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吉林大学《线性代数》线性代数1-_图文

第一章

7、克拉默法则

n个线性方程的n元方程组
? a11 x1 ? a12 x2 ? ?a x ? a x ? ? 21 1 22 2 ? ? ? ?an1 x1 ? an 2 x2 ? ? a1n xn ? b1 ? a2 n xn ? b2 ? ann xn ? bn

克拉默法则
? 如果
a11 D? an1 ann a1n ?0

? 则方程组有唯一解:

D1 D2 x1 ? , x2 ? , D D

Dn , xn ? , D

a11
? 其中

a1, j ?1 an. j ?1

b1 bn

a1, j ?1 an, j ?1

a11 an1

Dj ? an1

? 2 x1 ? x2 3 4 ? x ? 3x ? 6 x4 ? 9 ? 1 2 ? 2 x2 ? x3 ? 2 x4 ? ?5 ? ? ? x1 ? 4 x2 ? 7 x3 ? 6 x4 ? 0

解线性方程组 ? 5x ? x ? 8

2 1 ?5 1 1 ?3 0 ?6 r1 ? 2r2 D? 0 2 ?1 2 r4 ? r2 1 4 ?7 6

0 7 ?5 13 1 ?3 0 ?6 0 2 ?1 2 0 7 ?7 12

7 ?5 13

? ? 2 ?1 2 ? 0 ?1 0 ? ? 27 c3 ? 2c2 ?7 ?2 7 ?7 12 ?7 ?7 ?2

c1 ? 2c2

?3 ?5

3

?3

3

8 1 ?5 1 9 ?3 0 ?6 D1 ? ? 61 ?5 2 ?1 2 0 4 ?7 6
2 1 8 1 1 ?3 9 ?6 D3 ? ? ?27 0 2 ?5 2 1 4 0 6

2 8 ?5 1 1 9 0 ?6 D2 ? ? ?108 0 ?5 ?1 2 1 0 ?7 6
2 1 ?5 8 1 ?3 0 9 D4 ? ? 27 0 2 ?1 ?5 1 4 ?7 0

D ? 27, x1 ? 3, x2 ? ?4, x3 ? ?1, x4 ? 1

求曲线方程系数
y ? a0 ? a1 x ? a2 x2 ? a3 x3
?a0 ?a ? 0 ? ?a0 ? ?a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? 3 ? 2a1 ? 4a2 ? 8a3 ? 4 ? 3a1 ? 9a2 ? 27a3 ? 3 ? 4a1 ? 16a2 ? 64a3 ? ?3
1 1 D? 1 1 1 1 1 2 4 8 ? 12 3 9 27 4 16 64

(1,3) (2, 4) (3,3) (4, ?3)

范德蒙德行列式

3 4 D1 ? 3 ?3

1 1 1 2 4 8 ? 36 3 9 27 4 16 64
1 1 D3 ? 1 1 1 3 1 2 4 8 ? 24 3 3 27 4 ?3 64

1 3 1 1 1 4 4 8 D2 ? ? ?18 1 3 9 27 1 ?3 16 64

1 1 D4 ? 1 1

1 1 3 2 4 4 ? ?6 3 9 3 4 16 ?3

D ? 12 y ? 3? 3 1 x ? 2 x 2 ? x3 2 2

解的唯一性与存在性
? 定理4:如果线性方程组的系数行列式非零,

则方程组一定有解,且解是唯一的。
D ? 0 ? 唯一解

? 定理4’:如果方程组无解或者有两个不同的

解,则它的系数行列式必为零。
无解或不唯一解 ? D ? 0

方程解的三种情形
?

唯一解 3x ? 2 y ? 12
? ? ? 2x ? y ? 1

3 ?2 D? ?0 2 1

? x?2 ? ? y ? ?3

?

无穷多解 ? 3x ? 2 y ? 12

? ?6 x ? 4 y ? 24

3 ?2 D? ?0 6 ?4

2 ? x ? 4 ? t ? 3 , (t ? R) ? ? ? y?t

?

无解 ? 3x ? 2 y ? 12

? ?6 x ? 4 y ? 25

3 ?2 D? ?0 6 ?4

?3x ? 2 y ? 12 ? 0 ?1 ?

齐次方程组
? a11 x1 ? a12 x2 ? ?a x ? a x ? ? 21 1 22 2 ? ? ? ? an1 x1 ? an 2 x2 ?
? 必然有零解

? a1n xn ? 0 ? a2 n xn ? 0 ? ann xn ? 0

x1 ? x2 ?

xn ? 0

? 关心是否有非零解。

齐次线性方程组的解
? 只有零解

?3x ? 2 y ? 0 ? ? 2x ? y ? 0

3 ?2 D? ?0 2 1

?x ? 0 ? ?y ? 0
2 ? x ? t ? 3 , (t ? R) ? ? ? y?t

? 无穷多组解

?3x ? 2 y ? 0 ? ?6 x ? 4 y ? 0

3 ?2 D? ?0 6 ?4

有非零解?
? (5 ? ? ) x ? 2 y ? 2 z ? 0 ? ?0 ? 2 x ? (6 ? ? ) y ?2 x ? (4 ? ? ) z ? 0 ?
5?? D? 2 2 2 6?? 0 2 0 4??

? (5 ? ? )(2 ? ? )(8 ? ? )

? ? 2,5,8

D ? 0 ? 唯一零解

? 其它情况下,验证之后都有非零解。


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