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2016_2017学年高中数学第三章推理与证明3综合法与分析法3.1综合法课后演练提升北师大版选修1_2

3.1 综合法课后演练提升 北师大版选修 1-2 一、选择题 1.若 a>0,b>0,则下列不等式中不成立的是( A.a +b ≥2ab 1 2 2 2 C.a +b ≥ (a+b) 2 解析: a +b ≥2ab,a+b≥2 ab. 2 2 2 2 ) B.a+b≥2 ab 1 1 1 D. + < (a≠b) a b a-b a2+b2- (a+b)2= a2+ b2-ab= (a-b)2≥0 1 2 2 2 即 a +b ≥ (a+b) .故选 D. 2 答案: D 1 2 1 2 1 2 1 2 ? 1? 2 .对于 0 < a < 1 ,给出四个不等式:① loga(1 + a) < loga ?1+ ? ;② loga(1 + a) > ? a? 1 1 ? 1? 1+a 1+ 1+a 1+ loga?1+ ?;③a <a a;④a >a a. ? a? 其中成立的是( A.①与③ C.②与③ ) B.①与④ D.②与④ 1 解析: ∵0<a<1,∴0<a< a 1 ∴1<1+a<1+ , a 又∵0<a<1, 1 ? 1? 1+a 1+ ∴loga(1+a)>loga?1+ ?,且 a >a a. ? a? 答案: D 3.p= ab+ cd,q= ma+nc 小为( ) B.p≤q D.不确定 b d + (m,n,a,b,c,d 均为正数),则 p,q 的大 m n A.p≥q C.p>q 解析: q= mad nbc ab+ + +cd≥ ab+2 abcd+cd n m = ab+ cd=p. 答案: B 1 4.在△ABC 中,已知 sin Acos A=sin Bcos B,则该三角形是( A.等腰三角形 C.等腰直角三角形 解析: 由 sin Acos A=sin Bcos B, ∴sin 2A=sin 2B,∴2A=2B 或 2A=π -2B, π ∴A=B 或 A+B= , 2 ∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形. 答案: D 二、填空题 B.直角三角形 D.等腰或直角三角形 ) 5.设 a= 2,b= 7- 3,c= 6- 2,则 a,b,c 的大小关系为________. 解析: ∵a -c =2-(8-4 3) =4 3-6= 48- 36>0,∴a>c. ∵ = 2 2 c b 6- 2 7- 3 = 7+ 3 6+ 2 >1,∴c>b. 答案: a>c>b 1 9 * 6.已知 a、b、u∈R ,且 + =1,则使得 a+b≥u 恒成立的 u 的取值范围是________. a b ?1 9? 解析: a+b=? + ?×(a+b) ?a b? b 9a =10+ + ≥10+2 a b 当且仅当 = b 9a × =16, a b b 9a 即 3a=b 时取等号, a b 若 a+b≥u 恒成立,则 u≤16. 答案: (-∞,16] 三、解答题 1 1 7.已知 a,b>0,且 a+b=1,求证: + ≥4. a b 证明: 证法一:∵a,b>0,且 a+b=1, 1 ∴a+b≥2 ab.∴ ab≤ . 2 1 1 a+b 1 ∴ + = = ≥4. a b ab ab 证法二:∵a,b 是正数, 2 1 1 ∴a+b≥2 ab>0. + ≥2 1 a b ab >0. 1 1 ?1 1? ∴(a+b)? + ?≥4.又∵a+b=1,∴ + ≥4. ?a b? a b a b 1 1 a+b a+b b a 证法三: + = + =1+ + +1 a b a b ≥2+2 b a · =4. a b 当且仅当 a=b 时,取“=”号. 8.在△ABC 中,若 a =b(b+c).求证:A=2B. 证明: ∵a =b(b+c),而 cos A= 2 2 b2+c2-a2 b2+c2- b2+bc c- b = = , 2bc 2bc 2b 2 cos 2B=2cos B-1=2? =2? ?a +c -b ?2-1 ? ? 2ac ? 2 2 2 2 2 ?b+c?2-1= b+c -2b -2bc=c-b, ? 2b b+c 2b ? 2a ? ∴cos A=cos 2B. 又 A、B 是三角形的内角,∴A=2B. 1 1 1 9.(1)设 x≥1,y≥1,证明 x+y+ ≤ + +xy; xy x y (2)设 1<a≤b≤c,证明:logab+logbc+logca≤logba+logcb+logac. 证明: (1)由于 x≥1,y≥1,所以 x+y+ ≤ + +xy?xy(x+y)+1≤y+x+(xy)2. xy x y 将上式中的右式减左式,得 [y+x+(xy) ]-[xy(x+y)+1]=[(xy) -1]-[xy(x+y)-(x+y)]=(xy+1)(xy-1) -(x+y)(xy-1)=(xy-1)(xy-x-y+1)=(xy-1)(x-1)(y-1). 由于 x≥1,y≥1, 所以(xy-1)(x-1)(y-1)≥0, 从而所要证明的不等式成立. (2)设 logab=x,logbc=y,由对数的换底公式得 1 1 1 logca= ,logba= ,logcb= ,logac=xy. 2 2 1 1 1 xy x y 于是,所要证明的不等式即为 3 x+y+ ≤ + +xy, xy x y 又由于 1<a≤b≤c, 所以 x=logab≥1,y=logbc≥1. 故由(1)知所要证明的不等式成立. 1 1 1 4

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