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福建省2012年高考数学 最新联考试题分类大汇编(8)立体几何试题


福建省 2012 年高考数学 最新联考试题分类大汇编(8)立体几何试 题
一、选择题: ? 4. (福建省福州市 2012 年 3 月高中毕业班质量检查理科)用 m , n 表示两条不同的直线, 表 示平面,则下列命题正确的是

4.D【解析】对于 A,可能出现 m ? ? ;对于 B, m , n 可以异面;对于 C, m , ? 可以相交 也可以在平面内. 5. (福建省泉州市 2012 年 3 月普通高中毕业班质量检查理科) 下列四个条件: ① x , y , z 均为直线; ② x , y 是直线, z 是平面; ③ x 是直线, y , z 是平面;④ x , y , z 均为平面. 其中,能使命题“ x ? y , y ? z ? x ? z ”成立的有 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

5.C【 解析】①③④能使命题“ x ? y , y ? z ? x ? z ”成立.

6. 福建省厦门市 2012 年 3 月高三质量检查理科)如图, 为正方体 ABCD—A1B1C1D1 ( O 的底面 ABCD 的中心,则下列直线中与 B1O 垂直的是( D ) A.A1D B.AA1 C.A1D1 D.A1C1

5.(福建省宁德市 2012 年高三毕业班质量检查文科)一个几何体的直 观图、正视图、侧视图如图所示,则这个几何体的俯视图是



B )

用心

爱心

专心

9. (福建省宁德市 2012 年高三毕业班质量检查文科)已知 ? , ? , ? 是三个互不重合的平面,l 是一条直线,下列命题中正确的是 A.若 ? ? ? , l ? ? , 则 l / / ? ( D )

B.若 ? ? ? , ? ? ? , 则 ? ? ?

C.若 l 上有两个点到α 的距离相等,则 l / /? D. 若 l ? ? , l / / ? , 则 ? ? ?

l / /?

6.(福建省莆田市 2012 年 3 月高三毕业班教学质量检查理科)某圆柱被一平面所截得到的 几何体如图(1)所示,若该几何体的 正视图是等腰直角三角形,俯视图是圆(如右图) ,则它的侧视图 是 ( D )

3. (福建省莆田市 2012 年 3 月高三毕业班教学质量检查理科)已知 l , m 为两条不同的直线, α 为一个平面。若 l / / m , 则“ l / /? ”是“ m / /? ”的 ( D )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 8.(福建省莆田市 2012 年 3 月高三毕业班教学质量检查文科)如图(1)是底面为正方形、 一条侧棱垂直于底面的四棱锥的三视图,那么该四棱锥的直观图是下列各图中的 ( D )

用心

爱心

专心

二、填空题: 12. (福建省泉州市 2012 年 3 月普通高中毕业班质量检查理科)一个三棱锥的正视图和侧 视图及其尺寸如图所示,则该三棱锥俯视图的面积为 . 12.【解析】该三棱锥俯视图为直角三角形,两直角边分别为 1, 2 ,其面积为
1 2 ? 1 ? 2 ? 1.

15.(福建省泉州市 2012 届高三 3 月质量检查文科)一个三棱锥的正视图和 侧视图及其尺寸如图所示,则该三棱锥的俯视图的面积为 1 .
3

2

1

正视图

侧视图

13.(福建省宁德市 2012 年高三毕业班质量检查理科)一个空间几何体的三 视图如右所示,则该几何体的 体积为 4 。

15.(福建省宁德市 2012 年高三毕业班质量检查理科)在面积为 S 的正三角形 ABC 中,E 是边 AB 上的动点,过点 E 作 EF//BC,交 AC 于点 F,当点 E 运动到离边 BC 的距离为 1 1 ? ABC 高的 时, ? EFB 的面积取得最大值为 S . 类比上面的结论,可得,在各棱条 2 4 相等的体积为 V 的四面体 ABCD 中,E 是棱 AB 上的动点,过点 E 作平面 EFG//平面 4 BCD, 分别交 AC、 于点 F、 则四面体 EFGB 的体积的最大值等于 AD G, V。 27 三、解答题: 19. (福建省福州 市 2012 年 3 月高中毕业班质量检查理科)(本小题满分 14 分)
用心 爱心 专心

如图,在边长为 4 的菱形 ABCD 中, ? DAB ? 60 . 点 E , F 分别在边 CD , CB 上,点 E
o

与点 C , D 不重合, EF ? AC , EF ? AC ? O . 沿 EF 将 ? CEF 翻折到 ? PEF 的位置,使平 面 PEF ? 平面 ABFED . ( I)求证: BD ? 平面 P 0 A (Ⅱ)当 PB 取得最小值时,请解答以下问题: ( i)求四棱锥 P ? BDFF 的体积; ( ii)若点 Q 满足 AQ ? ? QP ( ? ? 0 ) ,试探究:直线 OQ 与平面 PBD 所成角的大小是 否一定大于

?
4

?并说明理由.

19.(Ⅰ)证明: ∵ 菱形 ABCD 的对角线互相垂直,

∴ BD ? AC ,∴ BD ? AO , ∵ ∵
E F? AC ,∴ PO ? EF .

平面 PEF ⊥平面 ABFED ,平面 PEF ? 平面 ABFED ? EF ,

(ⅰ)设 AO ? BD ? H . 因为 ? DAB ? 60 ? ,所以 ? BDC 为等边三角形, 故 BD ? 4 , HB ? 2, HC ? 2 3 . 又设 PO ? x ,则 OH ? 2 3 ? x , OA ? 4 3 ? x . 所以 O (0, 0, 0) , P (0, 0, x ) , B (2 3 ? x , 2, 0) , 故 PB ? OB ? OP ? (2 3 ? x , 2, ? x ) , 所以 PB ? (2 3 ? x ) 2 ? 2 2 ? x 2 ? 2( x ? 3 ) 2 ? 10 ,
用心 爱心 专心

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

当 x ? 3 时, PB min ? 10 . 此时 PO ? 3 , OH ? 3. 由(Ⅰ)知, PO ? 平面 BFED , 所以 V四 棱 锥 P ? BFED ?
1 3 ? S 梯 形 BFED ? PO ? 1 3 ?( 3 4 ?4 ?
2

3 4

? 2 )?
2

3?3.

(ⅱ)设点 Q 的坐标为 ? a , 0, c ? ,

设平面 PBD 的法向量为 n ? ( x , y , z ) ,则 n ? PB ? 0, n ? BD ? 0 . ∵ PB ? ? 3, 2, ? 3 ? , BD ? ? 0, ? 4, 0 ? ,∴ ?
?
??? ?

?

? ??? ?

? ????

????

? 3x ? 2 y ? ? ? ?4 y ? 0 ?

3 z ? 0,



取 x ? 1 ,解得: y ? 0, z ? 1 , 所以 n ? (1, 0,1) . 设直线 OQ 与平面 PBD 所成的角 ? ,

因 此直线 OQ 与平面 PBD 所成的角大于

?
4

,即结论成立.

18.(福建省泉州市 2012 届高三 3 月质量检查文科) (本小题满分 12 分) 如图 1,在正方形 ABCD 中, AB ? 2 ,
E 是 AB 边的中点, F 是 BC 边上的一

点,对角线 AC 分别交 DE 、 DF 于 M 、

用心

爱心

专心

N 两点.将 ? DAE , ? DCF 折起,使 A、 C 重合于 A 点,构成如图 2 所示的几何体.
'

(Ⅰ)求证: A?D ? 面 A ? EF ;

又 A E ? A F ? A , A E ? 面 A EF , A F ? 面 A EF ,????????????4 分
' ' ' ' ' ' '

? A D ? 面 A EF .????????????5 分
' '

(Ⅱ)当点 F 为 BC 的中点时, EF / / 面 A MN .????????????6 分 证明如下:当点 F 为 BC 的中点时,

'

19. (福建省泉州市 2012 年 3 月普通高中毕业班质量检查理科) (本小题满分 13 分) 如图,侧棱垂直底面的三棱柱 ABC ? A1 B1 C1 中, AB ? AC , AA1 ? AB ? AC ? 3 ,
AB ? AC ? t (t ? 0) , P 是侧棱 AA1 上的动点.

(Ⅰ)当 AA1 ? AB ? AC 时,求证: A1C ? 平 面 ABC1 ;

用心

爱心

专心

(Ⅱ)试求三棱锥 P ? BC C 1 的体积 V 取得最大值时的 t 值;

∴ AB ? 平 面 AA1C1C . 又∵ AC1 ? 平 面 AA1C1C , ∴ AB ? AC1 .

∵ AB , AC1 ? 平 面 ABC1 , AB ? AC1 ? A , ∴ A1C ? 平 面 ABC1 . 证法二:∵ AA1 ? 面 ABC ,∴ AA1 ? AC , AA1 ? AB . 又∵ AB ? AC , ∴分别以 AB , AC , AA1 所在直线为 x , y , z 轴建立空间直角坐标系. 则
A (0, 0, 0), C1 (0,1,1), B (1, 0, 0), C (0,1, 0), A1 (0, 0,1) ,

???? ???? ? ??? ? A1C ? (0,1, ? 1), AC1 ? (0,1,1), AB ? (1, 0, 0) , ???? ???? ? ???? ??? ? ∴ A1C ? AC1 ? 0, A1C ? AB ? 0 , ???? ???? ???? ??? ? ? ∴ A1C ? AC1 , A1C ? AB .

又∵ AB , AC1 ? 平 面 ABC1 , AB ? AC1 ? A ∴ A1C ? 平 面 ABC1 . 证法三:∵ AA1 ? 面 ABC ,∴ AA1 ? AC , AA1 ? AB . 又∵ AB ? AC , ∴分别以 AB , AC , AA1 所在直线为 x , y , z 轴建立空间直角坐标系.

用心

爱心

专心

则 A (0, 0, 0), C1 (0,1,1), B (1, 0, 0), C (0,1, 0), A1 (0, 0,1) ,
???? ???? ? ??? ? A1C ? (0,1, ? 1), AC1 ? (0,1,1), AB ? (1, 0, 0) .
? 设平面 ABC 1 的法向量 n ? ( x , y , z ) ,

? ???? ? ? n ? AC 1 ? y ? z ? 0 ?x ? 0 ? 则 ? ? ??? ,解得 ? . ? ?y ? ?z ? n ? AB ? x ? 0 ?
? 令 z ? 1 ,则 n ? (0, ? 1,1) ,

???? ? ∵ A1C ? ? n ,

∴ A1C ? 平 面 ABC1 .

(Ⅱ)∵ AA1 ? 平 面 BB1C1C ,

∴点 P 到平面 BB1C1C 的 距离等于点 A 到平面 BB1C1C 的距离 ∴ V ? V P ? BCC ? V A ? BCC ? VC ? ABC ?
1 1 1

1 6

t (3 ? 2 t ) ?
2

1 2

t ?
2

1 3

t (0 ? t ?
3

3 2

),

V ' ? ? t (t ? 1) ,

令 V ' ? 0 ,得 t ? 0 (舍去)或 t ? 1 , 列表,得
(0,1)
V' V
+ 递增
[

1 0 极大值

3 (1, ) 2
- 递减

∴当 t ? 1 时, V m ax ?

1 6

.

?? ???? ? ? x1 ? 0 ? n1 ? AC 1 ? ty1 ? (3 ? 2 t ) z1 ? 0 ? ? 则 ? ?? ??? ,解得 ? ? 2t ? 3 , y1 ? z1 ? n1 ? AB ? tx1 ? 0 ? ? t ?

用心

爱心

专心

?? 令 z1 ? t ,则 n1 ? (0, 2 t ? 3, t ) .

设二面角 A ? BC1 ? C 的平面角为 ? ,
?? ?? ? | n1 ? n 2 | ?? ? ? 则有 | cos ? |? ?? | n1 | ? | n 2 |
2

| 2t ? 3 | 2 ? t ? (2 t ? 3)
2 2

?

10 10

.

化简得 5t ? 16 t ? 12 ? 0 ,解得 t ? 2 (舍去)或 t ?
6 5

6 5

.
10 10

所以当 t ?

时,二面角 A ? BC1 ? C 的平面角的余弦值为

.

20.(福建省晋江市四校 2012 届高三第二次联合考试文科) (本题 满分 12 分) 如图, AB 为圆 O 的直径,点 E 、 F 在圆 O 上, AB // EF , 矩形 ABCD 的边 BC 垂直于圆 O 所 在的平面,且 AB ? 2 , AD ? EF ? 1 . (1)求证: AF ? 平面 CBF ; (2)设 FC 的中点为 M ,求证: OM // 平面 DAF ; (3)求三棱锥的体积 V F ? ABC .

用心

爱心

专心

(2)设 DF 的中点为 N ,则 MN //

1 2

CD ,又 AO //

1 2

CD ,

则 MN // AO ,∴ MNAO 为平行四边形

? ?

? ? ?

? 6分

∴ OM // AN , 又 AN ? 平面 DAF , OM ? 平面 DAF

? ? ? 7分

用心

爱心

专心


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