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1第一章习题课

?1, ? 16.设 f ( x) = ?0, ?? 1, ?
x

| x | <1 | x | = 1 , g ( x) = e x ,求 f [ g ( x)] 和 g[ f ( x)] ,并作图。 | x | >1 | e | <1
x x

y

?1, ? 解: f [ g ( x )] = f (e ) = ?0, ?? 1, ?
g[ f ( x)] = e f ( x )

?1, ? | e | = 1 = ?0, | e x | > 1 ?? 1, ?

x<0 x=0 x>0 | x | <1 | x | =1 | x | >1

1 O -1 y

x

?e1 , ? = ?e 0 , ?e ?1 , ?

?e, ? | x | = 1 = ?1, | x | > 1 ?e ?1 , ?

| x | <1

2 1 -1 O
1 e

1

x

5.根据函数极限或无穷大定义,填写下表:

f ( x) → A x → x0
使当 0 < | x ? x 0 |

f (x) → ∞
使当 0 < | x ? x 0 |

f (x) → +∞
使当 0 < | x ? x 0 |

f (x) → ?∞
使当 0 < | x ? x 0 |

?ε > 0, ?δ > 0 , ?M > 0, ?δ > 0 , ?M > 0, ?δ > 0 , ?M > 0, ?δ > 0 ,
< δ 时,即有

< δ 时,即有 | f ( x) | > M
使当 0 < x ? x 0

< δ 时,即有 f ( x) > M
使当 0 < x ? x 0

< δ 时,即有 f ( x) < ? M
使当 0 < x ? x 0

| f ( x) ? A | < ε
+ x → x0

?ε > 0, ?δ > 0 , ?M > 0, ?δ > 0 , ?M > 0, ?δ > 0 , ?M > 0, ?δ > 0 ,
使当 0 < x ? x 0

< δ 时,即有 | f ( x) ? A | < ε

< δ 时,即有 | f ( x) | > M
使当 0 > x ? x 0

< δ 时,即有 f ( x) > M
使当 0 > x ? x 0

< δ 时,即有 f ( x) < ? M
使当 0 > x ? x 0

?ε > 0, ?δ > 0 , ?M > 0, ?δ > 0 , ?M > 0, ?δ > 0 , ?M > 0, ?δ > 0 ,
? x → x0

使当 0 > x ? x 0

> ?δ 时,即有 | f ( x) ? A | < ε

> ?δ 时,即有 | f ( x) | > M
使当 | x | > X 时,即 有 | f ( x) | > M

> ?δ 时,即有 f ( x) > M
使当 | x | > X 时, 即 有 f ( x) > M

> ?δ 时,即有 f ( x) < ? M
使当 | x | > X 时,即 有 f ( x) < ? M

?ε > 0, ?X > 0 , ?M > 0, ?X > 0 , ?M > 0, ?X > 0 , ?M > 0, ?X > 0 ,

x→∞

使当 | x | > X 时, 即 有 | f ( x) ? A | < ε

x → +∞ 使当 x > X 时, 即有 使当 x > X 时, 即有 使当 x > X 时, 即有 使当 x > X 时,即有

?ε > 0, ?X > 0 , ?M > 0, ?X > 0 , ?M > 0, ?X > 0 , ?M > 0, ?X > 0 , | f ( x) ? A | < ε | f ( x) | > M f ( x) > M f ( x) < ? M

?ε > 0, ?X > 0 , ?M > 0, ?X > 0 , ?M > 0, ?X > 0 , ?M > 0, ?X > 0 , x → ?∞ 使当 x < ? X 时,即 使当 x < ? X 时,即 使当 x < ? X 时,即 使当 x < ? X 时,即
有 | f ( x) ? A | < ε 有 | f ( x) | > M 有 f ( x) > M 有 f ( x) < ? M

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