a1 ? a5 ? a4 ,故 a1 , a4 , a5 成等差数列.????????????4 分 (2) 由 an ? an?2 ? ? ? 2an?1 ,得 an?2 ? an?1 ? an?1 ? an +? ,??????????5 分 令 bn ? an?1 ? an ,则 bn?1 ? bn ? ? , b1 ? a2 ? a1 ? 0 , 所以 ?bn ? 是以 0 为首项公差为 ? 的等差数列,故 bn ? b1 ? (n ? 1)? ? (n ?1)? ,?6 分 即 an?1 ? an ? (n ?1)? ,所以 an?2 ? an ? 2(an?1 ? an ) ? ? ? (2n ?1)? , 所以 cn ? 2an?2 ?an ? 2(2n?1)? . ?????????????????????8 分

Sn ? c1 ? c2 ? L ? cn ? 2? ? 23? ? 25? ? L ? 2(2n?1)? ,
当 ? ? 0时,Sn ? n , 当 ? ? 0 时,Sn ? 2 ? 2
?

???????????????????????9 分
3?

? 25? ? L ? 2(2 n ?1) ? ?

2? (1 ? 22 n? ) .??????10 分 1 ? 22 ?

? ? 0, ?n, ? ? 2 n ? 所以数列 ?cn ? 的前 n 项和 Sn ? ? 2 (1 ? 2 ) , ? ? 0. ? ? 1 ? 22 ?
(3)由(2)知 an?1 ? an ? (n ?1)? ,用累加法可求得 an ? 1+

(n ? 1)(n ? 2) ? ? n ≥ 2? , 2
????????12 分

当 n ? 1 时也适合,所以 an ? 1+

(n ? 1)( n ? 2) ? ? n ? N? ? 2

假设存在三项 as?1 ?1, at ?1 ?1, ap?1 ?1 成等比数列,且 s , t , p 也成等比数列, 则 (at ?1 ?1) ? (as?1 ?1)(ap?1 ?1) ,即
2

t 2 (t ? 1)2 s( s ? 1) p( p ? 1) ? , ???14 分 4 4
第 8 页 共 13 页

高三数学试卷

因为 s , t , p 成等比数列,所以 t 2 ? sp ,所以 (t ? 1)2 ? (s ?1)( p ?1) , 化简得 s ? p ? 2t ,联立 t 2 ? sp ,得 s ? t ? p .这与题设矛盾. 故不存在三项 as?1 ?1, at ?1 ?1, ap?1 ?1 成等比数列,且 s , t , p 也成等比数列.?16 分 20. (1)因为 f (1) ? 1 ?

a ? 0 ,所以 a ? 2 ,?????????????????1 分 2 1 ?2 x 2 ? x ? 1 此时 f ( x) ? ln x ? x2 ? x, x ? 0 , f ?( x) ? ? 2 x ? 1 ? ( x ? 0) ,?2 分 x x

由 f ?( x) ? 0 ,得 2 x 2 ? x ? 1 ? 0 ,又 x ? 0 ,所以 x ? 1 . 所以 f ( x ) 的单调减区间为 (1, ??) . ???????????????? 4 分

(2)方法一:令 g ( x) ? f ( x) -(ax ? 1) ? ln x ?

1 2 ax ? (1 ? a ) x ? 1 , 2

所以 g ?( x) ?

1 ?ax 2 ? (1 ? a) x ? 1 . ? ax ? (1 ? a) ? x x

当 a ≤ 0 时,因为 x ? 0 ,所以 g ?( x) ? 0 .所以 g ( x) 在 (0, ??) 上是增函数, 又因为 g (1) ? ln1 ?

1 3 a ?12 ? (1 ? a) ? 1 ? ? a ? 2 ? 0 , 2 2

所以关于 x 的不等式 f ( x) ≤ ax ? 1 不能恒成立.??????????????6 分 当 a ? 0 时,

?ax2 ? (1 ? a) x ? 1 g ?( x) ? ?? x
1 a 1 a

1 1 a( x ? )( x ? 1) ,令 g ?( x) ? 0 ,得 x ? . a a x

所以当 x ? (0, ) 时, g ?( x) ? 0 ;当 x ? ( , ??) 时, g ?( x) ? 0 ,

因此函数 g ( x) 在 x ? (0, ) 上是增函数,在 x ? ( , ??) 上是减函数.

1 a

1 a

故函数 g ( x) 的最大值为 g ( ) ? ln

1 a

1 1 1 1 1 ? a ? ( ) 2 ? (1 ? a) ? ? 1 ? ? ln a .?8 分 a 2 a a 2a

令 h(a ) ?

1 1 1 ? ln a ,因为 h(1) ? ? 0 , h(2) ? ? ln 2 ? 0 ,又 h(a) 在 a ? (0, ??) 是减函数.故当 2a 2 4

a ≥ 2 时, h(a) ? 0 .所以整数 a 的最小值为 2.??????10 分

高三数学试卷

第 9 页 共 13 页

方法二:由 f ( x) ≤ ax ? 1 恒成立,得 ln x ?

1 2 ax ? x ≤ ax ? 1 在 (0, ??) 上恒成立, 2

ln x ? x ? 1 问题等价于 在 (0, ??) 上恒成立. 1 2 x ?x 2 ln x ? x ? 1 g ( x) ? 令 ,只要 a ≥ g ( x)max .???????????????? 6 分 1 2 x ?x 2 1 ( x ? 1)(? x ? ln x) 1 2 因为 g ?( x) ? ,令 g ?( x) ? 0 ,得 ? x ? ln x ? 0 . 1 2 2 ( x ? x) 2 2 a≥
设 h( x ) ? ?

1 1 1 x ? ln x ,因为 h?( x) ? ? ? ? 0 ,所以 h( x) 在 (0, ??) 上单调减, 2 x 2

不妨设 ?

1 g ?( x) ? 0 ; g ?( x) ? 0 , ) 时, x ? ln x ? 0 的根为 x0 . 当 x ? (0, x0 ) 时, 当 x ? ( x, 所以 g ( x) 0 ?? 2

在 x ? (0, x0 ) 上是增函数;在 x ? ( x0 , ??) 上是减函数.

所以 g ( x) max

1 1 ? x0 ln x0 ? x0 ? 1 1 2 ? g ( x0 ) ? ? ? .?????????8 分 1 2 1 x0 ? x0 x0 (1 ? x0 ) x0 2 2

因为 h( ) ? ln 2 ?

1 2

1 1 1 1 ? 0 , h(1) ? ? ? 0 ,所以 ? x0 ? 1 ,此时 1 ? ? 2 ,即 g ( x)max ? (1, 2) .所 x0 4 2 2
f ( x? ) l ? x n2 x? x, , ?x 由 0 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1x2 ? 0 , 即

以 a ≥ 2 ,即整数 a 的最小值为 2.?????????? 10 分 ( 3 ) 当

a ? ?2 时 ,

ln x1 ? x12 ? x1 ? ln x2 ? x22 ? x2 ? x1x2 ? 0 ,
2 从而 ( x1 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? x1 ? x2 ? ln( x1 ? x2 ) , ????????????? 13 分

令 t ? x1 ? x2 ,则由 ? (t ) ? t ? ln t 得, ? ?(t ) ?

t ?1 , t

可知, ? (t ) 在区间 (0,1) 上单调减,在区间 (1, ??) 上单调增. 所以 ? (t ) ≥? (1) ? 1 , ( x1 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 ) ≥1 ,故 x1 ? x2 ≥
2

5 ?1 成立.?16 分 2

徐州市 2015 届高三年级第一次质量检测

数学Ⅱ参考答案与评分标准
21.
高三数学试卷 第 10 页 共 13 页

A.因为 CD ? AC ,所以 ?D ? ?CAD .??????????????????2 分 因为 AB ? AC ,所以 ?ABC ? ?ACB .?????????????????4 分 因为 ?EBC ? ?CAD ,所以 ?EBC ? ?D .???????????????6 分 因为 ?ACB ? ?CAD ? ?ADC ? 2?EBC , ???????????????8 分 所以 ?ABE ? ?EBC ,即 BE 平分 ?ABC .???????????????10 分
y ) 在变换 T A 的作用下变成点 P?( x?, y?) , B.设直线 x ? y ? 1 ? 0 上任意一点 P( x,

? ?1 a ? ? x ? ? x? ? ? x? ? ? x ? ay , ? ? ? ,得 ? 由? ?????????????????4 分 ? ? ? ? b 3 ? ? y ? ? y ?? ? y ? ? bx ? 3 y.
y?) 在直线 x ? y ? 1 ? 0 上,故 xⅱ - y - 1= 0 , 因为 P?( x?,

即 (?1 ? b) x ? (a ? 3) y ? 1 ? 0 , ????????????????????6 分
y ) 在直线 x ? y ? 1 ? 0 上,所以 x ? y ? 1 ? 0 . ????????8 分 又因为 P( x,

ì - 1- b = 1, ? 因此 ? 解得 a ? 2, b ? ?2 . í ? ? ? a - 3 = - 1.

???????????????10 分

ì x = t, ? C.因为直线 l 的参数方程为 ? 消去参数 t ,得 l 的普通方程为 y ? 2 x ? 1 .3 分 í ? ? ? y = 2t + 1,
又因为圆 C 的参数方程为 ?
2

? x ? a cos? ( a ? 0, ? 为参数) , ? y ? a sin ?
2 2

所以圆 C 的普通方程为 x ? y ? a .??????????????????6 分 因为圆 C 的圆心到直线 l 的距离 d ? 故依题意,得 D. 因为 a ? 0, b ? 0 ,所以 又因为 所以 a 3 所以 a 3 22.

5 ,?????????????????8 分 5

5 5 ?a ? ? 1 ,解得 a ? 1 . ??????????????10 分 5 5

1 1 2 ? ≥ ,???????????????????3 分 a b ab

1 1 ? ? ab ,所以 ab ≥ 2 ,当且仅当 a ? b ? 2 时取等号.???6 分 a b

? b3 ≥ 2 a3b3 ≥ 4 2 ,当且仅当 a ? b ? 2 时取等号.?????9 分

? b3 的最小值为 4 2 .????????????????????10 分

(1) 记“某同学至少选修 1 门自然科学课程”为事件 A,
3 C4 1 13 则 P(A)=1 ? 3 ? 1 ? ? ,?????????????????????2 分 C8 14 14

高三数学试卷

第 11 页 共 13 页

所以该同学至少选修 1 门自然科学课程的概率为

13 .???????????3 分 14

(2)随机变量 ? 的所有可能取值有 0,1, 2,3 .?????????????????4 分

1 ?1? 1 4 ?1? 1 1 3 1 1 因为 P(? =0)= ? ? ? = , P(? =1)= ? ? ? + ? C2 ? ? ? , 5 ? 4 ? 80 5 ?4? 5 4 4 8 4 1 3 1 ? 3 ? 33 4 ? 3? 9 1 ,????8 分 P(? =2)= ? C2 ? ? + ? ? ? = , P(? =3)= ? ? ? ? 5 4 4 5 ? 4 ? 80 5 ? 4 ? 20
所以 ? 的分布列为
2 2

2

2

?
P

0

1
1 8

2

3

33 9 80 20 1 10 33 36 ? 1? ? 2 ? ? 3? ? 2.3 .????????????10 分 所以 E (? )=0 ? 80 80 80 80
23. (1)由题设知, ?

1 80

p 1 1 ? ? , p ? ,所以抛物线的方程为 y 2 ? x .???2 分 2 2 4

(2)因为函数 y = -

x 的导函数为 y ?= -

1 2 x

,设 A( x0 , y0 ) ,

则直线 MA 的方程为 y - y0 = -

1 ( x - x0 ) ,????????????4 分 2 x0 1 1 ? ( x0 ) . 2 x0
1 x .? 6 分 4

因为点 M (0, - 2) 在直线 MA 上,所以 - 2 - y0 = -

ì 1 ? ? ? y0 = - 2 - 2 联立 í ? 2 ? ? ? y0 = x0 .

x0 ,

解得 A(16, - 4) .所以直线 OA 的方程为 y = -

设直线 BC 方程为 y = kx - 2 ,由 ? í

ì ? y 2 = x, ,得 k 2 x2 - (4k + 1) x + 4 = 0 , ? ? ? y = kx - 2

ì 1 ? ? y = - x, 8 4k + 1 4 ? , xB xC = 2 .由 í 所以 xB + xC = .??? 8 分 4 ,得 xN = 2 ? 4k + 1 k k ? ? ? y = kx - 2
x + xC MN MN xN xN + = + = xN ? B MB MC xB xC xB xC 4k + 1 2 8 ? k 4 4k + 1 k2 8 4k + 1 ? 4k + 1 4 2,

所以

高三数学试卷

第 12 页 共 13 页



MN MN + 为定值 2.???????????????????????10 分 MB MC

高三数学试卷

第 13 页 共 13 页


相关文章:
...宿迁四市2015届高三第一次调研考试(一模)数学.doc
江苏省连云港徐州淮安宿迁四市2015届高三第一次调研考试(一模)数学_数学_高中教育_教育专区。徐州淮安、宿迁、连云港四市 2015 届高三第一次模拟考试 数学...
...等四市2015届高三第一次调研考试(一模)数学试题及答....doc
江苏省连云港四市2015届高三第一次调研考试(一模)数学试题及答案 - 徐州淮安宿迁、连云港四市 2015 届高三第一次模拟考试 数学试卷 一、填空题:本大题共...
江苏省四市2015届高三第一次调研考试(一模)数学试题及答案.doc
江苏省四市2015届高三第一次调研考试(一模)数学试题及答案 - 徐州淮安宿迁连云港四市 2015 届高三第一次模拟考试 数学试卷 一、填空题:本大题共 14 小...
...淮安、宿迁四市2015届高三第一次调研考试(一模)化学....doc
江苏省连云港徐州淮安宿迁四市2015届高三第一次调研考试(一模)化学试卷及答案_数学_高中教育_教育专区。江苏省连云港徐州淮安、宿迁四市2015届高三第一次...
2015届江苏省连云港、徐州、淮安、宿迁四市高三一模考....doc
2015届江苏省连云港徐州淮安宿迁四市高三一模考试理科数学试卷(带解析) - 2015 届江苏省连云港徐州淮安宿迁四市高三一模考试理科数 学试卷(带解析) ...
...淮安、宿迁四市2015届高三第一次调研考试(一模)化学....doc
江苏省连云港徐州淮安宿迁四市2015届高三第一次调研考试(一模)化学试题含答案_政史地_高中教育_教育专区。江苏省连云港徐州淮安、宿迁四市2015届高三第...
...淮安、宿迁四市2015届高三第一次调研考试(一模)语文....doc
江苏省连云港徐州淮安宿迁四市2015届高三第一次调研考试(一模)语文试题 - 徐州市 2014~2015 学年度高三第一次质量检测 注意事项 1.考试时间 ...
...淮安、宿迁四市2015届高三第一次调研考试(一模)物理....doc
江苏省连云港徐州淮安宿迁四市2015届高三第一次调研考试(一模)物理试题_政史地_高中教育_教育专区。江苏省连云港徐州淮安、 宿迁四市 2015 届高三第...
...淮安、宿迁四市2015届高三第一次调研考试(一模)物理....doc
江苏省连云港徐州淮安宿迁四市2015届高三第一次调研考试(一模)物理试题含答案_政史地_高中教育_教育专区。江苏省连云港徐州淮安、宿迁四市2015届高三第...
...宿迁四市2015届高三第一次调研考试(一模)数学.pdf
江苏省连云港徐州淮安宿迁四市2015届高三第一次调研考试(一模)数学_数学_高中教育_教育专区。徐州 淮安 宿迁 连 港四 2015 届高 第 次模拟考试 数学试卷...
...淮安、宿迁四市2015届高三第一次调研考试(一模)语文....doc
江苏省连云港徐州淮安宿迁四市2015届高三第一次调研考试(一模)语文试题含答案 - 徐州市 2014~2015 学年度高三第一次质量检测 注意事项 1.考试时间 150 ...
...淮安、宿迁四市2015届高三第一次调研考试(一模)化学....doc
江苏省连云港徐州淮安宿迁四市2015届高三第一次调研考试(一模)化学试题_政史地_高中教育_教育专区。江苏省连云港徐州淮安、 宿迁四市 2015 届高三第...
...淮安、宿迁四市2015届高三第一次调研考试(一模)政治....doc
江苏省连云港徐州淮安宿迁四市2015届高三第一次调研考试(一模)政治试卷及答案_数学_高中教育_教育专区。江苏省连云港徐州淮安、宿迁四市2015届高三第一次...
...淮安、宿迁四市2015届高三第一次调研考试(一模)语文....doc
江苏省连云港徐州淮安宿迁四市2015届高三第一次调研考试(一模)语文试题(Word版有答案) - 乾洲教育在线(www.qzjyzx.com) 您教学的好帮手 徐州市 2014~...
...淮安、宿迁四市2015届高三第一次调研考试(一模)政治....doc
江苏省连云港徐州淮安宿迁四市2015届高三第一次调研考试(一模)政治试题 - 苏北四市 2014~2015 学年度高三第一次模拟考试 政治试题 注意事项 考生在答题前...
...淮安、宿迁四市2015届高三第一次调研考试(一模)地理....doc
江苏省连云港徐州淮安宿迁四市2015届高三第一次调研考试(一模)地理试题含答案_政史地_高中教育_教育专区。江苏省连云港徐州淮安、宿迁四市2015届高三第...
...淮安、宿迁四市2015届高三第一次调研考试(一模)语文....doc
江苏省连云港徐州淮安宿迁四市2015届高三第一次调研考试(一模)语文试题含答案 - 徐州市 2014~2015 学年度高三第一次质量检测 注意事项 1.考试时间 150 ...
...淮安、宿迁四市2015届高三第一次调研考试(一模)政治....doc
江苏省连云港徐州淮安宿迁四市 2015 届高三第一次调研考试 (一模)政治试题 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共 8...
...淮安、宿迁四市2015届高三第一次调研考试(一模)历史....doc
江苏省连云港徐州淮安宿迁四市2015届高三第一次调研考试(一模)历史试题含答案_政史地_高中教育_教育专区。江苏省连云港徐州淮安、宿迁四市2015届高三第...
...淮安、宿迁四市2015届高三第一次调研考试(一模)历史....doc
江苏省连云港徐州淮安宿迁四市 2015 届高三第一次调研考试(一模) 历史试题一、选择题:本大题共 20 小题,每小题 3 分,共 60 分。在每小题列出的四...