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高二数学综合练习题(线性规划)


邵东二中高二数学综合练习题(线性规划)
一、基础知识:简单的线性规划问题
重难点:会从实际情境中抽象出二元一次不等式组;了解二元一次不等式的几何意义,能 用平面区域表示二元一次不等式组;会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题, 并能加以解决. 考纲要求:①会从实际情境中抽象出二元一次不等式组. ②了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组. ③会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决. 经典例题:求不等式|x-2|+|y-2|≤2 所表示的平面区域的面积.

二、例题剖析:
1.下列各点中,与点(1,2)位于直线 x+y-1=0 的同一侧的是 ( ) A. (0,0) B. (-1,1) C. (-1,3) D. (2,-3) 2.下列各点中,位于不等式(x+2y+1) (x-y+4)<0 表示的平面区域内的是 ( ) A. (0,0) B. (-2,0) C. (-1,0) D. (2,3) 3.用不等式组表示以点(0,0) 、 (2,0) 、 (0,-2)为顶点的三角形内部,该不等式组为 _______. 4.甲、乙两地生产某种产品,它们可调出的数量分别是 300t 和 750t.A、B、C 三地需要该 种产品的数量分别为 200t、450t、400t,甲运往 A、B、C 三地每 1t 产品的运费分别为 6 元、 3 元、5 元,乙地运往 A、B、C 三地每 1t 产品的运费分别为 5 元、9 元、6 元,为使运费 最低,调运方案是_______,最低运费是_______.

三、课堂练习:
? y ?| x ? 1| ? 1、已知 x 、 y ? R , ? y ? ? x ? 2 , 则目标函数 S ? 2 x ? y 的最大值是 ?x ? 0 ?
.

5 2

?2 x ? 3 y ? 6 ? 2.已知 ? x - y ? 0 则z ? 3x ? y 的最大值为 9 。 ? y ? 0, ? 3、一块用栅栏围成的长方形土地的长和宽分别为 52 米和 24 米,现欲将这块土地内部分割 成一些全等的正方形试验田,要求这块土地全部被划分且分割的正方形的边与这块土地的 边界平行,现另有 2002 米栅栏,则最多可将这块土地分割成 块.

解析: .设长分割成 x 列,宽分割成 y 行,共分割成 z 块,

?24( x ? 1) ? 52( y ? 1) ? 2002 ? x 52 13 ? x ? 43 ? ? ? 则? ?? y 24 6 ? y ? 19 ? ? x, y ? N ? ?

z=x·y
当 x=39,y=18 时, zmax

? x y ? 39 ?18 ? 702 .

第 1 页

?x ? 4 y ? 3 ? 0 ? 4、如果实数 x , y 满足 ?3 x ? 5 y ? 25 ? 0 , 目标函数 z ? kx ? y 的最大值为 12,最小值为 3, ?x ? 1 ?
那么实数 k 的值为 2 .

?x ? y ? 6 ?x ? y ? 2 ? y 5. 已知变量 x 、 满足条件 ? ,若目标函数 z ? ax ? y (其中 a ? 0 ),仅在(4, x ? 0 ? ? ?y ? 0
2)处取得最大值,则 a 的取值范围是 _ a>1

? 3x ? y ? 0 ? OA ? OP ? 6. 已知 A(3, 3 ) ,O 为原点,点 P( x, y )的坐标满足? x ? 3 y ? 2 ? 0, 则 的 | OA | ?y ? 0 ? ?
最大值是 ,此时点 P 的坐标是 . 15. 3; (1, 3)

?x ? y ? 2 ? 0 y ? 7. 已知变量 x , y 满足约束条件 ? x ? 1 ,则 的取值范围是______. x ?x ? y ? 7 ? 0 ?
x? y ?7 ? 0 5 9? 9 5 9 解:由 ? 得 A? ? ? , ? ∴ kOA ? 2 / 2 ? 5 ; ?2 2? ?x ? y ? 2 ? 0

6 x? y ?7 ? 0 由? 得 B ?1,6 ? ∴ kOB ? ? 6 ? 1 ? x ?1


y 表示过可行域内一点 ? x, y ? 及原点的直线的斜率 x y ?9 ? 的取值范围为 ?kOA , kOB ? ,即 ? , 6 ? ; x ?5 ?

∴由约束条件画出可行域(如图) ,则

? y?x ? 8. 已知平面区域 M : ? x ? y ? 1 ,记 M 关于直线 y ? x 对称的区域为 N ,点 P( x, y ) 满足 ? y ? ?1 ?
平面区域 N ,若已知 OX 轴上的正向单位向量为 i ,则向量 OP 在向量 i 上的投影的取值 范围为_____________. [ ?1, ]

1 2

第 2 页

?x ? y ≤ 3 2 2 y 9. 设 x 、 满足条件 ? ? y ≤ x ? 1 ,则 z ? ( x ? 1) ? y 的最小值 ?y≥0 ?
10. 若 x、y 满足 ?

4



?? x ? y ? 0 则目标函数 C ? log 1 ( x ? y) 的最大值为 , ?? x ? 2 y ? 2 2

.-2

?x ? 1 ?y ?1 ? 11. 已知 M , N 是 ? 所围成的区域内的不同 两点,则 | MN | 的最大值是 .. x ? y ? 1 ? 0 ? ? ?x ? y ? 6

17
? x ? 4 y ? 3 ? 0, ? 12. 已知:点 P 的坐标(x,y)满足: ?3 x ? 5 y ? 25, 及 A(2,0) ,则| OP |·cos∠AOP(O ? x ? 1 ? 0. ?

为坐标原点)的最大值是 5

.

【解析】| OP |·cos ∠AOP 即为 OP 在 OA 上的投影长

由?

? x ? 4 y ? 3 ? 0, ? M (5, 2),∴| OP |·cos ∠AOP 的最大值为 5. ?3x ? 5 y ? 25

? x ? 2 y ? 10 ? 2x ? y ? 3 ? 13. 设 D 是不等式组 ? 表示的平面区域, 则 D 中的点 P( x, y ) 到直线 x ? y ? 10 0 ? x ? 4 ? ? ? y ?1
.4 2 距离的最大值是 _________
?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 14、不等式组 ? x ? 0 表示的平面区域形状是一个 ?0 ? y ? 1 ?
(A)三角形; (B)矩形; (C)梯形; (D)五边形.



C ).

?x ? 0 x ? 2y ? 3 ? 15 设 x , y 满足约束条件 ? y ? x ,则 取值范围是( B. ) x ? 1 ? 4 x ? 3y ? 1 2 ?
A. [1,5] B. [2, 6] C. [3,10] D. [3,11]

第 3 页

?x ? y ? 4 ? 16. 已知点 P ( x, y ) 的坐标满足条件 ? y ? x ,点 O 为坐标原点,那么 | PO | 的最大值等于 ? x ?1 ?
_______,最小值等于____________.

10, 2

? x ? y ? 4, ? 17、已知点 P ? x, y ? 的坐标满足条件 ? y ? x, 则 x 2 ? y 2 的最大值为. ? x ? 1. ?
A.

y
x=1 C B A O y=-x+4 y=x

10

B. 8

C. 16

D.

10

画出不等式组对应的可行域如图所示:易得 A(1,1) ,OA= 2 , B(2,2) ,OB= 2 2 ,C(1,3) ,OC= 10 ,故|OP|的最大值为 10 , 即 x 2 ? y 2 的最大值等于 10.故选 D.

x

18. 若点 P ? a,3? 到直线 4 x ? 3 y ? 1 ? 0 的距离为 4,且点 P 在不等式 2 x ? y ? 3 < 0 表示的 平面区域内,则 a 的值为(D )A.7 B.-7 C.3 D.-3

19. 已知两点 A(2, 3) 、 B(?2, 0) ,若直线 y ? ax ? 1 与线段 AB 有公共点,则实数 a 的取值 范围是 ( B ) (A) a ? ?2 或 a ?

1 2

(B) a ? ?

1 或a ? 2 2

(C) ?

1 ?a?2 2

(D) a ?

3 4

? 3x ? y ? 0 ? OA ? OP ? 20. 已知 A(3, 3) ,0 是原点,点 P ( x, y ) 的坐标满足 ? x ? 3 y ? 2 ? 0 则 的取 | OP | ?y ? 0 ? ?

值范围是(

D ) B、[0,3] C、 (-3,3) D、[-3,3]

A、 (0,3)

?x ? y ?1 ? 0 ? 21.如果实数 x、 y 满足条件 ? y ? 1 ? 0 ?x ? y ?1 ? 0 ?

,那么 2 x ? y 的最大值为(



A. 2 B. 1 C. ? 2 D. ?3 解:当直线 2 x ? y ? t 过点(0,-1)时, t 最大,故选 B。

?x ? 0 ?y ? 0 ? 22.在约束条件 ? 下,当 3 ? s ? 5 时, ?x ? y ? s ? ? y ? 2x ? 4
第 4 页

目标函数 z ? 3x ? 2 y 的最大值的变化范围是 A. [6,15] 23.由 ? B. [7,15] C. [6,8] D. [7,8]

?x ? y ? s ?x ? 4 ? s 交点为 ?? ? y ? 2 x ? 4 ? y ? 2s ? 4 A(0,2), B(4 ? s,2s ? 4), C (0, s), C ?(0,4) , (1) 当 3 ? s ? 4 时可行域是四边形 OABC,此时, 7 ? z ? 8 (2) 当 4 ? s ? 5 时可行域是△OA C ? 此时, z max ? 8
故选 D. 24.某厂生产甲产品每千克需用原料 A 和原料 B 分别为 a1 , b1 ,生产乙产品每千克需用原料

A 和原料 B 分别为 a2 , b2 千克,甲、乙产品每千克可获利润分别为 d1 , d 2 元,月初一次性够
进本月用原料 A, B 各 c1 , c2 千克, 要计划本月生产甲产品和乙产品各多少千克才能使月利润 总额达到最大;在这个问题中,设全月生产甲、乙两种产品分别为 x 千克, y 千克,月利 润总额为 z 元,那么,用于求使总利润 z ? d1 x ? d2 y 最大的数学模型中,约束条件为(C)

?a1 x ? a2 y ? c1 ? a1 x ? b1 y ? c1 ?b x ? b y ? c ?a x ? b y ? c ?1 ? 2 2 2 2 2 (A) (B) ? ? x ? 0 x ? 0 ? ? ? ? y ? 0 y?0 ? ?

?a1 x ? a2 y ? c1 ?b x ? b y ? c ?1 2 2 (C) ? x?0 ? ? y?0 ?

?a1 x ? a2 y ? c1 ?b x ? b y ? c ?1 2 2 (D) ? x?0 ? ? y?0 ?

? y?x ? 25.设变量 x 、 y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ,则目标函数 z ? 2 x ? y 的最小值为( B ) ? y ? 3x ? 6 ?
C. 4 D. 9 2 x ? y ? 2 ? ? 26.设变量 x、y 满足约束条件 ? x ? y ? ?1 ,则 z ? 2 x ? 3 y 的最大值为 ▲ ? x ? y ?1 ? 解:根据线性约束条件画出可行域(图略) ,显然在(3,4)处取得最大值 18 B. 3 A. 2

? x ? y ? 2 ? 0, ? 27.在平面直角坐标系中,不等式组 ? x ? y ? 2 ? 0, 表示的平面区域的面积是 (B ) ?x ? 2 ?
(A)4 2 (B)4 (C)2 2 5 (D)2

? x ? 1, ? 2 2 28.已知 ? x ? y ? 1 ? 0, 则 x ? y 的最小值是 ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?

29.设集合 A={(x,y)|x,y,1-x-y 是三角形的三边长},则 A 所表示的平面 区域(不含边界的阴影部分)是( A )

第 5 页

30. 在坐标平面上,不等式组 ? 所表示的平面区域的面积为(C ? y ? ?3 x ? 1 (A) 2

?y ? x ?1



(B)

3 2

(C)

3 2 2

(D)2

? x ? 2 ? 0, ? 31 已知点 P(x,y)在不等式组 ? y ? 1 ? 0, 表示的平面区域上运动,则 z=x-y 的取 ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ?
值范围是 ( C ) A.[-2,-1] B.[-2,1] C.[-1,2] D.[1,2]

? x ? y ? 5, ?3 x ? 2 y ? 12, ? 32.设 x 、 y 满足约束条件 ? 则使得目标函数 z ? 6 x ? 5 y 的最大的点 ( x, y ) 是 ?0 ? x ? 3, ? ?0 ? y ? 4.
(2,3).

?x ? y ?1 ? 0 ? 33 如果实数 x、 y 满足条件 ? y ? 1 ? 0 ?x ? y ?1 ? 0 ?
A. 2 B. 1

,那么 2 x ? y 的最大值为( D. ? 3

B )

C. ?2

?5 x ? 11y ? ?22, ? 34 某公司招收男职员 x 名,女职员 y 名,x 和 y 须满足约束条件 ?2 x ? 3 y ? 9, 则 ?2 x ? 11. ?
z=10x+10y 的最大值是( C ) (A)80 (B) 85 (C) 90 (D)95 解:本题是一个应用性的线性规划问题,经转化实质上是一个整点问题,实际的约束条件 应为

第 6 页

?5 x ? 11y ? ?22, ?2 x ? 3 y ? 9, ? ,画出区域如右图 ? 2 x ? 11, ? ? ?x ? N , y ? N
过 A 点时 z 值最大,但由于 A 点不是整点 故不能取到,所以应该是图中过整点(5,4)的直线使 z 取最大值 90 整点问题是线性规划部分的一个难点,但本题由于只是求最大值,唯有涉及到取整点是什 么,所以难度降低了,但鉴于它是个应用题,还是比较灵活的。

? x ? y ? 2 ? 0, ? 3 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , 不 等 式 组 ? x ? y ? 2 ? 0, 表 示 的 平 面 区 域 的 面 积 是 ?x ? 2 ?
( B )(A)

1 2

(B)

3 2

(C)

1 8

(D)

9 8

36 某厂生产甲产品每千克需用原料 A 和原料 B 分别为 a1、b1 千克,生产乙产品每千克需用 原料 A 和原料 B 分别为 a2、b2 千克
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甲、 乙产品每千克可获利润分别为 d1、d2 元
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月初一

次性购进本月用原料 A、B 各 c1、c2 千克
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要计划本月生产甲、乙两种产品各多少千克才能

使月利润总额达到最大 在这个问题中,设全月生产甲、乙两种产品分别为x千克、y千 克,月利润总额为z元,那么,用于求使总利润 z ? d1 x ? d2 y 最大的数学模型中,约束条
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件为

? a1 x ? a2 y ? c1 , ? a1 x ? b1 y ? c1 , ?b x ? b y ? c , ?a x ? b y ? c , ? 2 1 2 2 2 2 (A) ? ( B ) ? ? x ? 0, x ? 0, ? ? ? ? y ? 0 ? ?y ? 0

? a1 x ? a2 y ? c1 , ?b x ? b y ? c , 1 2 2 (C) ? ? ? x ? 0, ? ?y ? 0

? a1 x ? a2 y ? c1 , ?b x ? b y ? c , 1 2 2 (D) ? ? x ? 0, ? ? ?y ? 0

解: 在这个问题中, 设全月生产甲、 乙两种产品分别为 x 千克, y 千克, 月利润总额为 z 元,

?a1 x ? a2 y ? c1 ?b x ? b y ? c 1 2 2 ,选 C. 那么,用于求使总利润 z ? d1 x ? d2 y 最大的数学模型中,约束条件为 ? ? x ? 0 ? ? y?0 ?

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 2 2 37.(2007 安徽理)如果点 P 在平面区域 ? x ? 2 y ? 1 ? 0 上,点 Q 在曲线 x ? ( y ? 2) ? 1 ?x ? y ? 2 ? 0 ?
上,那么 P Q 的最小值为( A ) (A) 5 ? 1 (B)

4 5

?1

(C) 2 2 ? 1

(D) 2 ? 1

第 7 页

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 38(2007 安徽文)如果点 P 在平面区域 ? x ? y ? 2 ? 0 上,点 O 在曲线 ? 2y ?1 ? 0 ?

x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 1上, 那么| PQ | 的 最小值为( A ) 3 4 (A) (B) (C) 2 2 ? 1 (D) 2 ? 1 ?1 2 5

? x ? y ≥ ?, ?2 x ? y ≤ 2, ? 39.(2007 北京理)若不等式组 ? 表示的平面区域是一个三角形,则 a 的取值范围 y ≥ 0 , ? ? ?x ? y ≤ a
是(D) A. a ≥

4 3

B. 0 ? a ≤ 1

C. 1 ≤ a ≤

4 3

D. 0 ? a ≤ 1 或 a ≥

4 3

? x ? y ? 5 ≥ ?, ? 40.(2007 北京文)若不等式组 ? y ≥ a, 表示的平面区域是一个三角形,则 a 的取值范 ?0 ≤ x ≤ 2 ?
围是(C) A. a ? 5 B. a ≥ 7 C. 5 ≤ a ? 7 D. a ? 5 或 a ≥ 7

? x ? y ? 2 ≤ 0, y ? 41. (2007 辽宁文、 理) 已知变量 x, y 满足约束条件 ? x ≥ 1, 则 的取值范围是 (A ) ? x ? y ? 7 ≤ 0, x ?
A. ? , 6?

?9 ?5

? ?

B. ? ??, ?

? ?

9? 5?

? ?? ?6,

C. ? ??, 3?

? ?? ?6,

6] D. [3,

42.(2007 全国Ⅰ文)下面给出的四个点中,位于 ? ( C ) (A)(0,2) (B)(-2,0)

? x ? y ? 1 ? 0, 表示的平面区域内的点是 ?x ? y ? 1 ? 0
(D)(2,0)

(C)(0,-2)

43.(2007 全国Ⅰ理)下面给出的四个点中,到直线 x-y+1=0 的距离为

2 ,且位于 2

? x ? y ? 1 ? 0, 表示的平面区域内的点是( C ) ? x ? y ? 1 ? 0 ?
(A) (1,1) (B) (-1,1) (C) (-1,-1) (D) (1,-1) 44(2007 四川文、理)某公司有 60 万元资金,计划投资甲、乙两个项目,按要求对项目甲 的投资不小于对项目乙投资的

2 倍,且对每个项目的投资不能低于 5 万元,对项目甲每投 3

资 1 万元可获得 0.4 万元的利润,对项目乙每投资 1 万元可获得 0.6 万元的利润,该公司正 确提财投资后,在两个项目上共可获得的最大利润为( B ) A.36 万元 B.31.2 万元 C.30.4 万元 D.24 万元

第 8 页

? x ? y ≥ ?1, ? 45(2007 天津文)设变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ≤ 4,则目标函数 z ? 2 x ? 4 y 的最大 ?y≥ 2 ?
值为(C) A.10 B.12 C.13 D.14

? x ? y ≥ ?1 , ? 46.(2007 天津理)设变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ≥1 , 则目标函数 z ? 4 x ? y 的最大 ?3x ? y ? 3. ?
值为(B) A.4 B.11 C.12 D.14

47. (2007 江苏)在平面直角坐标系 xOy ,已知平面区域 A ? {( x, y) | x ? y ? 1, 且

x ? 0, y ? 0} ,则平面区域 B ? {( x ? y, x ? y) | ( x, y) ? A} 的面积为(A) 1 1 A. 2 B. 1 C. D. 2 4
二.填空题:

? x ? y ? 2, ? 1.(2007 福建文、理)已知实数 x、y 满足 ? x ? y ? 2, 则 z=2x-y 的取值范围是 [-5,7] . ? ?0 ? y ? 3, ? x ? y ? 3 ? 0, ? 2.(2007 湖北文、理)设变量 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 0, 则目标函数 2x+y 的最小值 ? ? 2 ? x ? 3. ?
为?

3 2
8 .

? x ? 2 y ? 4 ? 0, ? 3.(2007 陕西理)已知实数 x、y 满足条件 ?2 x ? y ? 2 ? 0, ,则 z=x+2y 的最大值为 ?3 x ? y ? 3 ? 0, ?

? x ? 2 y ? 4 ? 0, ? 4. (2007 陕西文) 已知实数 x 、y 满足条件 ?3 x ? y ? 3 ? 0, 则 z ? x ? 2 y 的最大值为 8 . ? x ? 0, y ? 0, ?

? x ? 2 y ? 10, ?2 x ? y ? 3, ? 5.(2007 山东理)设 D 是不等式组 ? 表示的平面区域,则 D 中的点 P(x,y)到 ?0 ? x ? 4, ? ?y ? 1
直线 x+y=10 距离的最大值是

4 2.

.

第 9 页

5 ?x ? 2y ? 5 ? 0 ? 6.(2007浙江文) z ? 2x ? y 中的 x 、 y 满足约束条件 ?3 ? x ? 0 ,则 z 的最小值是 3 . ?x ? y ? 0 ?

? x ? y ?1 ? 8.(2007 重庆理)已知 x,y 满足 ?2 x ? y ? 4 ,则函数 z = x+3y 的最大值是__7__. ? x ?1 ?
三、解答题: 1、 为迎接 2008 年奥运会召开, 某工艺品加工厂准备生产具有收藏价值的奥运会标志——“中 国印· 舞动的北京”和奥运会吉祥物——“福娃”.该厂所用的主要原料为 A、B 两种贵重金属, 已知生产一套奥运会标志需用原料 A 和原料 B 的量分别为 4 盒和 3 盒,生产一套奥运会吉 祥物需用原料 A 和原料 B 的量分别为 5 盒和 10 盒.若奥运会标志每套可获利 700 元,奥运 会吉祥物每套可获利 1200 元,该厂月初一次性购进原料 A、B 的量分别为 200 盒和 300 盒. 问该厂生产奥运会标志和奥运会吉祥物各多少套才能使该厂月利润最大,最大利润为多 少? .解:设该厂每月生产奥运会标志和奥运会吉祥物分别为 x , y 套,月利润为 z 元,由题意得
?4 x ? 5 y ? 200, ?3x ? 10 y ? 300, ? ? ? x ? 0, ? ? y ? 0.

( x, y ? N )
y
40 30 20 10

-目标函数为 z ? 700x ? 1200y. …… 作出二元一次不等式组所 表示的平面区域,即 可行域,如图目标函数可变形为 y ? ?

A 3x+10y-300=0 x
50 100

o

4x+5y-200=0

7 z x? , 12 1200 4 7 3 ?7 z z ? ? ? ? ? , ∴当 y ? x? 通过图中的点 A 时, 最大,这时 Z 5 12 10 12 1200 1200

最大。解 ?

?4 x ? 5 y ? 200 , , 得点 A 的坐标为(20,24) ?3x ? 10 y ? 300





A(20, 24)





z ? 700 x ? 1200 y 得 zmax ? 700 ? 20 ? 1200 ? 24 ? 42800 元
答: 该厂生产奥运会标志和奥运会吉祥物分别为 20, 24 套时月利润最大, 最大利润为 42800 元

第 10 页


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高中线性规划练习(含详细解答) (1).doc
高中线性规划练习(含详细解答) (1)_数学_高中教育_教育专区。线性规划练习 1....a b a b 6 6 a b 6 6 评注: 本题综合地考查了线性规划问题和由基本...
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