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2.2.1对数函数比较大小


对数函数及其性质的应用 —比较大小

回顾利用指数函数的性质比较大小
(一)、底数相同,指数不同
构造出相应的指数函数,利用指数函数的单调 性比较函数值的大小。 ?0.2 0 .3 0 .5 ?0.1 0.8 0.8 ? (2) (1)

(3) (二)指数不同,底数不同
找出中间值(一般为1),把这个中间值与原来两个数值 分别比较大小,然后确定原来两个数值的大小关系.

? 0.3 ?0.6 a 与a
____ __

3 ____0.2

0.8

7

2 ____0.5

0.8

0.7

回顾对数函数的图象与性质
函数 底数
y

y = log a x ( a>0 且 a≠1 ) a>1
y

0<a<1
1

图象

o

1

x

o

x

定义域 奇偶性 值域
定点 单调性 函数值 符号

( 0 , + ∞ ) 非奇非偶函数 R 非奇非偶函数

( 1 , 0 ) 即 x = 1 时,y = 0 在 ( 0 , + ∞ ) 上是增函数 在 ( 0 , + ∞ ) 上是减函数
当 x>1 时,y>0 当 0<x <1 时, y<0 当 x>1 时,y<0 当 0<x<1 时,y>0

例1 比较下列各组数中两个值的大小: ⑴ log 23.4 , log 28.5 ⑵ log 0.31.8 , log 0.32.7 ⑶ log a5.1 , log a5.9 ( a>0 , 且a≠1 )
解:⑴考察对数函数y = log2x,因为它的底 数为2,且2>1 , 所以它在(0,+∞)上是增函数,于是 log 23.4<log 28.5 ⑵考察对数函数 y = log0.3x,因为它的底数 为0.3,且0<0.3<1,所以它在(0,+∞)上是减 函数,于是 log 0.31.8>log 0.32.7

⑶ log a5.1 , log a5.9 ( a>0 ,a≠1 )
(分析:对数函数的单调性决定于对数的底数是大 于1还是小于1. 而已知条件中并未指出底数a与1哪 个大,因此需要对底数a进行讨论)

解:当a>1时,函数y=log ax在(0,+∞)上是增函数 于是

log a5.1<log a5.9

当0<a<1时,函数y=log ax在(0,+∞)上是减函数 于是 log a5.1>log a5.9

规律方法: 1. 两个同底数的对数比较大小的一般 步骤: ①确定所要考查的对数函数; ②根据对数底数判断对数函数单调性; ③比较真数大小,然后利用对数函数 的单调性判断两对数值的大小. 2. 分类讨论的思想.

练习一 1:比较题中两个值的大小 ⑴ < ln6 ln8


log0.54 > ⑶ log0.10.5 log0.10.6 > ⑷ log1.51.6 log1.51.4

⑵ log0.56

2.比较下列各组数的大小 : (1) log4 0.8和 log4 0.7; (2) log1 0.8和 log1 0.7;
2 2

(3) log5 2和 log5 3; (4) loga 2和 loga 3, 其中a ? 0, a ? 1.

例2 比较下列各组中两个值的大小: ⑴ log 67 , log 7 6 ; ⑵ log 31.5, log 2 0.8 . 提示 : log aa=1 提示: log a1=0 log76<log77=1

解: ⑴∵log67>log66=1 ⑵∵ log31.5>log31=0



log20.8<log21=0 log67>log76 ∴ log31.5>log20.8

规律方法: 当“底真”都不同,不能直接进行比较时,可 在两个对数中间插入一 个“中间值”(如1或 0等),间接比较上述两个对数的大小.

练习二 比较各题中两个值大小
(1) log35

> log 3
5

(2) log32 log20.8
② 因为log 32

>

解:
① 因为log35

> log33 =1

>log 31=

0

log53 < log55 =1
得:log 35

log 20.8 < log 21 = 0
得:log 32

>

log 53

>

log 20.8

本节小结
利用对数函数的性质比较大小

(1)、若两对数的底数相同,真数不同,则利用对数函数 的单调性来比较。 (2)、若两对数的底数和真数均不相同,通常引入“中间
值”(如1或0等)进行比较。

当堂检测
1、比较下列各题中的两个值的大小。 (1)、lg6与lg8 (2)、log0.56与log0.54

(3)、log1/3π与log1/30.8

(4)、log34与log65

2.已知a ? b ? c ? 1,比较下列各组数的大小 : (1) loga b和loga c; (2) log1 b和log1 c.
a a

比较大小: (1) log3 2和log5 2
1 1 (2) log 3 和 log 5 2 2
提示:此种比较大小属于“同真”.

作业
? 1.教材P73页 第3题 ? 2.比较大小:
4 6 (1) log1 , log 1 2 5 2 7
(2)
3

log 1 0.3, log 2 0.8
) D.ln2 B.ln(ln2) C.ln

3.以下四个数中的最大者是(
A.(ln2)2


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