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2014届高三人教A版数学(文)一轮复习课件 平面向量基本定理及坐标表示

4.2 平面向量基本定理及坐标表示

考纲点击 1.了解平面向量的基本定理及其意义. 2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. 3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算. 4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.

说基础
课前预习读教材

考点梳理 1.平面向量基本定理 如果 e1,e2 是同一平面内的两个①______向量,那么对于 这一平面内的任意向量 a,有且只有一对实数 λ1,λ2,使 a=② __________. 我们把不共线的向量 e1,e2 叫做表示这一平面内所有向量 的一组③______.

①不共线 ②λ1e1+λ2e2 ③基底

2.平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系内,分别取与 x 轴、y 轴④______的两 个单位⑤______i、j 作为基底,对于平面内的一个向量 a,有 且只有一对实数 x,y,使得 a=⑥__________,则有序数对(x、 y)叫做向量 a 的坐标,记作⑦__________,其中 x,y 分别叫做 a 在 x 轴、y 轴上的坐标,a=(x,y)叫做向量 a 的坐标表示, 相等的向量其⑧______相同,⑨______相同的向量是相等向 量. ④平行 ⑤向量 ⑥xi+yj ⑦a=(x,y) ⑧坐标 ⑨坐标

3.平面向量的坐标运算 → 10 (1)已知点 A(x1,y1),B(x2,y2),则AB=○_________, → |AB|=?______________________. (2) 已 知 a = (x1 , y1) , b = (x2 , y2) , 则 a + b = ? __________________ , a - b = ? ______________ , λa = ? __________,a∥b(b≠0)的充要条件是?__________________.

⑩(x2-x1,y2-y1) ? ?x2-x1?2+?y2-y1?2 ?(x1+x2,y1+y2) ?(x1-x2,y1-y2) ?(λx1,λy1) ?x1y2-x2y1=0

(3)非零向量 a=(x,y)的单位向量为?___________或? ________________. (4)a=(x1,y1),b=(x2,y2),a=b??________________.

1 a ?± |a| ?± x2+y2(x,y)

?x1=x2 且 y1=y2

考点自测 → =(1,-2),OB=(-3,4),则1AB等于( → → 1.已知向量OA 2 A.(-2,3) C.(2,3) B.(2,-3) D.(-2,-3) )

→ =OB-OA=(-4,6),1AB=1(-4,6)= → 解析:依题意得AB → → 2 2 (-2,3),选 A. 答案:A

2. 已知向量 a=(1,1), b=(2, 若 a+b 与 4b-2a 平行, x), 则实数 x 的值是( ) A.-2 B.0 C.1 D.2

解析:依题意得 a+b=(3,x+1),4b-2a=(6,4x-2), ∵a+b 与 4b-2a 平行,∴3(4x-2)=6(x+1),由此解得 x =2,选 D. 答案:D

3.已知向量 a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4).若 λ 为实数, (a+λb)∥c,则 λ=( ) 1 1 A.4 B.2 C.1 D.2

解析:可得 a+λb=(1+λ,2),由(a+λb)∥c 得(1+λ)×4 1 -3×2=0,∴λ=2. 答案:B

→ → 4.在△ABC 中,点 P 在 BC 上,且BP=2PC,点 Q 是 AC → → → 的中点,若PA=(4,3),PQ=(1,5),则BC=( ) A.(-6,21) C.(6,-21) B.(-2,7) D.(2,-7)

→ → → → 解析:如图,QC=AQ=PQ-PA=(1,5)-(4,3)=(-3,2), → → → → → PC=PQ+QC=(1,5)+(-3,2)=(-2,7),BC=3PC=(-6,21). 答案:A

5.已知向量 a=(2,-1),b=(-1,m),c=(-1,2),若 (a+b)∥c,则 m=__________.

解析:a+b=(2-1,-1+m)=(1,m-1),由(a+b)∥c, 得 1×2-(m-1)×(-1)=0,即 m=-1. 答案:-1

疑点清源 1.基底的不唯一性 只要两个向量不共线,就可以作为平面的一组基底,对基 底的选取不唯一,平面内任意向量 a 都可被这个平面的一组基 底 e1,e2 线性表示,且在基底确定后,这样的表示是唯一的.

2.向量坐标与点的坐标区别 → 在平面直角坐标系中,以原点为起点的向量OA=a,点 A 的位置被向量 a 唯一确定, 此时点 A 的坐标与 a 的坐标统一为 → (x, 但应注意其表示形式的区别, y), 如点 A(x, 向量 a=OA y), =(x,y). → → → → 当平面向量OA平行移动到O1A1时,向量不变即O1A1=OA → =(x,y),但O A 的起点 O 和终点 A 的坐标都发生了变化.
1 1 1 1

说考点
拓展延伸串知识

题型探究 题型一 平面向量基本定理

→ =1OA,OD=1OB,AD 例 1 如图所示,在△OAB 中,OC 4 → → 2 → → → → 与 BC 交于点 M,设OA=a,OB=b,以 a、b 为基底表示OM.

→ 解析:设OM=ma+nb(m,n∈R), → → → 则AM=OM-OA=(m-1)a+nb, → =OD-OA=1b-a=-a+1b. AD → → 2 2 因为 A,M,D 三点共线, m-1 n 所以 =1,即 m+2n=1. -1 2 → =OM-OC=(m-1)a+nb, 而CM → → 4 → =OB-OC=b-1a=-1a+b, CB → → 4 4

1 m-4 n 因为 C,M,B 三点共线,所以 1 =1,即 4m+n=1. -4 1 ? ?m+2n=1, ?m=7, ? 由? 解得? ?4m+n=1, ? ?n=3. ? 7 → =1a+3b. 所以OM 7 7

→ 点评:本题先用平面向量基本定理设出OM=ma+nb,然 后利用共线向量的条件列出方程组,确定 m,n 的值.

如图所示,在平行四边形 ABCD 中,M,N → → 分别为 DC,BC 的中点,已知AM=c,AN=d,试用 c,d 表示 → → AB,AD.

变式探究 1

→ → 解析:设AB=a,AD=b. 因为 M,N 分别为 CD,BC 的中点, → =1b,DM=1a. → 所以BN 2 2 1 2 ? ? ?c=b+2a ?a=3?2d-c?, 因而? ?? 1 ?d=a+ b ?b=2?2c-d?, 2 3 ? ? → =2(2d-c),AD=2(2c-d). → 即AB 3 3

题型二

平面向量的坐标运算 → 例 2 已知 a=AB,B(1,0),b=(-3,4),c=(-1,1),且 a= 3b-2c,求点 A 的坐标.

→ 解析:先求AB的坐标,再求 A 的坐标.a 与 b、c 有关, 用 b、c 的坐标表示 a. ∵b=(-3,4),c=(-1,1). ∴3b-2c=3(-3,4)-2(-1,1)=(-9,12)-(-2,2) → =(-7,10) 即 a=(-7,10)=AB. 又 B(1,0),设 A 点坐标为(x,y). → AB=(1-x,0-y)=(-7,10)
?1-x=-7 ? ∴? ?0-y=10 ? ?x=8 ? ?? ?y=-10 ?

即 A 点坐标为(8,-10).

点评:通过向量相等则坐标相同这一关系找出等式关系.

变式探究 2 (1)已知向量 a=(3,-2),b=(-2,1),c=(7,-4),试用 a 和 b 来表示 c. → → (2)已知 A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4)且CM=3CA, → → → CN=2CB.求 M、N 的坐标和MN.

解析: (1)用待定系数法: 由 3×1-(-2)×(-2)≠0,故 a 与 b 不共线. 可设 c=λ1a+λ2b(其中 λ1、λ2 为待定的常数).即 (7,-4)=λ1(3,-2)+λ2(-2,1)=(3λ1-2λ2,-2λ1+λ2) ?3λ1-2λ2=7 ?λ1=1 ? ? ∴? ?? ?-2λ1+λ2=-4 ?λ2=-2 ? ? ∴c=a-2b.

(2)∵A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4), → → ∴CA=(1,8),CB=(6,3). → → → → ∴CM=3CA=3(1,8)=(3,24),CN=2CB=2(6,3)=(12,6). → 设 M(x,y),则CM=(x+3,y+4).
?x+3=3, ? 因此? ?y+4=24, ? ?x=0, ? 得? ?y=20. ?

∴M(0,20). 同理可得 N(9,2). → ∴MN=(9-0,2-20)=(9,-18).

题型三 向量平行的坐标表示 例 3 平面内给定三个向量 a=(3,2), b=(-1,2), c=(4,1). 回 答下列问题: (1)若(a+kc)∥(2b-a),求实数 k; (2)设 d=(x,y)满足(d-c)∥(a+b)且|d-c|=1,求 d.

解析: (1)a+kc=(3,2)+k(4,1)=(3+4k,2+k), 3+4k 2+k 2b-a=(-2,4)-(3,2)=(-5,2),∴ = 2 . -5 ∴6+8k=-10-5k. 16 ∴k=-13.

(2)d-c=(x,y)-(4,1)=(x-4,y-1), a+b=(2,4), x-4 y-1 ∵(d-c)∥(a+b),∴ 2 = 4 ,即 y-1=2(x-4).① 又|d-c|=1,∴ ?x-4?2+?y-1?2=1.② 1 2 把①代入②,得 5(x-4) =1,∴x=4± . 5

5 5 ? ? ?x=4+ 5 , ?x=4- 5 , ∴? 或? ?y=2 5+1 ?y=-2 5+1. 5 5 ? ? 5 2 5 5 2 5 ∴d=(4+ 5 , 5 +1)或 d=(4- 5 ,- 5 +1).

点评:向量引入坐标后,用坐标来表示向量平行,实际上 是一种解析几何(或数形结合)的思想,其实质是用代数(主要是 方程)计算来代替几何证明,这样就把抽象的逻辑思维转化为 了计算.

变式探究 3 已知 a=(2,3),b=(1,2),若 ka-b 与 a-kb 平行,求实数 k 的值,并指出它们是同向还是反向?

解析:∵a=(2,3),b=(1,2) ∴ka-b=(2k-1,3k-2). a-kb=(2-k,3-2k) 又 ka-b 与 a-kb 平行 ∴(2k-1)(3-2k)-(3k-2)(2-k)=0,解得 k=± 1. 当 k=1 时,ka-b=a-kb,这两个向量方向相同; 当 k=-1 时,ka-b=-(a-kb),这两个向量方向相反.

归纳总结 ?方法与技巧 1.平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边 形法则,将向量进行分解. 2.向量的坐标表示的本质是向量的代数表示,其中坐标 运算法则是运算的关键,通过坐标运算可将一些几何问题转化 为代数问题处理,从而向量可以解决平面解析几何中的许多相 关问题. 3.在向量的运算中要注意待定系数法、方程思想和数形 结合思想的运用.

?失误与防范 1.要区分点的坐标与向量坐标的不同,尽管在形式上它 们完全一样,但意义完全不同,向量坐标中既有方向也有大小 的信息. 2.若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a∥b 的充要条件不能 x1 y1 表示成x =y ,因为 x2,y2 有可能等于 0,所以应表示为 x1y2 2 2 -x2y1=0.同时,a∥b 的充要条件也不能错记为 x1x2-y1y2=0, x1y1-x2y2=0 等.

新题速递 → 1.(2013· 济宁调研)给定两个长度为 1 的平面向量OA和 → OB,它们的夹角为 90° ,如图所示,点 C 在以 O 为圆心的圆 → → → 弧 AB 上运动,若CO=xOA+yOB,其中 x,y∈R,则 x+y 的 最大值是( A.1 C. 3 ) B. 2 D.2

→ → → → → → 解析:由CO=xOA+yOB得|CO|2=|xOA+yOB|2=x2+y2= ?x+y? x2+y2 1 ?2 1,又? ? 2 ? ≤ 2 =2,∴x+y≤ 2. ? ? 答案:B

2.(2013· 吉林质检)O 是△ABC 所在平面内一点,动点 P → → ? AB AC ? ? ? → → + 满足OP=OA+λ? ?(λ∈(0,+∞)),则动点 P → → ?|AB|sinB |AC|sinC? 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A.内心 B.重心 C.外心 D.垂心

→ → → → 解 析 : 由 正 弦 定 理 | AB |sinB = | AC |sinC , ∴ OP = OA + λ → +AC),即AP= λ → → → (AB → (AB+AC),根据平行四边 → → |AB|sinB |AB|sinB → → 形法则AB+AC过△ABC 的重心. 答案:B

3.(2013· 济南调研)如图,在平行四边形 ABCD 中,E 和 F → → → → → → 分别在边 CD 和 BC 上,且DC=3DE,BC=3BF,若AC=mAE → +nAF,其中 m,n∈R,则 m+n=__________.

→ → → → → → → → → 解析:AC=mAE+nAF,AC=AB+AD=AF+FB+AE+ → , → +ED=1CB+1CD=-1AC, → =AE+AF-1AC, → ∴AC → → → ED 又FB → 3 → 3 → 3 3 → =3AE+3AF,m+n=3. 因此AC 4 → 4 → 2 3 答案:2


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