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www.93xfzy.com:高一数学必修4 2.4.1《平面向量数量积的物理背景及其含义》PPT课件_图文

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2.4.1《平面向量数量积 的物理背景及其含义》

教学目标
? 1.掌握平面向量的数量积及其几何意义; ? 2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律; ? 3.了解用平面向量的数量积可以处理垂直的问 题; ? 4.掌握向量垂直的条件. ? 教学重点:平面向量的数量积定义 ? 教学难点:平面向量数量积的定义及运算律的 理解和平面向量数量积的应用

说课提纲
一、 背景分析

二、教学目标设计
三、课堂结构设计 四、教学媒体设计 五、教学过程设计 六、教学评价设计

一、背景分析
1、学习任务分析
(1)学习任务
通过“功”的事例抽象平面向量数量积的含义, 探究数量积的性质与运算律,体会类比的思想方法, 提高学生抽象概括、推理论证的能力。 (2)教学重点 数量积的概念

2、学生情况分析及教学难点
(1)学生情
学生在学习本节内容之前,已熟知了实数的 运算体系,掌握了向量的概念及其线性运算,具 备了功等物理知识,并且初步体会了研究向量运 算的一般方法。

(2)教学难点
对数量积的概念的理解

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二、教学目标设计
1、“数学课程标准(实验)”对本节内容的 要求 通过物理中“功”等事例,理解平面向 (1)
量数积的含义及其物理意义;

(2) 体会平面向量的数量积与向量投影的关系; (3) 能运用数量积表示两个向量的夹角,会用
数量积判断两个平面向量的垂直关系。

2、教学目标:
(1)了解平面向量数量积的物理背景,理解数 量积的含义及其物理意义; (2)体会平面向量的数量积与向量投影的关系, 理解掌握数量积的性质和运算律,并能运用性质和运 算律进行相关的运算和判断; (3)体会类比的数学思想和方法,进一步培养学 生抽象概括、推理论证的能力。

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创设问题情景

三 、 课 抽象概念 堂 结 探究性质 构 设 探究运算律 计

数学背景 方法 物理背景 定义分析 几何意义 物理意义 性质 证明 运算律 证明
例题与练习 课堂小结
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应用与提高

四、教学媒体设计
1、高效实用的电脑多媒体课件
2、科学合理的板书设计
平面向量数量积的物理背景及其含义
一、数量积的概念 1、概念: 2、概念强调:(1)记法 二、数量积的性质 四、应用与提高 例1: 例2:

(2)“规定” 三、数量积的运算律
3、几何意义: 4、物理意义:

例3:

五、教学过程设计
活动一:创设问题情景,激发学习兴趣 活动二: 探究数量积的含义

活动三:探究数量积的运算性质

活动四:探究数量积的运算律 活动五: 应用与提高
活动六: 课堂小结与布置作业

活动一:创设问题情景,激发学习兴趣
问题1: 我们研究了向量的哪些运算?这些 运算的结果是什么? 问题2:我们是怎样引入向量的加法运算的? 我们又是按照怎样的顺序研究这种运算的?
物理模型 概念 性质 运算律 应用

问题3:如图所示,一物体在力F的作用下产

生 位移S,
(1)力F所做的功W= (2) 请同学们分析这个公式的特点: W(功)是 量, F(力)是 量, ? S(位移)是 量 θ是 。

。 F

S

活动二:探究数量积的含义
1、概念的抽象 问题4:你能用文字语言来表述功的计算公式吗? 如果我们将公式中的力与位移推广到一般向量,其结 果又该如何表述? 功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积; 结果是两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。

2、明晰数量积的定义 ? ? ? ? (1)定义 :a ? b ? a b cos?
(2)定义的简单说明: 问题5:向量的数量积运算与线性运算的结果有什 么不同?影响数量积大小的因素有哪些?并完成下表:

? 夹角 的范 0? ? ? ? 90 ? ? ?围 a ? b 的正负

? ? 90?

90? ? ? ? 180 ?

3、研究数量积的几何意义
(1)给出向量投影的概念

(2)问题6:数量积的几何意义是什么?

4、研究数量积的物理意义
问题7:(1)功的数学本质是什么? (2)尝试练习
一物体质量是10千克,分别做以下运动,求重力做功 的大小。 ①、在水平面上位移为10米; ②、竖直下降10米;; ③、竖直向上提升10米 ④、沿倾角为30度的斜面向上运动10米;

①、在水平面上位移为10米;
G

S

W ?0

②、竖直下降10米;

S
G S

W?GS

③、竖直向上提升10米;
G

W ? ?G S

④、沿倾角为30°的斜面向上运动10米;
S

?

G

W ? G S cos( ? ? 30?) 180

活动三:探究数量积的运算性 质
1、性质的发现
问题8: 你能得到哪些结论? 么 结论?

(1)将问题①②③的结论推广到一般向量,
? ? ? ? (2)比较a ? b 与a ? b

的大小,你有什

2、明晰数量积的性质
设向量 a 与 b 都是非零向量,则 ? ? ? ? a ·b =0 (1) a⊥ b ? ? ? ? ? ? a (2)当 a 与 b 同向时, ·b=|a|| b| ? ? ? ? ? ? a 当 a 与 b 反向时, ·b =-| || | a b ? ? 2 ? ? a a a a 特别地, · =︱︱或︱︱= a?a ? ? ? ? b (3)︱a ·b︱≤ |a || |
? ?

3、性质的证明

1、运算律的发现

活动四:探究数量积的运算 律
问题9: 我们学过了实数乘法的那些运算律?

这些 运算律对向量是否也适用? 学生可能的回答:

① a·b= b·a ②(a·b)c= a (b·c) ③(a + b)·c=a·c +b ·c

2、明晰运算律 ?

? ? ?已知向量 ? 和实数λ,则: (1) a ? b ? b ? a ? ? ? ? ? ? (2)??a ?? b ? ? a ? b ? a ? ?b ? ? ? ? ? ? ? (3) a ? b ? c ? a ? c ? b ? c

? ? a, b , c

?

?

?

?

? ?

3、运算律的证明
学生独立证明运算律(2)

? ? ? ? 证明反思:当λ<0时,向量a 与? a 、 与?b b ? ? ? 的方向的关系如何?此时,向量? a 与 b 、 a 与 ? ? ? ?b的夹角与向量 a 与 b 的夹角相等吗?
师生共同证明运算律(3)

活动五:应用与提高
? ? ? ? ? ? ? ? 例1、已知a ? 6, ? 4,a与b 的夹角为 ?,求 a ? 2b ? a ? 3b . b 60 并思考此运算过程类似 于哪种实数运算?

?

??

?

? ? 例2、对任意向量 ,b 是否有以下结论: a ? ? 2 ?2 ? ? ?2 (1) a ? b ? a ? 2a ? b ? b ? ? ? ? ?2 ?2 (2) a ? b ? a ? b ? a ? b

? ? ? ? 例3、已知 a ? 3, ? 4,a与b 不共线,k为何值时, b ? ? ? ? 向量a ? kb 与a ? kb 互相垂直?

? ?

? ??

?

学生练习
1、判断下列各命题是否 正确,并说明理由 ? ? ? ? (1)若a ? 0,则对任一非零向量 b ,有 a ? b ? 0 ? ? ? ? ? ? ? (2)若a ? 0,a ? b ? a ? c , 则b ? c
? ? ? ? 2、已知 ?ABC中, ? a , AC ? b ,当a ? b ? 0 AB ? ? 或a ? b ? 0时,试判断 ?ABC的形状。

活动六、课堂小结与布置作业
1、本节课我们学习的主要内容是什么?

2、平面向量数量积的两个基本应用是什么?
3、我们是按照怎样的思维模式进行概念的归 纳 和性质的探究?在运算律的探究过程中, 渗透了哪些数学思想? 4、类比向量的线性运算,我们还应该怎样研 究数量积?
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作业: 课本P121习题2.4A组1、2、3。
拓展与提高: ? ? ? ? ? ? 已知 a与 b都是非零向量,且 a ? 3b 与7a ? 5b ? ? ? ? ? ? 垂直,a ? 4b与7a ? 2b 垂直,求 a 与 b 的夹角。

六、教学评价设计
1、问答评价。
2、活动评价。 3、练习评价。 4、作业评价。
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