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数学湘教版必修1练习:第二章 指数函数、对数函数和幂函数 2.1.2 第2课时 含解析

第 2 课时 [学习目标] 指数函数的图象和性质的应用 1.理解指数函数的单调性与底数的关系.2.能运用指数函数的单调性 解决一些问题. [知识链接] 1.函数 y=ax(a>0 且 a≠1)恒过点(0,1),当 a>1 时,单调递增,当 0<a<1 时,单调递减. 2.复合函数 y=f(g(x))的单调性:当 y=f(x)与 u=g(x)有相同的单调性时,函数 y =f(g(x))单调递增,当 y=f(x)与 u=g(x)的单调性相反时,y=f(g(x))单调递减, 简称为同增异减. [预习导引] 1.函数 y=ax 与 y=a-x(a>0,且 a≠1)的图象关于 y 轴对称. 2.形如 y=af(x)(a>0,且 a≠1)函数的性质 (1)函数 y=af(x)与函数 y=f(x)有相同的定义域. (2)当 a>1 时,函数 y=af(x)与 y=f(x)具有相同的单调性;当 0<a<1 时,函数 y =af(x)与函数 y=f(x)的单调性相反. 3.形如 y=kax(k∈R,且 k≠0,a>0 且 a≠1)的函数是一种指数型函数,这是 一种非常有用的函数模型. 4.设原有量为 N,每次的增长率为 p,经过 x 次增长,该量增长到 y,则 y=N(1 +p)x(x∈N). 要点一 利用指数函数的单调性比较大小 例1 比较下列各组数的大小: (1)1.9-π 与 1.9-3;(2)0.7 2? 3 与 0.70.3; (3)0.60.4 与 0.40.6. 解 (1)由于指数函数 y=1.9x 在 R 上单调递增,而-π<-3,所以 1.9-π<1.9- 3. (2)因为函数 y=0.7x 在 R 上单调递减,而 2- 0.70.3. 3≈0.268<0.3,所以 0.7 2? 3 > (3)因为 y=0.6x 在 R 上单调递减,所以 0.60.4>0.60.6;又在 y 轴右侧,函数 y= 0.6x 的图象在 y=0.4x 的图象的上方,所以 0.60.6>0.40.6,所以 0.60.4>0.40.6. 规律方法 1.对于底数相同但指数不同的两个幂的大小的比较,可以利用指数函 数的单调性来判断. 2.对于幂值,若底数不相同,则首先考虑能否化为同底数,然后根据指数函数 的性质得出结果;不能化成同底数的,要考虑引进第三个数(如 0 或 1 等)分别与 之比较,借助中间值比较. 跟踪演练 1 A.a>b>c C.c>b>a 答案 D 解析 先由函数 y=0.8x 判断前两个数的大小,再用“1”作为中间量比较 1.20.8 已知 a=0.80.7, b=0.80.9, c=1.20.8, 则 a, b, c 的大小关系是( B.b>a>c D.c>a>b ) 与其他两个数的大小. 要点二 指数型函数的单调性 例2 ?1? ? ? 2 判断 f(x)=? ? x - 2 x 的单调性,并求其值域. ?3? u=x2-2x,则原函数变为 ?1? ? ? y=? ?u. ?3? 解 令 ∵u=x2-2x=(x-1)2-1 在(-∞,+∞)上递减, ?1? ? ? 在(-∞,1]上递减,在[1,+∞)上递增,又∵y=? ?u ?3? ?1? ? ? 2 ∴y=? ? x - 2 x 在(-∞,1]上递增,在[1,+∞)上递减. ?3? ∵u=x2-2x=(x-1)2-1≥-1, ?1? ?1? ?1? ? ? ? ? ? ? ∴y=? ?u,u∈[-1,+∞),∴0<? ?u≤? ?-1=3,∴原函数的值域为(0,3]. 3 ? ? ?3? ?3? 规律方法 1.关于指数型函数 y=af(x)(a>0,且 a≠1)的单调性由两点决定,一是 底数 a>1 还是 0<a<1;二是 f(x)的单调性,它由两个函数 y=au,u=f(x)复合 而成. 2. 求复合函数的单调区间, 首先求出函数的定义域, 然后把函数分解成 y=f(u), u=φ(x),通过考察 f(u)和 φ(x)的单调性,求出 y=f[φ(x)]的单调性. 跟踪演练 2 求函数 y=2 - x2 + 2 x -x 2 ? 2 x 的单调区间. 解 函数 y=2 的定义域是 R.令 u=-x2+2x,则 y=2u.当 x∈(-∞,1] - x2 + 2 x 时,函数 u=-x2+2x 为增函数,函数 y=2u 是增函数,所以函数 y=2 在 (-∞,1]上是增函数.当 x∈[1,+∞)时,函数 u=-x2+2x 为减函数,函数 y =2u 是增函数,所以函数 y=2-x2+2x 在[1,+∞)上是减函数. 综上,函数 y=2 - x2 + 2 x 的单调减区间是[1,+∞),单调增区间是(-∞,1]. 要点三 指数函数的综合应用 例3 3x-1 已知函数 f(x)= x . 3 +1 (1)证明 f(x)为奇函数; (2)判断 f(x)的单调性,并用定义加以证明; (3)求 f(x)的值域. (1)证明 由题意知 f(x)的定义域为 R, 3-x-1 ?3-x-1?· 3x f(-x)= -x = 3 +1 ?3-x+1?· 3x 1-3x = =-f(x), 1+3x 所以 f(x)为奇函数. (2)解 f(x)在定义域上是增函数.证明如下: 任取 x∈R,且 h>0, 则 f(x+h)-f(x)= x+h 3 +1 - 3x+h-1 3x-1 2 2 = (1 - ) - (1 - ) 3x+1 3x+h+1 3x+1 . ?3x+h+1??3x+1? 2· ?3x+h-3x? = ∵x+h>x,∴3x+h-3x>0, 且 3x+h+1>0,3x+1>0, ∴f(x+h)-f(x)>0, ∴f(x)为 R 上的增函数. (3)解 3x-1 2 f(x)= x =1 - x , 3 +1 3 +1 2 < 2 ?- 2 <- <0, 3x+1 3x+1 2 ∵3x>0?3x+1>1?0

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