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用直线的参数方程求弦长


?

32

.


,










) 到 (一 c o
1
.

o ) 上 的 一 一 映射 c
:



最 后 有两点 补充 说 明

=
,

到 (一

晋香

,

) 上的


:

映射

这 样就 不 再

以 上 建 立 的 一 一映射 显 然 不 是 唯 一
,

需 要 通 过 半 无 穷 区 间 过 渡 来求 整 无 穷 区 间 和

本 文 只 是提 供 了一 种 有 章 可 循 的 方 法 ;
在 学 完 三 角函 数 和 反 三 角 函 数 后 t g x 和y = a r c 七 g x 分别 提 供 了 一 种 从
2
.

有 穷 区 间 相 互 间的 一 一 映 射 了
(作 者 单 位



y

天 津 市 燎 原 中学 )

‘一

晋晋

,

) 到(



,

o )上 和 从 ( 一 c c o

,

o ) c

,

用 直 线 的 参 数 方 程 求 弦 长
黄 人杰
x
= =


由此
,


I

x



+

a

已 知 直 线 的 参数 方 程
a x


t

,

y
+ x

y



+

t 和二 b
=

t

,

=
l



训a

Z

+

Z , b 乞

,

y d 次曲线 当 直 线 和 二 次 曲 线相 交 时


+

bx y + e

+ e
,

y + f

o

t

:

=
1

士了 a
1

Z

+
/

b t
Z

:

.

如 何 计算


= =

弦 的长 度 题


这 是 解 析 几何 中一 个 常 见 的 问 试 本 文 图 给 出应 用 直 线 的 参 数 方 程 求 弦


,

}
l

A B
士侧 a
Z

} }
=



:

:



t

, l

}


+

b t
Z



(士侧 a
:

+

Z , b 七) I

长 的一 般 万 法 设 过 点 P (x
x
=

训a

+
:

b



}t

:



t

1

.

。,

y



) 的直 线 L


:

x



+

a

t
y

,

y
ey
Z

=

y

o

+

b七
e

和 二 次 曲 线a x
+

+

bx y

+

而 ! 七 一 七, } 可 由 将 直 线 的 参 数方 程 代 人 二 次 曲 线 方 程 得 到 关 于 t 的一元 二 次 方 程 后 通 过 韦 达 定 理 求得 以下举 例说 明 例1
.

,

最后 就 可 以 求 弦长
i 2 一





+


d

x

+

f
:

=

o相 交于A



B 两 点 (如

图)

令PA
P B
=
I

=



,

求直 线
.

了 X

!



工 L

与 圆x
+

Z

+

y

Z

y



3



t
: ,

: ,



5

相 交的 弦 长
_
.

I

t

t : 分别 表示


{

、 二

A



B 两点 到P 点的



, ,


(

有 向距 离 由 直 线 参 数 方 程 的 含 义 易 知 A 点 的坐 。 . , : B 点的 坐标 标 为 (x + a 七 y + b t ) 。 : : : : x + a 七 + b a y b七 ( t ) 七 为 : a 2 七 b 七 分别 表 示 有 向 线 段 P C CA PD D B 的长 度 亦 即 A B 两点 的坐 标 对 P 点 的 坐 标 的改 变 量
, ,

料y

一 工 七一 “ 人 代 圆 万 “得

,

?



二 “

3

+

t
+


: 5七

‘ ,

2



3 ‘

, ‘



=

5

?



整 理得

+
:

2 4 七+
=

,

,

,

6 1

=
:


+ X

.

,





}t

:



七一 45! 2

了 (t

: 七)

:



4tr t:



,








4

16

_

16

5
=

5

在R t △ A C P 和 R t △ B D P 中
定理 得 P C
PD


,

由勾 股

a

1



+ +

CA D B
:
2
?

:

= =

PA

,

,





,

b

=

1

,

忿

Z

PB
(a

Z ,



弦长 d

=

: ! t : ‘



t:

{ 订a
?

Z

+

bZ
5



(a

t )
:

: +

(b 七 )



:

t )
:

名+

(b 七 ) t
:


:

) 誉 丫 (合
?



:

旦侧

1 9 8 4

年 第 五 数

例2
+



求直 线
=

(


x

二 一

3

十 十

t

,

与椭 圆

故弦 长 “ =
.

y

二 一

3

2七


号 了
fx
、 =
= 一

,



护‘


.

里 丝 16 4

x


1

相 交所 得 的 弦 长
3
3
+ +

例 4 试 求直 线

3

+



认 与椭圆

y

3t


急 =

{
t
:

, t
Zt

代 人 椭 圆方程

X 2

2

+

x 4


y

y

=



的弦 长


5 +

y





X 4

2
=

y



7

0 相 交所 得 =
,

+

4y
17t

16


+

直 将方 程 线

Z



54 t

29
=

=

0
+

{
=

x



3 + Zt

代人

y

=

3七

It
=

:



}

: 亿 (t

t: )
_


/



4t : t :
?

椭 圆方 程 得
77t
2



丫 帝
’a . ,

:

4

X

29

17

行v

4

+ 37 13 4七

0
~

声 五
””

}t

:



t

,



l
+

b
b
,

=

, 2

丫 碑翔叮 二黔
丫 黯 粼而
瑞了
一二 不 厂 、/

:

.

亿a

=



5

.





?

弦长d





:



二 二不 ‘! ‘ 亿‘ 石诬

~

鑫骊



= 故 弦长 “

4 10

?

X ’ 2
r | l

+



22 + 3



|

.. 二

例O
,



。 ‘

,

求直 线 y

=

,

+




与 抛 物线

=

4

,

言不二;
O J O U
.

丫丫

初 学 参数 方程 的 同 学 容 易混 淆 直线 参数 方 程 的两 种 形 式

y



=

4x

相 交所 得 的 弦 长
X 一 y 一




1 ‘ 2 一

{

x

=

x

o

+

eo s

y



y



+ 5

ot (夕为 常数 ) in o 七
,




1


斌蕊,



_ 代人 抛 物 线 方
3



了 、 , 气

X 一 X y 一 y

? n O

U 权 + a 七

工 卜 L

(前 者 是 后 者 的 特例 )

,



程y



=

4x
,


-

鱼t
4

( 2 t
:





3

) t
x



7

=

0

因 而 在 求 直 线 和 圆 锥 曲线 相 交 后 的 弦 , 长 时 往 往 产生 错误 本文 所 介 绍 的 方 法 能

.

把 各 种 情 况 加 以 统一 ( 包 括 直 线 参 数方 程 的


}t

:



=

切 (t
I 一 3 丫 十

+

t
,

:

)


.



4t zt

:



8



/

. ‘ 一





两 种 形 式 定 点 P 和 圆 锥 曲线 的 各 种 相 对 位 置 以 及 圆锥 曲线 的 不 同 形 状 等 ) 使 同学 在 解 题 过 程 中有 所遵循 从 而 可 以 避 免 混
,

,

,

,


Z

,

减少 错误
( 作 者 单位
:

,

简化解 题过 程



由 于 本 题 中a



b

=

1

江 苏 省 无 锡 县 天 一 中 学)


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