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【创新设计】2011届高三数学一轮复习 3-3三角函数的周期性、三角函数的图象与性质随堂训练 文 苏教版


第 3 课时
一、填空题

三角函数的周期性、 三角函数的周期性、三角函数的图象与性质

1.(扬州市高三期末调研测试 函数 f(x)=sin 2x+ 3cos 2x 的最小正周期是 . 扬州市高三期末调研测试 扬州市高三期末调研测试)函数 的最小正周期是________. = + . π 2π 解析: = 的最小正周期 = 解析:∵f(x)=sin 2x+ 3cos 2x=2sin?2x+3?,∴f(x)的最小正周期 T= 2 =π. = + ? + ? 答案: 答案:π π 2.函数 y=3sin?2x+4?,x∈[0,π]的单调递减区间 . 的单调递减区间________. = . ? + ? ∈ , 的单调递减区间 π 3π π 5π π 解析: 解析:由 2kπ+2≤2x+4≤2kπ+ 2 ,得 kπ+8≤x≤kπ+ 8 (k∈Z). + + + + ≤ + ∈ . π 5π 1 3 由 x∈[0,π]得 0≤kπ+8且 kπ+ 8 ≤π,于是-8≤k≤8,∵k∈Z, ∈ , 得 ≤ + + ,于是- ≤ ∈ , π π 5π , 上的单调递减区间为? ∴k=0,∴y=3sin?2x+4?在[0,π]上的单调递减区间为?8, 8 ?. = , = ? + ? ? π 5π 答案:? 答案:?8, 8 ? ? 3.函数 y=(sin x-a)2+1,当 sin x=a 时有最小值,当 sin x=1 时有最大值,则 a 的 . = - , = 时有最小值, = 时有最大值, 取值范围是________. . 取值范围是 解析: 解析:∵函数 y=(sin x-a)2+1 当 sin x=a 时有最小值,∴-1≤a≤1, = - = 时有最小值, ≤ ≤ , 最大值, ∵当 sin x=1 时有最大值, = 时有最大值 ∴a≤0,∴-1≤a≤0. ≤ , ≤ ≤ 答案: ≤ ≤ 答案:-1≤a≤0 2π 2π 4.(苏北四市高三第二次联考 若函数 f(x)=2sin ωx(ω>0)在?- 3 , 3 ?上单调递增,则 . 苏北四市高三第二次联考 苏北四市高三第二次联考)若函数 = 在? ?上单调递增, ω 的最大值为 的最大值为________. . 2π 2π 3 3 解析: 解析:由题意得4ω≥ 3 ,∴0<ω≤4,则 ω 的最大值为4. < ≤ 3 答案: 答案:4 π 5.(江苏省高考命题研究专家原创卷 将函数 y=cos 2x 的图象向右平移 个单位,再将 . 江苏省高考命题研究专家原创卷 江苏省高考命题研究专家原创卷)将函数 = 个单位, 6 纵坐标保持不变, 所得图象上各点的横坐标伸长到原来的 4 倍,纵坐标保持不变,得到图象 C,则图象 C , 的单调递减区间为________. 所对应的函数 g(x)的单调递减区间为 的单调递减区间为 . π 解析: 解析:将函数 y=cos 2x 的图象向右平移6,所得图象对应的函数解析式为 y=cos2(x- = = - π π ),即 y=cos?2x-3?,再将其所对应的图象上各点的横坐标伸长到原来的 4 倍,纵坐 , = ? - ? 6

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1 π - 标保持不变,得到的图象 标保持不变,得到的图象 C 所对应的函数解析式为 y=cos?2×4×x-3?,即 g(x)= = ? × = ? x π x π 2 8 cos?2-3 ?.再由 2kπ≤ - ≤2kπ+π(k∈Z),解得 4kπ+ π≤x≤4kπ+ π(k∈Z),故得 ≤2 3 + ∈ , +3 ≤ ≤ +3 ∈ , ? ? 再由 所求函数 g(x)的单调减区间为 的单调减区间为

?4kπ+2π,4kπ+8π?(k∈Z). ? +3 , +3 ? ∈ .
2 8 答案: 答案:?4kπ+3π,4kπ+3π?(k∈Z) ? + , + ? ∈

6.已知函数 y=2cos x(0≤x≤1 000π)的图象和直线 y=2 围成一个封闭的平面图形,则 . = ≤ ≤ 的图象和直线 = 围成一个封闭的平面图形, 这个封闭的图形的面积是________. . 这个封闭的图形的面积是 解析:如图, = 的图象在[0,2π]上与直线 y=2 围成封闭图形的面积为 S=4π, 解析:如图,y=2cos x 的图象在 上与直线 = 围成封闭图形的面积为 = , 所以在[0, 所以在 ,1 000π]上封闭图形的面积为 4π×500=2 000π. 上封闭图形的面积为 × = 答案:2 000π 答案: 2sin2x-3sin x - 的值域为________. 7.(南通市调研考试 函数 f(x)= . 南通市调研考试 南通市调研考试)函数 的值域为 . = (2sin x+3)2 + t-3 t-3?2 - - 2? 3× t-3 - ? 2 ?- × 2 1 9 9 解析: = 解析:设 t=2sin x+3∈[1,5], sin x= 2 ,f(x)=g(t)= + ∈ ,则 = = = =2-2t+t2 t2 3 3 1 1 取得最小值- =? t -4?2-16,所以当 t=4 时,g(t)取得最小值-16;当 t=1 时,g(t)取得最大值 5. = 取得最小值 = 取得最大值 ? ? 1 答案:? 答案:?-16,5? ? 二、解答题 8.(苏州市高三教学调研测试 已知函数 f(x)=sin2x+2 3sin xcos x+3cos2x. . 苏州市高三教学调研测试 苏州市高三教学调研测试)已知函数 = + + (1)求函数 f(x)的单调增区间; 求函数 的单调增区间; 的单调增区间 (2)已知 f(α)=3,且 α∈(0,π),求 α 的值. 已知 的值. = , ∈ , , π 解:(1)f(x)= 3sin 2x+cos 2x+2=2sin?2x+6?+2, = + + = ? + ? , π π π π π 由- 2+2kπ≤2x+6≤2+2kπ(k∈Z),得-3+kπ≤x≤6+kπ(k∈Z). ≤ + ∈ , ≤ ≤ ∈ . π π , ∴函数 f(x)的单调增区间为?-3+kπ,6+kπ?(k∈Z). 的单调增区间为? ? ∈ .

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π π 1 (2)由 f(α)=3,得 2sin?2α+6?+2=3.∴sin?2α+6?= . 由 = , ? + ? = ∴ ? + ? 2 π π π π 5 π ∵0<α<π,∴6<2α+6<2π+6,∴2α+6=6π,∴α=3. < < , + + + , = 9.(江苏省高考命题研究专家原创卷 已知向量 a=( 3sin x,cos x),b=(cos x,cos x), . 江苏省高考命题研究专家原创卷 江苏省高考命题研究专家原创卷)已知向量 = , , = , , 设函数 f(x)=2a·b+2m-1(x,m∈R). = + - , ∈ . (1)求函数 f(x)的解析式及单调递增区间; 求函数 的解析式及单调递增区间; 的解析式及单调递增区间 π (2)当 x∈?0,2 ?时,函数 f(x)的最小值为 5,求 m 的值. 当 ∈ , 的值. 的最小值为 , ? ? π 2 解:(1)f(x)=2 3sin xcos x+2cos x+2m-1= 3sin 2x+cos 2x+2m=2sin?2x+6?+ = + + - = + + = ? + ? 2m, , π π π π π 令- 2+2kπ≤2x+6≤2+2kπ(k∈Z),∴-3+kπ≤x≤6+kπ, ≤ + ∈ , ≤ ≤ , π π , 所以 f(x)的单调递增区间为?-3+kπ,6+kπ?(k∈Z). 的单调递增区间为? ? ∈ . π π π 7π (2)∵x∈?0,2 ?,∴2x+ ∈?6, 6 ?, ∵ ∈? , ? +6 ? ? π 7π π 当 2x+6= 6 ,即 x=2时,函数 f(x)取得最小值 2m-1.∴2m-1=5,∴m=3. + = 取得最小值 - ∴ - = , = 10.(2010·金陵中学上学期期中卷 已知 f(x)=4msin x-cos 2x(x∈R). . 金陵中学上学期期中卷)已知 金陵中学上学期期中卷 = - ∈ . (1)若 m=0,求 f(x)的单调递增区间;(2)若 f(x)的最大值为 3,求实数 m 的值. 若 = , 的单调递增区间 的值. 的单调递增区 若 的最大值为 , π (1)当 = f(x)=- =-cos 2x, 2kπ≤2x≤2kπ+π(k∈Z), kπ≤x≤kπ+ (k∈Z). 解: 当 m=0 时, =- , 令 ≤ ≤ + ∈ , 得 ≤ ≤ +2 ∈ . π =-cos 2x 的单调增区间为?kπ,kπ+2?(k∈Z). 因此 f(x)=- =- ? , + ? ∈ . (2)f(x)=4msin x-cos 2x=2sin2x+4msin x-1=2(sin x+m)2-(2m2+1) = - = + - = + 令 t=sin x,则 g(t)=2(t+m)2-(2m2+1)(-1≤t≤1). = , = + - ≤≤ .
?1+4m=3 ? + = 1 ①若-m≤0,则在 t=1 时,g(t)取最大值 1+4m.由? ≤ , = 取最大值 + 由 ,得 m=2; = ? ≤ ?-m≤0

=-1 ②若-m>0,则在 t=- 时,g(t)取最大值 1-4m. , =- 取最大值 -
?1-4m=3 ? - = 1 1 综上, = 由? ,得 m=-2.综上,m=±2. =- 综上 ? ?-m>0

1.(2010·扬州中学上学期期中卷 设函数 f(x)=a·b,其中向量 a=(m,cos 2x),b=(1+ . 扬州中学上学期期中卷)设函数 = , = , , = + π sin 2x,1),x∈R,且 y=f(x)的图象经过点?4,2?. , ∈ , = 的图象经过点? ?

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(1)求实数 m 的值;(2)求 f(x)的最小正周期. 求实数 的值; 求 的最小正周期. 的最小正周期 π 解:(1)f(x)=a·b=m(1+sin 2x)+cos 2x,∵图象经过点?4,2?, = = + + , ? ? π π π + ∴f?4?=m?1+sin 2?+cos 2=2,解得 m=1. , = ? ? ? ? π 2π (2)当 m=1 时,f(x)=1+sin 2x+cos 2x= 2sin?2x+4?+1,∴T= =π. 当 = = + + = ? + ? , =2 2.已知函数 f(x)=sin2x+2sin xcos x+3cos2x,x∈R,求: . = + + , ∈ , (1)函数 f(x)的最大值及取得最大值的自变量 x 的集合; 函数 的最大值及取得最大值的自变量 的集合; 的最大值 (2)函数 f(x)的单调增区间. 函数 的单调增区间. 的单调增区间 1-cos 2x - 3(1+cos 2x) + 解法一: 解:(1)解法一:∵f(x)= 解法一 = +sin 2x+ + =2+sin 2x+cos 2x + + 2 2 π π π π + + ∈ , = + ∈ 时 取得最大 =2+ 2sin?2x+4 ?,∴当 2x+4=2kπ+2(k∈Z),即 x=kπ+8(k∈Z)时,f(x)取得最大 + ? + ? π 因此, 取得最大值的自变量 的集合是{x|x=kπ+ ,k∈Z}. 值 2+ 2.因此,f(x)取得最大值的自变量 x 的集合是 + 因此 = +8 ∈ . 解法二: 解法二:∵f(x)=(sin2x+cos2x)+sin 2x+2cos2x=1+sin 2x+1+cos 2x=2+ 2 = + + + = + + + = + π sin?2x+4?, ? + ? π π π 因此, ∴当 2x+4=2kπ+2(k∈Z),即 x=kπ+8(k∈Z)时,f(x)取得最大值 2+ 2.因此,f(x) + + ∈ , = + ∈ 时 取得最大值 + 因此
? π ∈ 取得最大值的自变量 x 的集合是?x?x=kπ+8,k∈Z ? = + ? ? ?. ?

π π π π + 由题意得 (2)f(x)=2+ 2sin?2x+4 ?.由题意得 2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ (k∈Z), = + -2 +4 +2 ∈ , ? ? 3π π 3 π + 即 kπ-8π≤x≤kπ+8(k∈Z).因此,f(x)的单调增区间是?kπ- 8 ,kπ+8 ?(k∈Z). - ≤ ≤ + ∈ .因此, 的单调增区间是? - ? ∈ .

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