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【名师一号】2013版高中数学 2-1-1 椭圆及其标准方程课件 新人教A版选修1-1_图文

第二章 圆锥曲线与方程

课 标 研 读

1.考纲要求 (1)掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及其简单性质, 能够熟练掌握基本量 a,b,c,e 之间的关系. (2)掌握求椭圆方程的基本步骤:①定型(确定是椭圆); ②定位(判断它的中心在原点,焦点在哪条坐标轴上); ③定量(建立关于基本量的方程,求得 a,b 的值).

(3)了解双曲线的定义,标准方程,并能根据有关条件利用 待定系数法求双曲线的方程. (4)了解双曲线的几何性质,了解双曲线的一些应用. (5)了解抛物线的定义,标准方程,并能根据有关条件用待 定系数法求抛物线的方程. (6)了解抛物线的几何性质,了解抛物线的一些应用.

2.命题趋势 圆锥曲线仍为考查的主要内容之一,有客观题和解答题, 主要考查圆锥曲线的概念和性质,求曲线方程,与圆锥曲线 有关的定值问题、最值问题、范围问题等. 3.应试对策 (1)重点掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义和性质,在解题 时要充分利用定义巧妙解题,以避免繁琐的推理和运算.

(2)要掌握圆锥曲线的标准方程,对应图像及几何性质,掌 握解决圆锥曲线问题的通性通法,坚持数形结合. (3)掌握求曲线方程或轨迹的基本方法: 如定义法、 直接法、 待定系数法、代入法(相关点法)、参数法等. (4)注意利用数形结合,设而不求,同时掌握解析几何与向 量、函数、不等式等内容的交汇,培养自己的逻辑思维与运 算能力.

2.1

椭圆

2.1.1

椭圆及其标准方程

预习导航

(学生用书 P18)

1.平面内与两个定点 F1 ,F2 的距离之和等于常数(大于 |F1F2|)的点的轨迹叫做________,这两个定点叫做________, 两焦点间的距离叫做________. 2.设 M 是椭圆上任意一点,椭圆两焦点 F1,F2,M 与 F1 ,F2 的距离之和等于 2a,由椭圆的定义,椭圆就是集合 ________. 3.中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程为 ________.

1.椭圆

椭圆的焦点 椭圆的焦距

答 2.P={M||MF |+|MF |=2a} 1 2 案 x2 y2 3. 2+ 2=1(a>b>0) a b

自测自评

(学生用书 P18)
)

x2 y2 1.椭圆 + =1 的焦点坐标为( 25 9 A.(5,0),(-5,0) C.(4,0),(-4,0)

B.(9,0),(-9,0) D.(0,4),(0,-4)

答案

C

2.椭圆的焦点坐标为(4,0),(-4,0),椭圆上一点到两焦 点的距离之和为 10,则椭圆的标准方程为( x2 y2 A. + =1 16 9 x2 y2 C. + =1 9 25
答案 B

)

x2 y2 B. + =1 25 9 x2 y2 D. + =1 25 16

x2 y2 3.焦点在 x 轴上的椭圆 + =1 的焦距等于 2,则 m= m 4 ( ) A.8 C.5 或 3 B.5 D.6

答案

B

4.已知 a=4,c=3,焦点在 y 轴上的椭圆的标准方程为 ________.
x2 y2 答案 + =1 7 16

考点突破

(学生用书 P19)

1.在椭圆的定义中,当 2a>|F1F2|时,轨迹才是椭圆;当 2a=|F1F2|时,轨迹为线段 F1F2;当 2a<|F1F2|时,轨迹不存 在. 2.当椭圆的中心在坐标原点,焦点在坐标轴上时,椭圆 的方程才叫做标准方程, 其他位置上的椭圆方程不能称为标准 方程.

x2 y2 (1)焦点在 x 轴上时,标准方程为 2+ 2=1(a>b>0). a b y2 x2 (2)焦点在 y 轴上时,标准方程为 2+ 2=1(a>b>0). a b (3)椭圆的焦点在 x 轴上?标准方程中 x2 项的分母较大. 椭圆的焦点在 y 轴上?标准方程中 y2 项的分母较大.

3.求椭圆标准方程的常用方法: (1)待定系数法:由题目的条件能确定方程的类型,设出 标准方程,再由条件确定方程中的参数,这种方法叫待定系 数法,其主要的步骤可归纳为“先定形,再定量”. (2)定义法:先分析题设条件,判断出动点的轨迹是什么 图形,然后根据定义确定方程,这种方法叫定义法.

典例剖析

(学生用书 P19)

题型一 【例 1】

求椭圆的标准方程 求适合下列条件的椭圆的标准方程.

16 (1)已知两焦点 F1(-3,0),F2(3,0),且椭圆过(3, ). 5 (2)已知 a=4,c= 15,焦点在 y 轴上. (3)经过两点 P1( 6,1),P2(- 3,- 2).

[解]

(1)方法 1:∵椭圆的焦点在 x 轴上,

x2 y2 ∴设它的标准方程为 2+ 2=1(a>b>0). a b 由椭圆的定义知 2a= ∴a=5. 又∵c=3∴b2=a2-c2=25-9=16. x2 y2 因此,所求椭圆的标准方程为 + =1. 25 16 16 2 ?3+3? +? ? + 5
2

16 2 ?3-3? +? ? =10. 5
2

x2 方法 2:∵椭圆的焦点在 x 轴上,∴设它的标准方程为 2 a y2 + 2=1(a>b>0). b 16 因为 c=3,椭圆过点(3, ), 5 ?a2-b2=c2=9, ? ∴? 9 256 ?a2+25b2=1, ?
?a2=25, ? 解得? 2 ?b =16. ?

x2 y2 因此所求椭圆的标准方程为 + =1. 25 16 y2 x2 (2)∵椭圆的焦点在 y 轴上, 设椭圆的标准方程为 2+ 2= a b 1,(a>b>0) 又∵a=4,c= 15. ∴b2=a2-c2=16-15=1. y2 ∴椭圆的标准方程为 +x2=1. 16 (3)设椭圆的方程为 mx2+ny2=1(m>0,n>0,且 m≠n),

∵椭圆经过点 P1,P2, ∴点 P1,P2 的坐标适合椭圆方程, ?6m+n=1, ? ?① 则? ?3m+2n=1, ?② ?

)

1 1 由①②两式联立,解得 m= ,n= , 9 3 x2 y2 ∴所求椭圆方程为 + =1. 9 3

[规律技巧]

在求椭圆的标准方程时,可以根据焦点的

位置设出椭圆的标准方程, 然后用待定系数法确定 a, 的值, b 但当椭圆的焦点不确定时,椭圆的方程可设为 mx2 +ny2 = 1?m>0,n>0,且 m≠n?,如?3?题,会使求解过程更加简捷.

【变式训练 1】 求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)两个焦点的坐标分别为(-4,0)和(4,0),且椭圆经过点 (5,0); (2)焦点在 y 轴上,且经过两个点(0,2)和(1,0); 1 1 1 (3)经过点 P1( , ),P2(0,- ). 3 3 2

分析

求椭圆的标准方程时,要先判断焦点的位置,确

定出适合题意的椭圆的标准方程的形式,最后由条件确定出 a 和 b 即可.



(1)∵椭圆的焦点在 x 轴上,

x2 y2 ∴设它的标准方程为 2+ 2=1(a>b>0). a b ∴2a= ?5+4?2+ ?5-4?2=10.∴a=5. 又 c=4,∴b2=a2-c2=25-16=9. x2 y2 故所求椭圆的方程为 + =1. 25 9

(2)∵椭圆的焦点在 y 轴上, y2 x2 ∴设它的标准方程为 2+ 2=1(a>b>0). a b 又椭圆经过点(0,2)和(1,0), ?4 0 ?a2+b2=1, ∴? ? 02+ 12=1, ?a b
?a2=4 ? ?? 2 ?b =1 ?

.

y2 故所求椭圆的方程为 +x2=1. 4

(3)设所求椭圆的方程为 mx2+ny2=1(m>0, n>0, m≠n), 1 ? 12 m? ? +n? ?2=1, ? 3 3 则? ?n?-1?2=1, 2 ?
?m=5, ? ∴? ?n=4. ?

故所求的椭圆方程为 5x2+4y2=1.

题型二 【例 2】

椭圆定义的应用

x2 y2 如图所示,点 P 是椭圆 + =1 上的一点,F1 和 F2 分 5 4 别是椭圆的左、右焦点,且∠F1PF2=30° ,求△F1PF2 的面 积.

[解]

x2 y2 在椭圆 + =1 中,a= 5,b=2,c=1. 5 4

又 P 在椭圆上, ∴|PF1|+|PF2|=2a=2 5, 又∵∠F1PF2=30° ,根据余弦定理得 |PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos30° =|F1F2|2=4, ①式平方减②式,得 ② ①

(2+ 3)|PF1|· 2|=16, |PF ∴|PF1|· 2|=16(2- 3). |PF 1 ∴S△ F1PF2= |PF1||PF2 |· sin30° =8-4 3. 2

[规律技巧]

根据椭圆的定义可知,椭圆上任意一点到

两焦点的距离之和等于 2a, 这一性质在解题中注意灵活运用.

【变式训练 2】 过椭圆 4x2+y2=1 的一个焦点 F1 的直 线与椭圆交于 A,B 两点,则 A,B 与椭圆的另一个焦点 F2 构成△ABF2 的周长是( A.2 C. 2 ) B.4 D.2 3

分析

依题意画出图形,根据椭圆的定义可得出结果.

解析

如下图所示,∵|AF1 |+|AF2 |=2,

|BF1|+|BF2|=2, ∴|AF1|+|BF1 |+|AF2 |+|BF2|=4, 即|AB|+|AF2|+|BF2 |=4.

答案

B

题型三

求轨迹方程

【例 3】 (2010· 湖南)为了考察冰川的融化状况, 一支科 考队在某冰川山上相距 8 km 的 A, 两点各建一个考察基地, B 视冰川面为平面形,以过 A,B 两点的直线为 x 轴,线段 AB 的垂直平分线为 y 轴, 建立平面直角坐标系(如图). 考察范围 到 A,B 两点的距离之和不超过 10 km 的区域.

(1)求考察区域边界曲线的方程; (2)如图所示,设线段 P1P2 是冰川的部分边界线(不考虑 其他边界)其中 P1(-14,-3),P2(-5,9),当冰川融化时,边 界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动, 第一年移动 0.2 km,以后每年移动的距离为前一年的 2 倍.问:经过多长时 间,点 A 恰好在冰川边界线上?

[解]

(1)设边界曲线上点 P 的坐标为(x,y),则由|PA|+

|PB|=10 知,点 P 在以 A,B 为焦点,长轴长为 2a=10 的椭 圆上.此时短半轴长 b= 52-42=3. 所以考察区域边界曲线(如图)的方程为 x2 y2 + =1. 25 9

(2)易知过点 P1,P2 的直线方程为 4x-3y+47=0. 因此点 A 到直线 P1P2 的距离为 31 d= 2 2= 5 . 4 +?-3? 设经过 n 年,点 A 恰好在冰川边界线上,则利用等比数 0.2?2n-1? 31 列求和公式可得 = . 5 2-1 解得 n=5,即经过 5 年,点 A 恰好在冰川边界线上. |-16+47|

x2 2 【例 4】 已知 x 轴上一定点 A(1,0),Q 为椭圆 +y =1 4 上任一点,求 AQ 的中点 M 的轨迹方程.

[解]

设中点 M 的坐标为(x,y),点 Q 的坐标为(x0,y0),

利用中点坐标公式, ? x0+1 ?x= 2 , 得? ?y=y0, 2 ?
?x =2x-1, ? 0 ∴? ? y0=2y. ?

x2 2 ∵Q(x0,y0)在椭圆 +y =1 上, 4
2 x0 2 ∴ +y0=1. 4

将 x0=2x-1,y0=2y 代入上式, ?2x-1?2 得 +(2y)2=1. 4 故所求 AQ 的中点 M 的轨迹方程是 1 2 y2 (x- ) + =1. 2 1 4

[规律技巧]

求轨迹问题常用的方法有直接法?如教材

P35 例 3?、相关点法?如例 4 与教材 P34 例 2?、定义法?如例 3?, 最后要注意检验,排除多余的点或找回遗漏的点.

【变式训练 3】 已知△ABC 的一边 BC 长为 8,周长为 20,求顶点 A 的轨迹方程.

分析

注意顶点 A 到 B 和 C 的距离之和为定值, 故可考

虑利用椭圆的定义来求其方程.

解 以 BC 边所在直线为 x 轴,BC 中点为原点,建立如 下图所示的直角坐标系,则 B,C 两点的坐标分别为(-4,0), (4,0).

∵|AB|+|BC|+|CA|=20,且|BC|=8, ∴|AB|+|AC|=12,12>|BC|. ∴点 A 的轨迹是以 B,C 为焦点的椭圆(除去与 x 轴的交 点). 由 2a=12,2c=8 及 a2=b2+c2,得 a2=36,b2=20. x2 y2 故所求的轨迹方程为 + =1(y≠0). 36 20


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