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2017年北京市朝阳区高三第一次综合练习数学文试题与答案

北京市朝阳区高三年级第一次综合练习

数学测试题(文史类)

2017.3

(考试时间 120 分钟 满分 150 分) 本试卷分为选择题(共 40 分)和非选择题(共 110 分)两部分
第一部分(选择题 共 40 分)

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选 项中,选出符合题目要求的一项. (1)已知集合 A ? {x | ?1? x ? 3}, B ? {x ? Z | x2 ? 4} ,则 A B ?

(A) {0,1}

(B){?1,0,1, 2}

(C) {?1, 0,1}

(D){?2, ?1,0,1, 2}

?2x ? y ≤ 0,

(2)若

x,

y

满足

? ?

x

?

y



3,

则 y ? x 的最大值为

??x ≥ 0,

(A) 0

(B) 3

(C) 4

(D) 5

(3)执行如图所示的程序框图,若输入

m

?

4



n

?

6

,则输出

a

开始 ?

输入

m,n i?0

(A) 4 (C)12

(B) 8 (D)16

i ? i ?1 a ? m?i

否 a 能被 n 整 除? 是
输出
a 结束

(4)已知直线 l 过定点 (0,1) , 则“直线 l 与圆 (x ? 2)2 ? y2 ? 4 相切”是“直线 l 的

斜率为 3 ”的 4
(A)充分不必要条件 (C)充分必要条件

(B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

? (5)已知函数 f (x) ?

?x2 ? 4x, log2 x ? a,

x ? 2, x>2

有两个不同的零点,则实数

a

的取值范

围是

(A) ??1, 0?

(B) ?1,2?

(C) ?1,+??

(D) ?2,+??

(6)设抛物线 y2 ? 8x 的焦点为 F ,准线为 l ,P 为抛物线上一点,PA ? l , A 为 垂足. 如果直线 AF 的斜率为 3 ,那么 PF ?

(A) 8

(B) 16

(C)4 3

(D)

83 (7)某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的底面的面积是

1
0. 5
正视图

0. 5 侧视图

1

俯视图

(A) 1 2

(B) 3 2

(C) 1 4

(D) 3 4

(8)如图, A, B,C 三个开关控制着1, 2,3, 4 号四盏灯.若开关 A 控制着 2,3, 4 号灯

(即按一下开关 A , 2,3, 4 号灯亮,再按一下开关 A , 2,3, 4 号灯熄灭),同样,开

关 B 控制着1,3, 4 号灯,开关 C 控制着1, 2, 4 号灯.开始时,四盏灯都亮着,那么下

列说法正确的是

(A)只需要按开关 A,C 可以将四盏灯全部熄灭

(B)只需要按开关 B,C 可以将四盏灯全部熄灭

1

2

(C)按开关 A, B,C 可以将四盏灯全部熄灭

3

4

(D)按开关 A, B,C 无法将四盏灯全部熄灭

第二部分(非选择题 共 110 分) 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.
(9)复数 z ? 1? 1 在复平面内对应的点的坐标是_______. i
(10)已知{an } 为等差数列,Sn 为其前 n 项和.若 S6 ? 51 ,a1 ? a9 ? 26 ,则数列{an }

的公差 d ?

,通项公式 an ? .

(11)已知函数 f (x) ? 2x ? 2 ? a 的一个零点在区间 (1,2) 内,则实数 a 的取值范 x

围是 .

(12)在△ ABC 中, ?A ? ? , BC ? 3, AB ? 6 ,则 ?C ? ____, AC ? _____. 3

(13)为了促销某电子产品,商场进行降价,设 m ? 0, n ? 0 , m ? n ,有三种

降价方案:

方案①:先降 m% ,再降 n% ;

方案②:先降 m+n % ,再降 m+n % ;

2

2

方案③:一次性降价 (m+n)% .

则降价幅度最小的方案是_________.(填出正确的序号)

(14) 如图, ?AB1C1 , ?B1B2C2 , ?B2B3C3 是三个边长为 2 的等边三角形,且有 一条边在同一直线上,边 B3C3 上有 5 个不同的点 P1, P2 , P3, P4, P5 ,设 mi ? AC2 ? APi ( i ? 1, 2, ,5 ),则 m1 ? m2 ? ? m5 ? ________.

C1

C2

C3

P5 P4

P3

P2

P1

A

B1

B2

B3

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明 过程. (15)(本小题满分 13 分)
已知函数 f (x) ? sin x(cos x ? 3 sin x) .
(Ⅰ)求函数 f (x) 的最小正周期;
(Ⅱ)求函数 f (x) 在 x ?[0, π] 上的单调递增区间.

(16)(本小题满分 13 分)

已知数列 {an } 满足

a1

? 1, an?1

?

2(n ?1) n

an , 设 bn

?

an n

, n ? N?

.

(Ⅰ)证明 {bn } 是等比数列;

(Ⅱ)求数列{log2 bn} 的前 n 项和Tn .

(17)(本小题满分 13 分)

某校高三年级共有学生 195 人,其中女生 105 人,男生 90 人.现采用

按性别分层抽样的方法,从中抽取 13 人进行问卷调查.设其中某项问题的

选择分别为“同意”、“不同意”两种,且每人都做了一种选择.下面表格

中提供了被调查人答卷情况的部分信息.

同意 不同意 合计

女学生 4

男学生

2

(Ⅰ)完成上述统计表;

(Ⅱ)根据上表的数据估计高三年级学生该项问题选择“同意”的人数;

(Ⅲ) 从被抽取的女生中随机选取 2 人进行访谈,求选取的 2 名女生中至

少有一人选择“同意”的概率.

(18)(本小题满分 14 分)

如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,平面 PAB ? 平面 ABCD, AD BC ,

PA ? AB , CD ? AD , BC ? CD ? 1 AD , E 为 AD 的中点. 2

(Ⅰ)求证: PA ? CD ;

P

(Ⅱ)求证:平面 PBD ?平面 PAB ;

(Ⅲ)在平.面.PAB 内是否存在 M ,使得直 线 CM 平面 PBE ,请说明理由.

C

B

D

A E

(19)(本小题满分 14 分)

过点 A(1,0) 的直线 l 与椭圆 C : x2 ? y2 ? 1 相交于 E, F 两点,自 E, F 分别 3
向直线 x ? 3 作垂线,垂足分别为 E1, F1. (Ⅰ)当直线 l 的斜率为 1 时,求线段 EF 的中点坐标; (Ⅱ)记 ?AEE1 ,?AFF1 的面积分别为 S1 ,S2 .设 ? ? S1S2 ,求 ? 的取值范围.
(20)(本小题满分 13 分) 已知函数 f (x) ? x3 ? 3ax ? e, g(x) ? 1? ln x ,其中 e 为自然对数的底数.
(Ⅰ)若曲线 y ? f (x) 在点 (1, f (1)) 处的切线与直线 l : x ? 2y ? 0 垂直,求实数 a 的值; (Ⅱ)设函数 F(x) ? ?x[g(x) ? 1 x ? 2],若 F(x) 在区间 (m, m + 1)(m ? Z) 内存在唯
2 一的极值点,求 m 的值;
(Ⅲ)用 max?m, n? 表示 m,n 中的较大者,记函数 h(x) ? max{ f (x), g(x)}(x ? 0) .
若函数 h(x) 在 (0, ??) 上恰有 2 个零点,求实数 a 的取值范围.

北京市朝阳区高三年级第一次综合练习

数学测试题答案(文史类)

2017.3 一、 选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.
题号 (1) (2) (3) (4) (5) (6)

(7)

(8)

答案

C

B

C

B

C

A

D

D

二、 填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.

题号 (9) (10) (11) (12) (13) (14)

3, 答案 (1, ?1)

(0,3) ? , 6 ? 3 2 42



90

3n ? 2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明 过程. (15)(本小题满分 13 分)
解:(Ⅰ)因为 f (x) ? sin x(cos x ? 3 sin x) ? sin x cos x ? 3 sin2 x

? 1 sin 2x ? 3 cos 2x ? 3

2

2

2

? sin(2x ? π ) ? 3 , 32

所以函数 f (x) 的最小正周期为

T ? 2π ? π . 2

…………………………………6 分

(Ⅱ)令 2kπ ? π ? 2x ? π ? 2kπ ? π , k ? Z 得,

2

3

2

2kπ ? 5π ? 2x ? 2kπ ? π , k ? Z ,

6

6

所以 kπ ? 5π ? x ? kπ ? π , k ? Z .

12

12

又因为 x ?[0, π] ,

所以函数 f (x) 在 x ?[0, π] 上的单调递增区间是[0, π ] 和 12
[7π , π] .……………13 分 12

(16)(本小题满分 13 分)

解:(Ⅰ)由 an?1

?

2(n ?1) n

an ,得

an?1 n ?1

?

2?

an n



所以 bn?1

?

2bn

,即 bn?1 bn

?

2.

又因为 b1

?

a1 1

?1,

所以数列{bn}是以 1 为首项,公比为 2 的等比数列.……………………

7分

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知 bn ? 1? 2n?1 ? 2n?1 .

所以 log2 bn ? log2 2n?1 ? n ?1 .

则数列{log2 bn} 的前 n 项和

Tn ? 1? 2 ? 3 ?

? (n ?1) ? n(n ?1) . 2

…………………………………13



(17)(本小题满分 13 分) 解 : (Ⅰ)统计表如下:

女学生 男学生

同意 4 4

不同意 3 2

合计 7 6

……………………………………………………………………………………

………3 分

(Ⅱ)高三年级学生该项问题选择“同意”的人数估计有

? ???? ? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ???(人).

?

?

………………………

7分

(Ⅲ)设“同意”的 4 名女生分别为 A1, A2, A3, A4 ,“不同意”的 3 名女生分别

为 B1, B2 , B3 . 从 7 人中随机选出 2 人的情况有 A1A2 , A1A3, A1A4 , A1B1, A1B2 , A1B3, A2 A3, A2 A4 , A2B1, A2B2, A2B3, A3A4 , A3B1, A3B2 , A3B3,

A4B1, A4B2 , A4B3, B1B2 , B1B3, B2B3 ,共 21 种结果.

其中 2 人都选择“不同意”的情况有 B1B2 , B1B3, B2B3 ,共 3 种结果.

设 2 名女生中至少有一人选择“同意”为事件 M ,

所求概率 P(M ) ? 1? ? ? 6 . ?? 7

………………………

13 分

(18)(本小题满分 14 分)

证明:(Ⅰ)因为平面 PAB ? 平面 ABCD,

平面 PAB 平面 ABCD ? AB ,

又因为 PA ? AB ,

所以 PA ?平面 ABCD.

则 PA ? CD .

…………………5 分

(Ⅱ)由已知,BC ED,且 BC=ED,所以四边形 BCDE 是平行四边形,

又 CD ? AD , BC ? CD ,所以四边形 BCDE 是正方形, P
连接 CE ,所以 BD ? CE ,

又因为 BC AE, BC ? AE ,

所以四边形 ABCE 是平行四边形,

所以 CE AB ,则 BD ? AB . M

由(Ⅰ)知 PA ?平面 ABCD,

所以 PA ? BD ,

C

又因为 PA AB ? A ,

则 BD ? 平面 PAB ,

D

B

E

A

且 BD ? 平面 PBD ,

所以平面 PBD ?平面 PAB .

…………

………10 分

(Ⅲ)在梯形 ABCD 中,AB 与 CD 不平行.延长 AB,DC,相交于点 M(M∈

平面 PAB),点 M 即为所求的一个点. 理由如下:由已知,BC ED,且

BC=ED.

所以四边形 BCDE 是平行四边形,所以 CD EB ,即 CM EB ,

又 EB ?平面 PBE , CM ? 平面 PBE ,

所以 CM 平面 PBE .

………………………………………………………

………14 分

(19)(本小题满分 14 分)

解:(Ⅰ)依题意,直线

l

的方程为

y

?

x

?1

,由

? y ? x ?1,

? ?

x2

?

3y2

?

3

?

0

,得

2x2

?3

x

?0

.

设 E(x1, y1)、F (x2, y2 ) ,线段 EF 的中点为 M (x0, y0) ,



x1

?

x2

?

3 2



x0

?

3 4



y0

?

x0

?1

?

?

1 4

.所以

M

(

3 4

,

?

1) 4

.

(Ⅱ)设直线

l

的方程为

x

?

my

?

1

,由

? ? ?

x x2

? ?

my ?1, 3y2 ?3

?

0

………………6 分

得(m2 ? 3) y2 ? 2my ? 2 ? 0 ,显然 m?R .



E ( x1 ,

y1), F (x2,

y2 ) ,则

y1

?

y2

?

?2m m2 ? 3

,

y1 y2

?

?2 m2 ? 3

.

E1(3, y1), F1(3, y2 ) .

因为 ?

?

S1S2

?

1 (3 ? 2

x1)

y1

? 1 (3 ? 2

x2 )

y2

?

1 4

(2

?

my1

)(2

?

my2

)

y1 y2

?

1 [4 4

?

2m( y1

?

y2 )

?

m2 y1 y2 ]

y1 y2

y

E

E1

? 2m2 ? 6 ? 2m2 ? m2 ? 2

2(m2 ? 3)

m2 ? 3

3m2 ? 6 ? (m2 ? 3)2

OA

x

F

F1

?

?

3 (m2 ?

3)2

?

3 m2 ? 3

.

因为

1 m2 ?

3

?

(0,

1] 3



所以实数 ? 的取值范围是 (0, 2]. 3

14 分

………………………………………

20.(本小题满分 13 分)

解:

(Ⅰ) 易得, f ?(x) ? 3x2 ? 3a ,所以 f ?(1) ? 3 ? 3a ,

依题意,(3 ? 3a)(? 1) ? ?1 ,解得 a ? 1 ;

2

3



…………………………3

(Ⅱ)因为

F ( x)

?

?x[g(x)

?

1 2

x

?

2]

?

?x

???(1 ?

ln

x)

?

1 2

x

?

2???

?

x

ln

x

?

1 2

x2

?

x



则 F?(x) ? ln x ?1? x ?1 ? ln x ? x ? 2 .设 t(x) ? ln x ? x ? 2 ,

则 t?(x) ? 1 ?1 ? 1? x .

x

x

令 t?(x) ? 0 ,得 x ?1.

则由 t?(x) ? 0 ,得 0 ? x ?1, F?(x) 为增函数;

由 t?(x) ? 0 ,得 x ?1, F?(x) 为减函数;

而 F?( 1 ) ? ?2 ? 1 ? 2 ? ? 1 ? 0 , F?(1) ? 1 ? 0 .

e2

e2

e2

则 F?(x) 在 (0,1) 上有且只有一个零点 x1 ,

且在 (0, x1) 上 F?(x) ? 0 , F(x) 为减函数;

在 (x1,1) 上 F?(x) ? 0 , F(x) 为为增函数.

所以 x1 为极值点,此时 m ? 0.

又 F?(3) ? ln 3?1 ? 0 , F?(4) ? 2ln 2 ? 2 ? 0,

则 F?(x) 在 (3, 4) 上有且只有一个零点 x2 , 且在 (3, x2 ) 上 F?(x) ? 0 , F(x) 为增函数; 在 (x2, 4) 上 F?(x) ? 0 , F(x) 为减函数. 所以 x2 为极值点,此时 m ? 3 . 综上 m ? 0或 m ? 3 .

……………………9 分

(Ⅲ)(1)当 x ? (0,e) 时, g(x) ? 0 ,依题意, h(x) ? g(x) ? 0 ,不满足条件;

(2)当 x ? e 时, g(e) ? 0 , f (e) ? e3 ? 3ae ? e ,

①若 f (e) ? e3 ? 3ae ? e ? 0 ,即 a ? e2 ?1 ,则 e 是 h(x) 的一个零点; 3
②若 f (e) ? e3 ? 3ae ? e ? 0 ,即 a ? e2 ?1 ,则 e 不是 h(x) 的零点; 3
(3)当 x ?(e, ??) 时,g(x) ? 0 ,所以此时只需考虑函数 f (x) 在 (e, ??)

上零点的情况.因为 f ?(x) ? 3x2 ? 3a ? 3e2 ? 3a ,所以

①当 a ? e2 时, f ?(x) ? 0 , f (x) 在 (e, ??) 上单调递增.

又 f (e) ? e3 ? 3ae ? e ,所以

(i)当 a ? e2 ?1 时, f (e) ? 0 , f (x) 在 (e, ??) 上无零点; 3
(ii)当 e2 ?1 ? a ? e2 时, f (e) ? 0 , 3
又 f (2e) ? 8e3 ? 6ae ? e ? 8e3 ? 6e3 ? e ? 0 ,

所以此时 f (x) 在 (e, ??) 上恰有一个零点;

②当 a ? e2 时,令 f ?(x) ? 0 ,得 x ? ? a .

由 f ?(x) ? 0 ,得 e ? x ? a ;

由 f ?(x) ? 0 ,得 x ? a ;

所以 f (x) 在 (e, a ) 上单调递减,在 ( a , ??) 上单调递增.

因为 f (e) ? e3 ? 3ae ? e ? e3 ? 3e3 ? e ? 0 ,

f (2a) ? 8a3 ? 6a2 ? e ? 8a2 ? 6a2 ? e ? 2a2 ? e ? 0 ,

所以此时 f (x) 在 (e, ??) 上恰有一个零点;

综上, a ? e2 ?1 . 3

………………………………13 分


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