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《对数与对数运算》第一课时参考课件_图文

2010年3月10日,全国政协十一届三次会议呼吁 放开“二胎”。目前某县有100万人口,如果年平均 增长率为1.2%,回答下列问题: (1)写出该县人口总数y万人与年份x的解析式; (2)计算10年后该县人口总数。

在人口老龄化提前到来和人口增势减弱的情况下,

解:y = 100*(1+ 1.2%) = 100*1.012
10

10

? 112.7(万人)

练习: 1、2000年比2020年翻两番,年平均增长率 至少多少?(只列式子)

解:a(1+ x) = 4a
20

2、某种储蓄按复利计算利息,若存入本金1000元, 每期利率为2.25%,试计算第4期本金与利息和?

(只列式子)

解:y=1000*(1+2.25%)
变:按单利计算利息?

4

解:y=1000+1000 *2.25%*4=1090元

2、某企业月平均增长率为P,则年平均增长率 为________?

a(1 + p) - a 12 解: = (1 + p) - 1 a

12

变、某企业年平均增长率为P,则月平均增长率

为________?

解:a(1+ x) = a(1+ p) ? x
12

12

1+ p - 1

对数与对数运算
第一课时

2的多少次幂等于16呢? 指数 底数

2 ? 16
4

2的4次幂

如何表示16是2的多少次幂呢?

log 2 16 ? 4
定义:如果a(a>0,a≠1)的b次幂等于N,即a ? N ,数b 就叫做以a为底的N的对数,记作 log a N ? b .
b

log a N ? b
底数 真数

(a ? 0, a ? 1)

对数

1, log a N ? b (a ? 0, a ? 1) N ? 0) 为什么 a ? 0, a ? 1 ? log a N 不一定存在.如log ?2 3 ,因为(?2) x ? 3 a < 0时,
无解,所以a不能小于0 a = 0时, N≠0: 0 x ? N 无解,即 log a N 不存在. N=0: 0 x ? 0 有无数多个解
1x ? N 无解,即 log a N 不存在. a = 1时, N≠1: N=1: 1x ? 1 有无数多个解

a≠0 a≠1

N必须满足什么条件?

N ? ax ? 0

即:负数与0没有对数

?常用对数 log10 N ? lg N

(lg ? log10 )

?自然对数 log e N ? ln N e ? 2.71828? (ln ? log e ) 对数与指数的转化 指数 对数 幂 真数

a ?N
b

log a N ? b
底数

结论:

log a 1 ? 0 log a a ? 1

例、已知 log 3 (log 4 x) ? 0,求x值.

变:已知 log 2 (log5 x) ? 0, 3 (lg y) ? 1, log 求x ? y值.

a

log a N

?N

log a a ? N
N

计算下列各式的值:

3

log3 4
log 1 3
2

?4
?3

10

lg 0.1

? 0.1

1 ( ) 2

e

ln e

?

e

二、求下列表达式中x的值 (1)log ( x?1) ( x ? 1)(2) log (4? x ) (1- x )
2

1 (3) log (5? x ) (2 x - 3)

三、把下列指数式写成对数式

5 ? 625 ? log5 625 ? 4
4

1 3 ? 9
?2

1 ? log 3 ? ?2 9

练习:

2 ? 8 log 2 8 ? 3
3

27

?

1 3

1 ? 3

1 1 log 27 ? ? 3 3

10 ? 1 lg1 ? 0
0

e2 ? 7.39

ln7.39 ? 2

把下列对数式写成指数式

log 2 8 ? 3

? 23 ? 8
2.303

ln10 ? 2.303 ? e

? 10

练习:把下列对数式写成指数式

log 3 9 ? 2
1 log 2 ? ?2 4

3 ?9
2

lg 0.001 ? ?3 10 ? 0.001
?3

1 2 ? 4
?2

ln7.39 ? 2

e ? 7.39
2

定义: 一般地,如果 a?a ? 0, a ? 1?
的b次幂等于N, 就是

复习
b

a ?N

,那么数 b叫做

以a为底 N的对数,记作 loga N ? b a叫做对数的底数,N叫做真数。

四、求下列各式中x的值

2 log 64 x ? ? 3

x ? 64

?

2 3

? (4 )
3

?

2 3

log x 8 ? 6

1 ?4 ? 16
?2

1 ?x? 16

1 1 1 x6 ? 8 3 6 6 ? x ? 8 ? (2 ) ? 2 2 ? 2 ? x ? 2 x?0 2 3 练习: log 27 ? log8 x ? ? x 3 2 1 x? x ?9 4

求下列各式的值

lg100 设 lg100 ? x
则 10 x ? 100

? ln e2
设 ? ln e2 ? x 2 即 ln e ? ? x 则e ?e
2 ?x

?10 ? 100 ?x ? 2
2

?? x ? 2 即 x ? ?2

练习:求下列各式的值

log5 25 ? 2

lg0.001 ? ?3

对数与对数运算
第二课时

新知学习
填出下表各组的值,并从数据中分析等量关系, 猜想对数的运算性质 式 值 结果 猜想

log 2 8

log 2 32

log 2 (8 ? 32)

3

5

8

log 2 (8 ? 32) ? log 2 8 ? log 2 32

log a ( M ? N ) ? log a M ? log a N


值 结果 猜想

lg100
2

lg10000
4

100 lg 10000
-2

100 lg ? lg100 ? lg10000 10000
M log a ? log a M ? log a N N

式 值 结果 猜想

log3 9

2

2 ? log 3 9

4
log3 92 ? 2 ? log3 9 log a M ? n log a M
n

4

对数运算性质: a ? 0, a ? 1, c ? 0, c ? 1, M ? 0, N ? 0, n ? R

log a ( M ? N ) ? log a M ? log a N 证明

练习

M log a ? log a M ? log a N 证明 N log a M n ? n log a M 证明 练习

练习

? log a a ? n
n

log a

n

? N 证明 练习 1 log c b 换底公式 ? log a b ? log a b ? log b a log c a 证明 练习 a
log a N

1 M ? log a M n

作业: P74 3 (2)(4)(6)

1.求 log ( x?1) ( x ? 2) 中x的取值范围.
log ( a ?3) (a 2 ? a ? 5) ? 0,试求a. 2.已知

选做题: 3.已知函数 f ( x) ? x ? lg(a ? 2) x ? lg b 满足 f (?1) ? ?2 , 且对一切是实数x,都有 f ( x) ? 2 x ,求实数a,b的值.
2

练习:

用 lg x,lg y,lg z 表示下列各式

lg( xyz ) ? lg x ? lg y ? lg z
求下列各式的值:

lg5 ? lg 2 ? lg(5 ? 2) ? lg10 ? 1
1 1 log 5 3 ? log 5 ? log 5 (3 ? ) ? log 5 1 ? 0 3 3 1 log 5 3 ? log 5 ? 3

返回

练习:

用 log a x,log a y,log a z 表示下列各式

xy log a ? log a x ? log a y ? log a z z
求下列各式的值:

log 2 6 ? log 2 3 ? log 2 (6 ? 3) ? log 2 2 ? 1

1 log 3 5 ? log 3 15 ? log 3 (5 ? 15) ? log 3 ? ?1 3 log 3 5 / log 3 15 ?

返回

练习:用 lg x,lg y,lg z 表示下列各式

z 1 1 ? 2lg x ? lg y ? lg z 3 3 2

lg

x2 y
3

xy lg z ? lg x ? 2lg y ? lg z
x lg 2 y z 1 ? lg x ? 2lg y ? lg z 2
7

2

求下列各式的值:
2

1 ? lg x ? 3lg y ? lg z 2

xy lg z

log 3 (27 ? 9 ) ? log3 3 ? 7

lg100 ? lg10 ? 4
2 4
返回

利用换底公式化简下列各式:

log a c ? log c a ? 1 log 2 3 ? log 3 4 ? log 4 5 ? log 5 2 ? 1
5 (log 4 3 ? log8 3)(log 3 2 ? log 9 2) ? 4
已知: lg 2 ? m,lg 3 ? n ,求 log 5 12
返回

例:若x,y,z都是正数,3x=4y=6z, 1 1 1 求证: ? ? 证明:设3x=4y=6z=t z x 2y
? x ? log t , y ? log t , z ? log t .
3 4 6

1 1 lg 4 2 lg 2 lg 2 又? ? ? ? ? 2 y 2log t 2 lg t 2 lg t lg t
4

1 1 1 1 lg 6 lg 3 lg 2 ? ? ? ? ? ? ? z x log t log t lg t lg t lg t
6 3

1 1 1 ? ? ? z x 2y

变形:设a, b, c是不等于1 的正数, 1 1 1 且a ? b ? c , ? ? ? 0, x y z
x y z

求abc的值. 解:设ax=by=cz=t∴x=logat,y=logbt,z=logct

log t log t log t ? log a ? log b ? log c ? log abc
a b c t t t t

1 1 1 ? ? ? x y z

1

?

1

?

1

由题意:logtabc=0

∴abc=1

a ? 0, a ? 1, M ? 0, N ? 0, n ? R log a ( M ? N ) ? log a M ? log a N
证明:设 M ? a m , N ? a n

m ? log a M , n ? log a N

M ? N ? a ?a ? a
m n

m? n

log a ( M ? N ) ? m ? n ? log a M ? log a N
返回

a ? 0, a ? 1, M ? 0, N ? 0, n ? R M log a ? log a M ? log a N N
证明:设 M ? a m , N ? a n

m ? log a M , n ? log a N

M am ? n ? a m?n N a M log a ?m?n N ? log a M ? log a N

返回

a ? 0, a ? 1, M ? 0, N ? 0, n ? R

log a M ? n log a M
n

证明:设 M ? a

m

m ? log a M
a mn ? (a m ) n ? M n

log a M ? m ? n
n

? n log a M
返回

a ? 0, a ? 1, M ? 0, N ? 0, n ? R

a

log a N

?N
? ax ? N

证明: x ? log a N

?a

log a N

?N

返回

logc N log a N ? logc a
证法一:设

loga N ? p
N ?a
p
p

由对数的定义可以得:

? logc N ? logc a , ? logc N ? p logc a, logc N logc N ? p? 即证得 loga N ? logc a logc a

证法二

由a ? N(两边同时取以c为底的对数)
x

? logc a ? logc N
x

? x logc a ? logc N
logc N ? log a N ? log a c
返回

log c N ? x? log c a

x ? log a N


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