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2012年北京市海淀区高三数学理科二模试卷及答案(WORD版)


二模过后,你该怎样有效的提高数学成绩?你在解答数学题目时是否有通用的解题思维? 重点中学高中数学教师可以有效的为你解决以上问题,独创的极简应试解答题目思维,可以让你在短时间内建立起大题的解题 思路,在你人生最重要时间窗口,助你一程! 联系电话:13717561586 王老师 (免费试讲一小时,你感觉没有收获,我走人)

北 京 市 海 淀 区 2012 高 三 二 模

理科) 数 学(理科)
2012.05 小题, 在每小题给出的四个选项中, 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 选择题: 求的. 求的.

(1)若 sin θ cos θ < 0 ,则角 θ 是 (A)第一或第二象限角 (C)第三或第四象限角 (B)第二或第三象限角 (D)第二或第四象限角

(2)已知命题 p : ?x0 ∈ R , 2 x0 = 1 .则 ?p 是 (A) ?x0 ∈ R , 2 x0 ≠ 1 (C) ?x0 ∈ R , 2 x0 ≠ 1 (B) ?x0 ? R , 2 x0 ≠ 1 (D) ?x0 ? R , 2 x0 ≠ 1

?x = 1+ t (3)直线 ? ( t 为参数)的倾斜角的大小为 ?y =1? t
(A) ?

π 4

(B)

π 4

(C)

π 2

(D)

3π 4

ì ? ? ? x? ? (4)若整数 x, y 满足 ? x + í ? ? ? ? y? ? ? ?
(A) 1

y  1, y  1, 则 2x + y 的最大值是 3 , 2
(C) 2 (D) 3

(B) 5

(5)已知点 F1 , F2 是椭圆 x 2 + 2 y 2 = 2 的两个焦点,点 P 是该椭圆上的一个动点,那么 PF1 + PF2 的最小 值是 (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 2 2

uuur

uuuu r

(6)为了得到函数 y = log 2

x - 1 的图象,可将函数 y = log 2 x 的图象上所有的点的

本人独创的通用解题思维,是将北京市高中数学每一个必考的考点内容集中在一起,通过试题体现出来,让你做有限的题目就 能全面快速的掌握考点内容,形如三角函数,这一部主要内容是三角函数的恒等变形(主要是二倍角公式变形) ,及辅助角公式 的应用,这是第 15 题的主要内容,次要的考点包括三角函数图像的平移,解斜三角形。通过有限的题目训练就能全面掌握。欢 迎联系试讲,电话:13717561586 邮箱:1981893071﹫qq。com

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1 倍,横坐标不变,再向右平移 1 个单位长度 2 1 (B)纵坐标缩短到原来的 倍,横坐标不变,再向左平移 1 个单位长度 2
(A)纵坐标缩短到原来的 (C)横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,再向左平移 1 个单位长度 (D)横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,再向右平移 1 个单位长度 (7)某几何体的主视图与俯视图如图所示,左视图与主视图相同,且图中的 长为 2 的正方形,两条虚线互相垂直,则该几何体的体积是 (A) 四边形都是边

20 3

(B)

4 3

主俯俯

(C) 6

(D) 4

俯俯俯

(8)点 P ( x, y ) 是曲线 C : y =

1 ( x > 0) 上的一个动点,曲线 C 在点 P 处的切线与 x 轴、 y 轴分别交于 A, B x

两点,点 O 是坐标原点. 给出三个命题:① PA = PB ;② ?OAB 的周长有最小值 4 + 2 2 ;③曲线 C 上 存在两点 M , N ,使得 ?OMN 为等腰直角三角形.其中真命题的个数是 (A)1 (B)2 (C)3 (D)0

二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分,把答案填在题中横线上. 填空题 本大题共6小题,每小题5 30分 把答案填在题中横线上. (9)在面积为 1 的正方形 ABCD 内部随机取一点 P ,则 ?PAB 的面积大于等于 (10) 已知 ( x + 1)10 = a1 + a2 x + a3 x 2 + L + a11 x10 . 若数列 a1 , a2 , a3 ,L , ak (1 #k 列,则 k 的最大值是 (11)在 ?ABC 中,若 ? A .

1 的概率是_________. 4

11, k  Z) 是一个单调递增数

120  c = 5 , ?ABC 的面积为 5 3 ,则 a = ,
D

.

(12)如图, ? O 的直径 AB 与弦 CD 交于点 P ,

CP =

7 , PD = 5, AP = 1 ,则 ?DCB =______. 5

A C

O P

B

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(13)某同学为研究函数 f ( x ) =

1 + x 2 + 1 + (1- x) 2 (0 #x

1) 的性质,构造了如图所示的两个边长为

1 的正方形 ABCD 和 BEFC ,点 P 是边 BC 上的一个动点,设 CP = x ,则 AP + PF = f ( x ) . 请你参考这 些信息,推知函数 f ( x ) 的图象的对称轴是 ;函数
D C P F

g ( x ) = 4 f ( x ) - 9 的零点的个数是

.

(14)曲线 C 是平面内到定点 A(1, 0) 的距离与到定直线 之和为 3 的动点 P 的轨迹. 则曲线 C 与 y 轴交点的坐标是

A

B

E

x= - 1的距离

;又已知点 B ( a,1) ( a 为常数) ,那么

PB + PA 的最小值 d (a ) =

.

小题, 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 解答题: (15) (本小题满分 13 分) 已知公差不为0的等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , S3 = a4 + 6 ,且 a1 , a4 , a13 成等比数列. (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)求数列 {

1 } 的前 n 项和公式. Sn

(16)(本小题满分 14 分) 如图所示, PA ^ 平面 ABC ,点 C 在以 AB 为直径的⊙O 上, ? CBA E 为线段 PB 的中点,点 M 在 ? 上,且 OM ∥ AC . AB (Ⅰ)求证:平面 MOE ∥平面 PAC; (Ⅱ)求证:平面 PAC ^ 平面 PCB ; (Ⅲ)设二面角 M ? BP ? C 的大小为 θ ,求 cos θ 的值.

30  PA = AB = 2 ,点 ,

P

E C A M B O

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(17)(本小题满分 13 分) 某公司准备将 100 万元资金投入代理销售业务,现有 A,B 两个项目可供选择: (1)投资 A 项目一年后获得的利润 X1(万元)的概率分布列如下表所示: X1 P 11 a 12 0.4 17 b

且 X1 的数学期望 E(X1)=12; (2)投资 B 项目一年后获得的利润 X2(万元)与 B 项目产品价格的调整有关, B 项目产品价格根据销售情况在 4 月和 8 月决定是否需要调整, 两次调整相互独立且在 4 月和 8 月进行价格调整的概率分别为 p(0< p <1)和 1?p. 经专家测算评估:B 项目产品价格一年内调整次数 X(次)与 X2 的关系如下表所示: X(次) X2(万元) (Ⅰ)求 a,b 的值; (Ⅱ)求 X2 的分布列; (Ⅲ)若 E(X1)< E(X2),则选择投资 B 项目,求此时 p 的取值范围. 0 4.12 1 11.76 2 20.40

(18)(本小题满分 13 分) 已知椭圆 C :

x2 y2 2 + 2 = 1(a > b > 0) 的右焦点为 F (1, 0) ,且点 (?1, ) 在椭圆 C 上. 2 a b 2
uuu uuu r r 7 16

(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)已知动直线 l 过点 F ,且与椭圆 C 交于 A , B 两点.试问 x 轴上是否存在定点 Q ,使得 QA ? QB = ? 恒成立?若存在,求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由.

(19)(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) = a ln( x ? a ) ? (Ⅰ)求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若 ?1 < a < 2(ln 2 ? 1) ,求证:函数 f ( x ) 只有一个零点 x0 ,且 a + 1 < x0 < a + 2 ; (Ⅲ)当 a=?

1 2 x + x ( a < 0) . 2

4 时 , 记 函 数 f ( x ) 的 零 点 为 x0 , 若 对 任 意 x1 , x2 ∈ [0, x0 ] 且 x2 ? x1 = 1, 都 有 5

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ≥ m 成立,求实数 m 的最大值.
(本题可参考数据: ln 2 ≈ 0.7, ln

9 9 ≈ 0.8, ln ≈ 0.59 ) 4 5

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(20)(本小题满分 13 分) 将 一 个 正 整 数 n 表 示 为 a1 + a2 + L + a p ( p  N*) 的 形 式 , 其 中 ai ? N * , i = 1, 2,L , p , 且

a1 ≤ a 2 ≤ L ≤ a p ,记所有这样的表示法的种数为 f (n) (如 4=4,4=1+3,4=2+2,4=1+1+2,4=1+1+1+1,
故 f ( 4) = 5 ). (Ⅰ)写出 f (3), f (5) 的值,并说明理由; (Ⅱ)对任意正整数 n ,比较 f ( n + 1) 与 [ f ( n) + f ( n + 2)] 的大小,并给出证明; (Ⅲ)当正整数 n ≥ 6 时,求证: f ( n) ≥ 4n ? 13 .

1 2

海淀区高三年级第二学期期末练习 数 学(理科) 参考答案及评分标准
选择题: 小题, 一. 选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 题号 (1) 答案 D A D B C A A C 二.填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 填空题 本大题共6小题,每小题5 30分 (9) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)

2012.05 .

1 2

(10)6

(11) 61

(12) 45°

(13) x =

1 ;2 2

ì a 2 - 2a + 2, a ? 1.4或a  1, ? ? ? (14) (0, ± 3) ; ? a + 4, - 1.4 < a ? 1, í ? ? 2 - a, - 1 < a < 1. ? ? ? ?

注: (13)(14)题第一空3分;第二空2分. 、 三.解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 解答题:本大题共6小题, 80分 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (15) (本小题满分 13 分)

a 解: (Ⅰ)设等差数列 { n }的公差为 d ? 0 .
因为 S3 = a4 + 6 ,

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所以 3a1 +

3创2 d = a1 + 3d + 6 . 2



……………………………………3 分

因为 a1 , a4 , a13 成等比数列, 所以 a1 ( a1 + 12 d ) = ( a1 + 3d ) 2 . 由①,②可得: a1 = 3, d = 2 . 所以 an = 2n + 1 . (Ⅱ)由 an = 2n + 1 可知: S n = ② ……………………………………5 分

……………………………………6 分

……………………………………7 分

(3 + 2n + 1) n = n 2 + 2n . 2
……………………………………9 分

所以

1 1 1 1 1 = = ( ). S n n( n + 2) 2 n n + 2 1 1 1 1 1 + + + L+ + S1 S 2 S3 S n- 1 S n

……………………………………11 分

所以

=

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( - + - + - + L+ + ) 2 1 3 2 4 3 5 n- 1 n + 1 n n+ 2
1 1 1 1 1 3n 2 + 5n ( + )= . 2 1 2 n+ 1 n+ 2 4(n + 1)(n + 2) 3n 2 + 5n 1 . } 的前 n 项和为 4(n + 1)(n + 2) Sn
……………………………………13 分

=

所以数列 {

(16)(本小题满分 14 分) (Ⅰ)证明:因为点 E 为线段 PB 的中点,点 O 为线段 AB 的中点, 所以 OE ∥ PA . ……………………………………1 分 因为 PA ? 平面 PAC , OE ? 平面 PAC , 所以 OE ∥平面 PAC. 因为 OM ∥ AC , 因为 AC ? 平面 PAC , OM ? 平面 PAC , 所以 OM ∥平面 PAC. ……………………………………3 分 ……………………………………2 分

因为 OE ? 平面 MOE , OM ? 平面 MOE , OE I OM = O ,
所以 平面 MOE ∥平面 PAC. ………………………………………5 分

本人独创的通用解题思维,是将北京市高中数学每一个必考的考点内容集中在一起,通过试题体现出来,让你做有限的题目就 能全面快速的掌握考点内容,形如三角函数,这一部主要内容是三角函数的恒等变形(主要是二倍角公式变形) ,及辅助角公式 的应用,这是第 15 题的主要内容,次要的考点包括三角函数图像的平移,解斜三角形。通过有限的题目训练就能全面掌握。欢 迎联系试讲,电话:13717561586 邮箱:1981893071﹫qq。com

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(Ⅱ)证明:因为 点 C 在以 AB 为直径的⊙O 上, 所以 ? ACB

90  BC ⊥ AC . ,即
P

z

因为 PA ^ 平面 ABC , BC ? 平面 ABC , 所 以

E C D A x M B O y

PA ⊥ BC .

……………………………………7 分

因为 AC ? 平面 PAC , PA ? 平面 PAC , PA I AC = A , 所以 BC ^ 平面 PAC . 因为 BC ? 平面 PBC , 所以 平面 PAC ^ 平面 PCB .

……………………………………9 分

(Ⅲ) 如图, C 为原点,CA 所在的直线为 x 轴,CB 所在的直线为 y 轴, 解: 以 建立空间直角坐标系 C ? xyz . 因为 ? CBA

30  PA = AB = 2 , ,
3 , AC = 1 .

所以 CB = 2 cos 30? 延长 MO 交 CB 于点 D . 因为 OM ∥ AC ,

所以 MD ^ CB, MD = 1 +

1 3 1 3 . = , CD = CB = 2 2 2 2 3 3 , 0) . 2 2

所以 P (1, 0, 2) , C (0, 0, 0) , B (0, 3, 0) , M ( ,

uuu r

uuu r

所以 CP = (1, 0, 2) , CB = (0, 3, 0) . 设平面 PCB 的法向量 m = ( x, y , z ) .

uuu r ì m ?CP ? ? 因为 í uuu r ? m ?CB ? ?

0, 0.

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? 所以 ? í

ì ( x, y, z ) ?(1, 0, 2) ? ( x, y, z ) ?(0, 3, 0) ? ?

0, 0,

即? í

ì x + 2 z = 0, ? ? 3 y = 0. ? ?

令 z = 1 ,则 x = - 2, y = 0 . 所以 m = (- 2, 0,1) . ……………………………………12 分

同理可求平面 PMB 的一个法向量 n = 1, 3,1 . ……………………………………13 分 所以 cos m, n = 所以 cos θ =

(

)

1 m ?n =? . m?n 5
………………………………………14 分

1 . 5

(17)(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)由题意得:

?a + 0.4 + b = 1, ? ?11a + 12 × 0.4 + 17b = 12.
解得: a = 0.5, b = 0.1 . (Ⅱ)X2 的可能取值为 4.12,11.76, 20.40 . ……………………………………3 分

P ( X 2 = 4.12 ) = (1 ? p ) [1 ? (1 ? p ) ] = p (1 ? p ) , P ( X 2 = 11.76 ) = p [1 ? (1 ? p ) ] + (1 ? p )(1 ? p ) = p 2 + (1 ? p ) 2 , P ( X 2 = 20.40 ) = p (1 ? p ) .
所以 X2 的分布列为: X2 P (Ⅲ)由(Ⅱ)可得: E ( X 4.12 p (1?p) 11.76
2 2

20.40

p +(1?p) p (1?p) ……………………………………9 分

2

) = 4.12 p(1 ? p ) + 11.76 ? p 2 + (1 ? p )2 ? + 20.40 p(1 ? p) ? ?
= ? p 2 + p + 11.76
. ……………………………………11 分

因为 E(X1)< E(X2), 所以 12 < - p 2 + p + 11.76 . 所以 0.4 < p < 0.6 . 当选择投资 B 项目时, p 的取值范围是 0.4, 0.6 . ( ) ……………………………………13 分

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(18)(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)由题意知: c = 1 . 根据椭圆的定义得: 2a =

(- 1- 1) 2 + (

2 2 2 ,即 a = ) + 2 2

2.

……………………………………3 分 所以 b 2 = 2 - 1 = 1 .

所以 椭圆 C 的标准方程为

x2 + y 2 = 1. 2
uuu uuu r r

……………………………………4 分

(Ⅱ)假设在 x 轴上存在点 Q ( m, 0) ,使得 QA ? QB = ? 当直线 l 的斜率为 0 时, A( 2, 0), B ( ? 2, 0) . 则 ( 2 - m, 0) ?( 解得 m =   .

7 恒成立. 16

2 - m, 0) = -

7 . 16
……………………………………6 分

5 4

当直线 l 的斜率不存在时, A(1,

2 2 ), B (1, ? ). 2 2 5 . 4

由于 (1 +

5 2 7 ,所以 m ? ,)? 4 2 16 uuu uuu r r 5 7 下面证明 m = 时, QA ? QB = ? 恒成立. 4 16

5 2 , ) ?(1 4 2

……………………………………8 分

uuu uuu r r 7 显然 直线 l 的斜率为 0 时, QA ? QB = ? . 16
当直线 l 的斜率不为 0 时,设直线 l 的方程为: x = ty + 1 , A(x1 , y1 ), B (x2 , y2 ).

ì x2 ? 2 ? ? + y = 1, 可得: (t 2 + 2) y 2 + 2ty - 1 = 0 . 由í 2 ? ? x = ty + 1 ? ?
显然 ? > 0 .

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ì 2t ? ? y1 + y2 = - 2 , ? ? t +2 ? í ? ?yy =- 1 . ? 1 2 ? t2 + 2 ? ?
因为 x1 = ty1 + 1 , x2 = ty2 + 1 , 所以 ( x1 -

……………………………………10 分

5 , y1 ) ?( x2 4

5 1 1 , y2 ) = (ty1 - )(ty2 - ) + y1 y2 4 4 4 1 1 = (t 2 + 1) y1 y2 - t ( y1 + y2 ) + 4 16

= - (t 2 + 1)

1 1 2t 1 + t 2 + t + 2 4 t + 2 16
2

=
5 4

- 2t 2 - 2 + t 2 1 7 + =. 2 2(t + 2) 16 16
uuu uuu r r 7 恒成立. 16

综上所述:在 x 轴上存在点 Q( , 0) ,使得 QA ? QB = ?

……………………………………13 分 (19)(本小题满分 14 分) (Ⅰ)解: f ( x ) 的定义域为 (a, +∞) .

a ? x 2 + (a + 1) x f '( x ) = . ? x +1 = x?a x?a
令 f '( x ) = 0 , x = 0 或 x = a +1 .

……………………………………1 分

当 ?1 < a < 0 时, a +1 > 0 ,函数 f ( x ) 与 f '( x) 随 x 的变化情况如下表:

x

(a,0)
?

0
0

(0, a + 1)
+

a +1
0

(a + 1, +∞)
?

f ( x) f '( x) ?

极小值

?

极大值

?

所以,函数 f ( x ) 的单调递增区间是 (0, a + 1) ,单调递减区间是 ( a, 0) 和 ( a + 1, +   ) . ……………………………………3 分 当 a = - 1 时, f '( x ) =

? x2 ≤ 0 . 所以,函数 f ( x ) 的单调递减区间是 (- 1, +  ) . x +1

本人独创的通用解题思维,是将北京市高中数学每一个必考的考点内容集中在一起,通过试题体现出来,让你做有限的题目就 能全面快速的掌握考点内容,形如三角函数,这一部主要内容是三角函数的恒等变形(主要是二倍角公式变形) ,及辅助角公式 的应用,这是第 15 题的主要内容,次要的考点包括三角函数图像的平移,解斜三角形。通过有限的题目训练就能全面掌握。欢 迎联系试讲,电话:13717561586 邮箱:1981893071﹫qq。com

二模过后,你该怎样有效的提高数学成绩?你在解答数学题目时是否有通用的解题思维? 重点中学高中数学教师可以有效的为你解决以上问题,独创的极简应试解答题目思维,可以让你在短时间内建立起大题的解题 思路,在你人生最重要时间窗口,助你一程! 联系电话:13717561586 王老师 (免费试讲一小时,你感觉没有收获,我走人)

……………………………………4 分 当 a < ?1 时, a +1 < 0 ,函数 f ( x ) 与 f '( x) 随 x 的变化情况如下表:

x

(a, a + 1)
?

a +1
0

(a + 1,0)
+

0 0

(0, +∞)
?

f ( x) f '( x) ?

极小值

?

极大值

?

所以,函数 f ( x ) 的单调递增区间是 ( a + 1, 0) ,单调递减区间是 ( a, a + 1) 和 (0, +  ) . ……………………………………5 分 (Ⅱ)证明:当 ?1 < a < 2(ln 2 ? 1) < 0 时,由(Ⅰ)知, f ( x ) 的极小值为 f (0) ,极大值为 f (a + 1) . 因为 f (0) = a ln(?a ) > 0 ,f ( a + 1) = ? 是减函数, 所以 f ( x ) 至多有一个零点. 又因为 f ( a + 2) = a ln 2 ? ……………………………………7 分

1 1 且 ( a + 1) 2 + ( a + 1) = (1 ? a 2 ) > 0 , f ( x ) 在 ( a + 1, +  ) 上 2 2

1 2 1 a ? a = ? a[ a ? 2(ln 2 ? 1)] < 0 , 2 2

所以 函数 f ( x ) 只有一个零点 x0 ,且 a + 1 < x0 < a + 2 . ……………………………………9 分 (Ⅲ)解:因为 ?1 < ?

4 < 2(ln 2 ? 1) , 5

所 以 对 任 意 x1 , x2 ∈ [0, x0 ] 且 x2 ? x1 = 1, 由 ( Ⅱ ) 可 知 : x1 ∈ [0, a + 1) , x2 ∈ ( a + 1, x0 ] , 且

x2 ≥ 1 .

……………………………………10 分

因为 函数 f ( x ) 在 [0, a + 1) 上是增函数,在 ( a + 1, +   ) 上是减函数, 所以 f ( x1 ) ≥ f (0) , f ( x2 ) ≤ f (1) . 所以 f ( x1 ) - f ( x2 ) ? f (0) 当a = ? ……………………………………11 分

f (1) .

4 a 1 4 9 1 时, f (0) ? f (1) = a ln( ) ? = ln ? >0. 5 a ?1 2 5 4 2 f (1) > 0 .
……………………………………13 分

所以 f ( x1 ) - f ( x2 ) ? f (0) 所以

f ( x2 ) ? f ( x1 ) 的最小值为 f (0) ? f (1) =

4 9 1 ln ? . 5 4 2

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所以 使得 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ≥ m 恒成立的 m 的最大值为

4 9 1 ln ? . 5 4 2

……………………………………14 分

(20)(本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:因为 3=3,3=1+2,3=1+1+1,所以 f (3) = 3 . 因为 5=5,5=2+3,5=1+4,5=1+1+3,5=1+2+2,5=1+1+1+2,5=1+1+1+1+1, 所以 f (5) = 7 . (Ⅱ)结论是 f ( n + 1) ≤ ……………………………………3 分

1 [ f ( n) + f ( n + 2)] . 2

证明如下:由结论知,只需证 f ( n + 1) ? f ( n ) ≤ f (n + 2) ? f ( n + 1). 因为 n + 1 ≥ 2 ,把 n + 1 的一个表示法中 a1 = 1 的 a1 去掉,就可得到一个 n 的表示法;反之,在 n 的 一个表示法前面添加一个“1+” ,就得到一个 n + 1 的表示法,即 n + 1 的表示法中 a1 = 1 的表示法种数等于 n 的表示法种数, 所以 f ( n + 1) ? f ( n) 表示的是 n + 1 的表示法中 a1 ? 1 的表示法数, f ( n + 2) ? f ( n + 1) 是 n + 2 的表 示法中 a1 ? 1 的表示法数. 同样,把一个 a1 ? 1 的 n + 1 的表示法中的 a p 加上 1, 就可得到一个 a1 ? 1 的 n + 2 的表示法,这样 就构造了从 a1 ? 1 的 n + 1 的表示法到 a1 ? 1 的 n + 2 的表示法的一个对应. 所以有 f ( n + 1) ? f ( n ) ≤ f (n + 2) ? f ( n + 1). ……………………………………9 分 (Ⅲ)由第(Ⅱ)问可知: 当正整数 m ? 6 时, f ( m ) - f (m - 1) ? f ( m

1) - f (m - 2) 吵L
*

f (6) - f (5) .

又 f (6) = 11, f (5) = 7, 所以 f ( m ) - f ( m - 1)  4 .

对于*式,分别取 m 为 6,7, L , n ,将所得等式相加得 f ( n) ? f (5) ≥ 4( n ? 5) . 即 f ( n) ≥ 4n ? 13 . ……………………………………13 分

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