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2017年北京市朝阳区高三第一次综合练习数学文试题与答案


北京市朝阳区高三年级第一次综合练习

数学测试题(文史类)

2017.3

(考试时间 120 分钟 满分 150 分) 本试卷分为选择题(共 40 分)和非选择题(共 110 分)两部分
第一部分(选择题 共 40 分)

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选 项中,选出符合题目要求的一项. (1)已知集合 A ? {x | ? 1 ? x ? 3} , B ? {x ? Z | x2 ? 4} ,则 A ? B ? (A) {0,1} (C) {?1, 0,1} (B) {?1, 0,1, 2} (D) {?2, ?1, 0,1, 2}

?2 x ? y ≤ 0, ? (2)若 x, y 满足 ? x ? y ≤ 3, 则 y ? x 的最大值为 ? x ≥ 0, ?

(A) 0 (C) 4

(B) 3 (D) 5

开始 (3)执行如图所示的程序框图,若输入 m ? 4 , n ? 6 ,则输出 a ? 输入 m,n i?0 (A) 4 (C) 12 (B) 8 (D) 16
i ? i ?1
a ? m ?i

否 a 能被 n 整 是 除? 输出 a 结束

(4)已知直线 l 过定点 (0,1) , 则“直线 l 与圆 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 相切”是“直线 l 的 斜率为
3 ”的 4 (A)充分不必要条件 (C)充分必要条件

(B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

2 (5)已知函数 f ( x) ? ? x ? 4 x, log 2 x ? a,

?

x ? 2, 有两个不同的零点,则实数 a 的取值范 x>2

围是 (A) ? ?1,0? (B) ?1, 2?

, +? ? (C) ?1

+? ? (D) ? 2,

(6)设抛物线 y 2 ? 8x 的焦点为 F ,准线为 l , P 为抛物线上一点, PA ? l , A 为 垂足. 如果直线 AF 的斜率为 3 ,那么 PF ? (A)
8

(B)

16

(C)4 3

(D)

8 3
(7)某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的底面的面积是
1

0. 5 0. 正视图 侧视图 5

1

俯视图

(A)

1 2

(B)

3 2

(C)

1 4

(D)

3 4

(8)如图, A, B, C 三个开关控制着 1, 2,3, 4 号四盏灯.若开关 A 控制着 2,3, 4 号灯 (即按一下开关 A , 2,3, 4 号灯亮,再按一下开关 A , 2,3, 4 号灯熄灭),同样,开 关 B 控制着 1,3, 4 号灯,开关 C 控制着 1, 2, 4 号灯.开始时,四盏灯都亮着,那么下 列说法正确的是 (A)只需要按开关 A, C 可以将四盏灯全部熄灭 1 2 (B)只需要按开关 B, C 可以将四盏灯全部熄灭 (C)按开关 A, B, C 可以将四盏灯全部熄灭

3

4

(D)按开关 A, B, C 无法将四盏灯全部熄灭

第二部分(非选择题 共 110 分)

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 1 (9)复数 z ? 1 ? 在复平面内对应的点的坐标是_______. i (10) 已知 { an } 为等差数列,Sn 为其前 n 项和. 若 S6 ? 51 ,a1 ? a9 ? 26 , 则数列 { an } 的公差 d ? ,通项公式 an ? .

(11)已知函数 f ( x) ? 2 x ? 围是 .

2 ? a 的一个零点在区间 (1,2) 内,则实数 a 的取值范 x

(12)在△ ABC 中, ?A ?

? , BC ? 3 , AB ? 6 ,则 ?C ? ____, AC ? _____. 3

(13)为了促销某电子产品,商场进行降价,设 m ? 0 , n ? 0 , m ? n ,有三种 降价方案: 方案①:先降 m% ,再降 n % ; 方案②:先降
m+n m+n % ,再降 %; 2 2

方案③:一次性降价 (m+n)% . 则降价幅度最小的方案是_________.(填出正确的序号) (14) 如图, ?AB1C1 , ?B1B2C2 , ?B2 B3C3 是三个边长为 2 的等边三角形,且有 一条边在同一直线上,边 B3C3 上有 5 个不同的点 P 1, P 2, P 3, P 4, P 5 ,设

???? ? ??? ? i ? 1, 2,?,5 ),则 m1 ? m2 ? ? ? m5 ? ________. mi ? AC2 ? AP i(
C1 C2 C3 P5 P4 P3 P2 P1 B3

A

B1

B2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明 过程. (15)(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? sin x(cos x ? 3sin x) . (Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期; (Ⅱ)求函数 f ( x) 在 x ? [0, π] 上的单调递增区间.

(16)(本小题满分 13 分) 已知数列 {an } 满足 a1 ? 1, an ?1 ? (Ⅰ)证明 {bn } 是等比数列; (Ⅱ)求数列 {log 2 bn } 的前 n 项和 Tn .
a 2(n ? 1) an , 设 bn ? n , n ? N? . n n

(17)(本小题满分 13 分)

某校高三年级共有学生 195 人,其中女生 105 人,男生 90 人.现采用 按性别分层抽样的方法,从中抽取 13 人进行问卷调查.设其中某项问题的 选择分别为“同意”、“不同意”两种,且每人都做了一种选择.下面表格 中提供了被调查人答卷情况的部分信息. 女学生 男学生 同意 4 不同意 2 合计

(Ⅰ)完成上述统计表; (Ⅱ)根据上表的数据估计高三年级学生该项问题选择“同意”的人数; (Ⅲ) 从被抽取的女生中随机选取 2 人进行访谈,求选取的 2 名女生中至 少有一人选择“同意”的概率.

(18)(本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,平面 PAB ? 平面 ABCD , AD ? BC ,
PA ? AB , CD ? AD , BC ? CD ?

1 AD , E 为 AD 的中点. 2
P

(Ⅰ)求证: PA ? CD ; (Ⅱ)求证:平面 PBD ? 平面 PAB ; (Ⅲ)在平面 ..PAB 内是否存在 M ,使得直 线 CM ? 平面 PBE ,请说明理由.
C D B E

A

(19)(本小题满分 14 分)

过点 A(1,0) 的直线 l 与椭圆 C :

x2 ? y 2 ? 1 相交于 E , F 两点,自 E , F 分别 3

向直线 x ? 3 作垂线,垂足分别为 E1 , F1 . (Ⅰ)当直线 l 的斜率为 1 时,求线段 EF 的中点坐标; (Ⅱ) 记 ?AEE1 ,?AFF1 的面积分别为 S1 ,S2 .设 ? ? S1S2 ,求 ? 的取值范围.

(20)(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? x3 ? 3ax ? e, g ( x) ? 1 ? ln x ,其中 e 为自然对数的底数. (Ⅰ)若曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线与直线 l : x ? 2 y ? 0 垂直,求实数 a 的值; (Ⅱ)设函数 F ( x) ? ? x[ g ( x) ?
1 x ? 2] ,若 F ( x) 在区间 (m, m + 1)(m ? Z) 内存在唯 2

一的极值点,求 m 的值; (Ⅲ) 用 max ?m, n? 表示 m,n 中的较大者, 记函数 h( x) ? max{ f ( x), g ( x)}( x ? 0) . 若函数 h( x) 在 (0, ??) 上恰有 2 个零点,求实数 a 的取值范围.

北京市朝阳区高三年级第一次综合练习 数学测试题答案(文史类)
2017.3 一、 选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 题号 (1) (2) (3) (4) (5) (6) C B C B C A 答案 二、 填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 题号 (9) (10) (11) (12) (13) 答案
(1, ?1) 3, (0,3) 3n ? 2

(7) D (14)
90

(8) D

? , 4

6 ?3 2 2



三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明 过程. (15)(本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ)因为 f ( x) ? sin x(cos x ? 3sin x) ? sin x cos x ? 3 sin 2 x
1 3 3 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 2 2 π 3 , ? sin(2 x ? ) ? 3 2

所以函数 f ( x) 的最小正周期为
T? 2π ?π. 2

?????????????6 分

(Ⅱ)令 2kπ ?

π π π ? 2 x ? ? 2kπ ? , k ? Z 得, 2 3 2 5π π 2kπ ? ? 2 x ? 2kπ ? , k ? Z , 6 6 5π π ? x ? kπ ? , k ? Z . 所以 kπ ? 12 12

又因为 x ? [0, π] , 所以函数 f ( x) 在 x ? [0, π] 上的单调递增区间是 [0,
[ 7π , π] .?????13 分 12 π ]和 12

(16)(本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ)由 an ?1 ?
a a 2(n ? 1) an ,得 n ?1 ? 2 ? n . n n ?1 n

所以 bn?1 ? 2bn ,即 又因为 b1 ?

bn ?1 ? 2. bn

a1 ?1, 1

所以数列 {bn } 是以 1 为首项, 公比为 2 的等比数列. ????????

7分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知 bn ? 1? 2n?1 ? 2n?1 . 所以 log2 bn ? log2 2n?1 ? n ?1. 则数列 {log 2 bn } 的前 n 项和

Tn ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? (n ? 1) ?
分 (17)(本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ)统计表如下:

n(n ? 1) . 2

?????????????13

女学生 男学生

同意 4 4

不同意 3 2

合计 7 6

???????????????????????????????? ???3 分 (Ⅱ)高三年级学生该项问题选择“同意”的人数估计有

? ? ???? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ???(人) . ? ?
7分

?????????

(Ⅲ)设“同意”的 4 名女生分别为 A1 , A2 , A3 , A4 ,“不同意”的 3 名女生分别 为 B1 , B2 , B3 . 从 7 人中随机选出 2 人的情况有

A1 A2 , A1 A3 , A1 A4 , A1B1 , A1B2 , A1B3 , A2 A3 , A2 A4 , A2 B1 , A2 B2 , A2 B3 , A3 A4 , A3B1 , A3B2 , A3B3 , A4 B1 , A4 B2 , A4 B3 , B1B2 , B1B3 , B2 B3 ,共 21 种结果.
其中 2 人都选择“不同意”的情况有 B1B2 , B1B3 , B2 B3 ,共 3 种结果. 设 2 名女生中至少有一人选择“同意”为事件 M , 所求概率 P( M ) ? 1 ?

? 6 ? . ?? 7

?????????

13 分

(18)(本小题满分 14 分) 证明:(Ⅰ)因为平面 PAB ? 平面 ABCD , 平面 PAB ? 平面 ABCD ? AB , 又因为 PA ? AB , 所以 PA ? 平面 ABCD . 则 PA ? CD . ???????5 分

(Ⅱ)由已知,BC ? ED,且 BC=ED,所以四边形 BCDE 是平行四边形, 又 CD ? AD , BC ? CD ,所以四边形 BCDE 是正方形, 连接 CE ,所以 BD ? CE , 又因为 BC ? AE, BC ? AE , 所以四边形 ABCE 是平行四边形, 所以 CE ? AB ,则 BD ? AB . 由(Ⅰ)知 PA ? 平面 ABCD , 所以 PA ? BD , 又因为 PA ? AB ? A , 则 BD ? 平面 PAB , 且 BD ? 平面 PBD , 所以平面 PBD ? 平面 PAB . ???? ???10 分 (Ⅲ)在梯形 ABCD 中,AB 与 CD 不平行.延长 AB,DC,相交于点 M(M∈ 平面 PAB),点 M 即为所求的一个点. 理由如下:由已知,BC ? ED,且 BC=ED. 所以四边形 BCDE 是平行四边形,所以 CD ? EB ,即 CM ? EB , 又 EB ? 平面 PBE , CM ? 平面 PBE , 所以 CM ? 平面 PBE . ????????????????????? D E A M B P

C

???14 分 (19)(本小题满分 14 分)

? y ? x ? 1, 解: (Ⅰ)依题意,直线 l 的方程为 y ? x ? 1 ,由 ? 2 ,得 2 x 2 ?3 x ?0 . 2 ?x ? 3y ? 3 ? 0
设 E( x1, y1)、F ( x2 , y2 ) ,线段 EF 的中点为 M ( x0 , y0 ) , 则 x1 ? x2 ?
3 3 , x0 ? , 2 4 1 3 1 y0 ? x0 ? 1 ? ? .所以 M ( , ? ) . 4 4 4

??????6 分

? x ? my ? 1, (Ⅱ)设直线 l 的方程为 x ? my ? 1 ,由 ? 2 2 ?x ? 3y ? 3 ? 0
得 (m2 ? 3) y 2 ? 2my ? 2 ? 0 ,显然 m ? R . 设 E( x1, y1), F ( x2 , y2 ) ,则 y1 ? y2 ?
?2m ?2 , y1 y2 ? 2 . 2 m ?3 m ?3

E1 (3, y1 ), F1 (3, y2 ) .
1 1 因为 ? ? S1S 2 ? (3 ? x1 ) y1 ? (3 ? x2 ) y2 2 2 1 ? (2 ? my1 )(2 ? my2 ) y1 y2 4 1 ? [4 ? 2m( y1 ? y2 ) ? m 2 y1 y2 ] y1 y2 4

y
E O A F E1

?

2m2 ? 6 ? 2m2 ? m2 2 ? 2 2 2(m ? 3) m ?3 3m2 ? 6 (m2 ? 3)2
3 3 ? 2 . 2 (m ? 3) m ? 3
2

x
F1

?

??

因为

1 1 ? (0, ] , m ?3 3
2

2 所以实数 ? 的取值范围是 (0, ] . 3

???????????????

14 分 20.(本小题满分 13 分)

解: (Ⅰ) 易得, f ?( x) ? 3x2 ? 3a ,所以 f ?(1) ? 3 ? 3a ,
1 1 依题意, (3 ? 3a )( ? ) ? ?1 ,解得 a ? ; 2 3

??????????3

分 (Ⅱ)因为 F ( x) ? ? x[ g ( x) ?
1 1 1 ? ? x ? 2] ? ? x ?(1 ? ln x) ? x ? 2 ? ? x ln x ? x 2 ? x , 2 2 2 ? ?

则 F ?( x) ? ln x ? 1 ? x ? 1 ? ln x ? x ? 2 .设 t ( x) ? ln x ? x ? 2 , 则 t ?( x) ?
1? x 1 ?1 ? . x x

令 t ?( x) ? 0 ,得 x ? 1 . 则由 t ?( x) ? 0 ,得 0 ? x ? 1 , F ?( x) 为增函数; 由 t ?( x) ? 0 ,得 x ? 1 , F ?( x) 为减函数; 而 F ?(
1 1 1 ) ? ?2 ? 2 ? 2 ? ? 2 ? 0 , F ?(1) ? 1 ? 0 . 2 e e e

则 F ?( x) 在 (0,1) 上有且只有一个零点 x1 , 且在 (0, x1 ) 上 F ?( x) ? 0 , F ( x) 为减函数; 在 ( x1 ,1) 上 F ?( x) ? 0 , F ( x) 为为增函数. 所以 x1 为极值点,此时 m ? 0 . 又 F ?(3) ? ln 3 ?1 ? 0 , F ?(4) ? 2ln 2 ? 2 ? 0 , 则 F ?( x) 在 (3, 4) 上有且只有一个零点 x2 , 且在 (3, x2 ) 上 F ?( x) ? 0 , F ( x) 为增函数; 在 ( x2 , 4) 上 F ?( x) ? 0 , F ( x) 为减函数. 所以 x2 为极值点,此时 m ? 3 . 综上 m ? 0 或 m ? 3 . ????????9 分

(Ⅲ)(1)当 x ? (0,e) 时, g ( x) ? 0 ,依题意, h( x) ? g ( x) ? 0 ,不满足条件; (2)当 x ? e 时, g (e) ? 0 , f (e) ? e3 ? 3ae ? e ,

①若 f (e) ? e3 ? 3ae ? e ? 0 ,即 a ?

e2 ? 1 ,则 e 是 h( x) 的一个零点; 3 e2 ? 1 ,则 e 不是 h( x) 的零点; 3

②若 f (e) ? e3 ? 3ae ? e ? 0 ,即 a ? (3) 当 x ?( e ,? ? )

时,g ( x) ? 0 , 所以此时只需考虑函数 f ( x) 在 (e, ??)

上零点的情况.因为 f ?( x) ? 3x2 ? 3a ? 3e2 ? 3a ,所以 ①当 a ? e2 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 在 (e, ??) 上单调递增. 又 f (e) ? e3 ? 3ae ? e ,所以 (i)当 a ?
e2 ? 1 时, f (e) ? 0 , f ( x) 在 (e, ??) 上无零点; 3

(ii)当

e2 ? 1 ? a ? e 2 时, f (e) ? 0 , 3

又 f (2e) ? 8e3 ? 6ae ? e ? 8e3 ? 6e3 ? e ? 0 , 所以此时 f ( x) 在 (e, ??) 上恰有一个零点; ②当 a ? e2 时,令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ? a .
由 f ?( x) ? 0 ,得 e ? x ? 由 f ?( x) ? 0 ,得 x ?

a;

a;

所以 f ( x) 在 (e, a ) 上单调递减,在 ( a , ??) 上单调递增.

因为 f (e) ? e3 ? 3ae ? e ? e3 ? 3e3 ? e ? 0 ,

f (2a) ? 8a3 ? 6a2 ? e ? 8a2 ? 6a2 ? e ? 2a2 ? e ? 0 ,
所以此时 f ( x) 在 (e, ??) 上恰有一个零点;
e2 ? 1 综上, a ? . 3

????????????13 分


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