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11-12学年高二数学:2.2.1 综合法与分析法 课件(人教A版选修2-2)


? 2.2 直接证明与间接证明 . ? 2.2.1 综合法与分析法 .

? 理解综合法和分析法的概念及它们的区别, 能熟练地运用综合法、分析法证题.

? 本节重点:综合法与分析法的概念及用分 析法与综合法证题的过程、特点. ? 本节难点:用综合法与分析法证明命题.

? 1.分析法与综合法既有区别又有联系,分析法是从 “未知”看“需知”,逐步靠拢“已知”,每步推理都 是寻找该步结论的充分条件,是“执果索因”,综合法 是从“已知”看“可知”逐步推向“未知”,每步推理 都是“由因导果”,而实际解决问题时,常将两种方法 结合起来使用.由已知条件看能得到哪些明显的结论, 看待证结论需要这些结论中的哪些才能获证,常常是 “分析找思路,综合写过程”. ? 2.综合法与分析法的推理过程是演绎推理,因为综合 法与分析法的每一步推理都是严密的逻辑推理,从而得 到的每一个结论都是正确的,不同于合情推理中的“猜 想”.

? 综合法和分析法

综合法 利用 已知条件 和某 定义 些数 学 公理 、 、 定理 等,经过一 系列的 推理论证 , 最后推导出所要证明 的结论成立,这种证 明方法叫做综合法

定义

分析法 从要证明的 结论出发 , 逐步寻求使它成立 充分条件 的 ,直至最 后,把要证明的结论归结 为判定一个明显成立的条 件(已知条件、 定理、 定义、公理 等),这种证 明方法叫做分析法

综合法

分析法

框图 表示 (P表示 已知条件 、已有的 定义、公理、定理 等, Q表示所要证明的结论 ) 特点 顺推证法或由因导果法 逆推证法或执果索因法

[例 1] +b+c).

1 2 已知 a, c>0.求证: +b +c ≥ (a +b2+c2)(a b, a 3
3 3 3

? [分析] 不等式中的a,b,c为对称的,所 以从基本的不等式定理入手,先考虑两个 正数的均值定理,再根据不等式的性质推 导出证明的结论.

? ? ? ? ? ? ? ?

[证明] ∵a2+b2≥2ab,a>0,b>0, ∴(a2+b2)(a+b)≥2ab(a+b). ∴a3+b3+a2b+ab2≥2ab(a+b)=2a2b+2ab2. ∴a3+b3≥a2b+ab2. 同理:b3+c3≥b2c+bc2,a3+c3≥a2c+ac2. 将三式相加得: 2(a3+b3+c3)≥a2b+ab2+bc2+b2c+a2c+ac2, ∴3(a3+b3+c3)≥(a3+a2b+a2c)+(b3+b2a+b2c) +(c3+c2a+c2b)=(a+b+c)(a2+b2+c2).
1 2 ∴a +b +c ≥ (a +b2+c2)(a+b+c). 3
3 3 3

? [点评] 1.综合法证明问题的步骤 ? 第一步:分析条件,选择方向.仔细分析 题目的已知条件(包括隐含条件),分析已 知与结论之间的联系与区别,选择相关的 公理、定理、公式、结论,确定恰当的解 题方法. ? 第二步:转化条件,组织过程.把题目的 已知条件,转化成解题所需要的语言,主 要是文字、符号、图形三种语言之间的转 化.组织过程时要有严密的逻辑,简洁的 语言,清晰的思路.

? 第三步:适当调整,回顾反思.解题后回 顾解题过程,可对部分步骤进行调整,并 对一些语言进行适当的修饰,反思总结解 题方法的选取.

2.综合法证明不等式所依赖的主要是不等式的基本性 质和已知的重要不等式,其中常用的有如下几个: ①a2≥0(a∈R). ②(a-b) ≥0(a、b∈R),其变形有 a +b (a+b)2 2 ≥ab,a2+b2≥ 2 . a+b b a ≥ ab,特别是 + ≥2. ③若 a、b∈(0,+∞),则 a b 2 ④a2+b2+c2≥ab+bc+ca(a、b、c∈R).
2 2 2

?a+b? ? ≥2ab,? ? 2 ? ? ?

? 3.综合法是一种由因索果的证明方法,其 逻辑依据也是三段论式的演绎推理方 法.一般问题都是用综合法解决的,要保 证前提条件正确,推理合乎规律,这样才 能保证结论的正确性.

已知 a、b、c∈R 且 a+b+c=1,


?1 ? ?1 ? ?1 ? 求证:?a-1?·?b-1?·?c-1?≥8. ? ?? ?? ?
?1 ??1 ??1 ? ∵?a-1??b-1?? c-1? ? ?? ?? ?

[证明]

(b+c)(a+c)(a+b) = abc 2 bc·2 ac·2 ab 8abc ≥ = =8, abc abc 当且仅当 a=b=c 时等号成立,∴不等式成立.

[例 2]

a b 已知 a>0,b>0,求证: + ≥ a+ b. b a

? [分析] 要证明上述不等式成立,暂无条 件可用,这时可以从所要证明的结论出发, 逐步反推,寻找使当前命题成立的充分条 件,即用分析法证明.
[证明]
? 只需证? ? ?

a b ∵a>0,b>0,要证 + ≥ a+ b成立, b a a b ?2 + ? ≥( a+ b)2 成立, b a? ?

a2 b2 即证 + +2 ab≥a+b+2 ab成立. b a

a3+b3 即证 ≥a+b. ab 也就是证(a+b)(a2-ab+b2)≥ab(a+b)成立. 即 a2-2ab+b2≥0,也就是证(a-b)2≥0 成立. a b ∵(a-b) ≥0 恒成立,∴ + ≥ a+ b. b a
2

? [点评] (1)分析法证明不等式的依据是不 等式的基本性质、已知的重要不等式和逻 辑推理的基本理论; ? (2)分析法证明不等式的思维是从要证的不 等式出发,逐步寻求使它成立的充分条件, 最后得到的充分条件是已知(或已证)的不 等式; ? (3)用分析法证明数学命题时,一定要恰当 地用好“要证”、“只需证”、“即证” 等词语.

当 a≥2 时,求证 a+1- a< a-1- a-2.
[证明] 要证 a+1- a< a-1- a-2,

只需证 a+1+ a-2< a+ a-1, 只需证( a+1+ a-2)2<( a+ a-1)2, 只 需 证 a + 1 + a - 2 + 2 (a+1)(a-2) <a + a - 1 + 2 a(a-1),

只需证 (a+1)(a-2)< a(a-1), 只需证(a+1)(a-2)<a(a-1), 即证-2<0,而-2<0 显然成立, 所以 a+1- a< a-1- a-2成立.

? [例3] △ABC的三个内角A、B、C成等差 数列,A、B、C的对边分别为a、b、c.
1 1 3 求证: + = . a+b b+c a+b+c a b b c a b c

? [分析] 条件与结论跨越较大,不易下手, 可考虑用分析法证明;由于分析法是执果 索因,逐步寻找成立的充分条件,因此分 析法的倒退过程就是综合法.

[证明]

分析法:

1 1 3 要证 + = , a+b b+c a+b+c a+b+c a+b+c 即证 + =3, a+b b+c c a 也就是 + =1, a+b b+c

? 只需证c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c), ? 需证c2+a2=ac+b2, ? 又△ABC三内角A、B、C成等差数列,故 B=60°,

? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

由余弦定理,有 b2=c2+a2-2accos60°,即b2=c2+a2-ac, 故c2+a2=ac+b2得证. 综合法: 证明:∵△ABC三内角A、B、C成等差数列, ∴B=60°. 由余弦定理,有b2=c2+a2-2cacos60°, 得c2+a2=ac+b2, 等式两边同时加上ab+bc得 c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c),

c a 等式两边同除以(a+b)(b+c)得, + =1, a+b b+c
? c ? ? a ? ? ? ? ∴?a+b+1?+?b+c+1?=3, ? ? ? ? ?

1 1 3 即 + = . a+b b+c a+b+c

? [点评] 综合法和分析法各有优缺点.从 寻找解题思路来看,综合法由因导果,往 往枝节横生,不容易奏效;分析法执果索 因,常常根底渐近,有希望成功,就表达 证明过程而论,综合法形式简洁,条理清 晰;分析法叙述繁琐,文辞见长.也就是 说分析法利于思考,综合法宜于表述.因 此,在实际解题时,常常把分析法和综合 法结合起来运用,先以分析法为主导求解 题思路,再用综合法有条理地表述解答或 证明过程.

? 求证:logn(n+1)>logn+1(n+2)(n≥2).
[证明] 分析法: 要证 logn(n+1)>logn+1(n+2) 1 只需证明 >logn+1(n+2) logn+1n ∵logn+1n>0 ∴只需证 logn+1n·logn+1(n+2)<1.
?logn+1n+logn+1(n+2)? ?2 ∵logn+1n·logn+1(n+2)<? ? ? 2 ? ? ?logn+1[n(n+2)]? ? ?2 ? ? = ? ? 2 ? ?

logn+1[n(n+2)] ∴只需证 <1 2 即 logn+1[n(n+2)]<logn+1(n+1)2 ∴也就是证 n(n+2)<(n+1)2,这是显然成立的. ∴原不等式成立. 综合法: lg(n+1) lg(n+2) logn(n+1)-logn+1(n+2)= - lgn lg(n+1) lg2(n+1)-lgn·lg(n+2) = lgnlg(n+1)

∵n(n+2)<(n+1)2 ∴lg[n(n+2)]<lg(n+1)2
?lgn+lg(n+2)? ?2 ∵lgnlg(n+2)<? ? ? 2 ? ? ?lgn(n 2)? ?lg(n 1)2? ?lgn(n+2)?2 ?lg(n+1) ?2 =? <? =lg2(n+1) ? ? 2 2 ? ? ? ?

∴logn(n+1)-logn+1(n+2)>0 ∴logn(n+1)>logn+1(n+2).

[例 4]

如果 a>b, ab=1, 求证: 2+b2≥2 2(a-b), a

并指明何时取“=”号.

? [分析] 先用分析法将所证不等式转化为 易证的等价式子,再用综合法进行证明.

[解析]

因为 a>b,a-b>0,所以欲证 a2+b2≥2 2(a-b).

a2+b2 只需证 ≥2 2. a-b 因为 a>b,所以 a-b>0,又知 ab=1, a2+b2 a2+b2-2ab+2ab (a-b)2+2 所以 = = a-b a-b a-b 2 =(a-b)+ ≥2 a-b 2 (a-b)· =2 2. a-b

a2+b2 所以 ≥2 2,即 a2+b2≥2 2(a-b). a-b 2 当且仅当 a-b= ,即 a-b= 2时,取等号. a-b

[点评]

(1)本题证明的前半部分用分析法,要证结论成立,

a2+b2 a2+b2 只需证 ≥2 2,后半部分用综合法证明了 ≥2 2. a-b a-b

? (2)在解决问题时,我们经常把综合法和分 析法结合起来使用,根据条件的结构特点 去转化结论,得到中间结论Q;根据结论 的结构特点去转化条件,得到中间结论P, 若由P可以推出Q成立,就可以证明结论成 立.一般情况下,用分析法寻找思路,用 综合法完成证明.

已知 a,b 是不等正数,且 a3-b3=a2-b2,求证:1<a 4 +b< . 3
[证明] ∵a3-b3=a2-b2 且 a≠b,

∴a2+ab+b2=a+b, 由(a+b)2=a2+2ab+b2>a2+ab+b2 得 (a+b)2>a+b,又 a+b>0,∴a+b>1,

4 要证 a+b< ,即证 3(a+b)<4, 3 ∵a+b>0,∴只需证明 3(a+b)2<4(a+b), 又 a+b=a2+ab+b2 即证:3(a+b)2<4(a2+ab+b2) 也就是证明(a-b)2>0 因为 a,b 是不等正数,故(a-b)2>0 成立. 4 故 a+b< 成立. 3 4 综上,得 1<a+b< . 3

? 一、选择题 ? 1.用分析法证不等式:欲证①A>B,只需 证②C<D,这里①是②的 ( ) ? A.既不充分也不必要条件 ? B.充要条件 ? C.充分条件 ? D.必要条件 ? [答案] D ? [解析] ∵②?①,但①不一定推出②.故 应选D.

2.若 a,b,c∈R,且 ab+bc+ac=1,则下列不等 式成立的是 A.a2+b2+c2≥2 B.(a+b+c)2≥3 ( )

? ? ? ? ?

1 1 1 1 C. + + ≥2 3 D.abc(a+b+c)≤ a b c 3 [答案] B [解析] 因为a2+b2≥2ab,a2+c2≥2ac,b2+c2≥2bc,将 三式相加得2(a2+b2+c2)≥2ab+2ac+2bc, 即a2+b2+c2≥1. 又因为(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc, 所以(a+b+c)2≥1+2×1=3,B成立.故应选B.

? 3.设a,b,c∈R,且a,b,c不全相等,则不 等式a3+b3+c3≥3abc成立的一个充要条件是 ( ) ? A.a,b,c全为正数 B.a,b,c全为非 负实数 ? C.a+b+c≥0 D.a+b+c>0 ? [答案] C ? [解析] a3+b3+c3-3abc ? =(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc) ? = (a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2] ? 而a,b,c不全相等?(a-b)2 +(b-c)2 +(c- a)2>0,故a3+b3+c3≥3abc?a+b+c≥0.故应选C.

二、填空题 4.若 0<a<1,0<b<1,且 a≠b,则在 a+b,2 ab,a2+b2 和 2ab 中最大的是________.

? [答案] a+b
[解析] 已知 a+b>2 ab,a2+b2>2ab, 又 a+b-(a2+b2)=a(1-a)+b(1-b)>0. 1 1 5 1 2 也可用特值法取 a= ,b= ,则 a+b= ,2 ab= ,a 2 8 8 2 17 1 +b = ,2ab= ,显见 a+b 最大,故只能是填 a+b. 64 8
2

5. 设 a= 2,b= 7- 3,c= 6- 2,则 a、b、 c 的大小关系为________.

? [答案] a>c>b
[解析] ∵a、b、c 都是正数,又 a2-c2=2-(8-4 3)

=4 3-6= 48- 36>0,∴a>c. 6- 2 7+ 3 c ∵ = = >1,∴c>b. b 7- 3 6+ 2

三、解答题 6.已知 a,b,c 为不全相等的正实数,求证: b+c-a c+a-b a+b-c + + >3. a b c

[证明]

? b a? ? c b ? ? a c ? 左边=?a+b?+?b+c ?+? c+a?-3,因 ? ? ? ? ? ?

a,b,c

b a c b a c 为不全相等的正实数,所以 + ≥2, + ≥2, + ≥2, a b b c c a
? b a? ? c b? 且上述三式的等号不能同时成立.所以 ?a+b? + ?b+ c? + ? ? ? ? ?a c ? b+c-a c+a-b a+b-c ? + ?-3>6-3=3.即 + + >3. a b c ? c a?


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