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2013年全国高校自主招生数学模拟试卷10

2013 年全国高校自主招生数学模拟试卷十 一、选择题(36 分) 1.给定公比为 q ( q≠ 1)的等比数列{ a n },设 b 1= a 1+ a 2+ a 3, b 2= ) a 4 + a 5 + a 6 ,…, b n = a 3 n -2 + a 3 n -1 + a 3 n ,…,则数列{ b n }( ( A )是等差数列 ( B )是公比为 q 的等比数列 ( D )既非等差数列也非等比数列 ( C )是公比为 q 3 的等比数列 解 析 : (C). 由 题 设 , an=a1qn-1 ,则 因 此 , { bn} 是 公 比 为 q3 的 等 比 数 列 . 2.平面直角坐标系中,纵、横坐标都是整数的点叫做整点,那么,满足不等式 (| x |-1) 2 +(| y |-1) 2 <2 的整点( x , y )的个数是( ( A )16 解析: ) ( B )17 (A) ( C )18 ( D )25 由 ( | x | - 1 ) 2 + ( | y | - 1 ) 2 < 2 , 可 得 ( | x | - 1 , | y | - 1 ) 为 ( 0 ,0 ) ,( 0 ,1 ) ,( 0 , -1), (1, 0)或 (-1, 0).从 而 , 不 难 得 到 (x,y)共 有 16 个 . 3.若(log 2 3) x -(log 5 3) x ( A ) x - y ≥0 ( C ) x - y ≤0 解析: ≥(l og 2 3) - y -(log 5 3) - y ,则( ) ( B ) x + y ≥0 ( D ) x + y ≤0 (B) 记 f(t)=(log23)t-(log53)t,则 f(t)在 R 上 是 严 格 增 函 数 .原 不 等 式 即 f(x)≥f(-y). 故 x≥-y, 即 x+y≥0. 4.给定下列两个关于异面直线的命题: 命题Ⅰ: 若平面 α 上的直线 a 与平面 β 上的直线 b 为异面直线, 直线 c 是 α 与β 的交线,那么, c 至多与 a , b 中的一条相交; 命题Ⅱ:不存在这样的无穷多条直线,它们中的任意两条都是异面直线。 那么,( ) ( B )命题Ⅱ正确,命题Ⅰ不正确 ( D )两个命题都不正确 ( A )命题Ⅰ正确,命题Ⅱ不正确 ( C )两个命题都正确 解析: (D). 如图,c 与 a、b 都相交;故命题Ⅰ不正确;又可以取无穷多个平 行平面,在每个平面上取一条直线,且使这些直线两两不同向,则这些直线中的任意两条都 是异面直线,从而命题Ⅱ也不正确. 5.在某次乒乓球单打比赛中,原计划每两名选手恰比赛一场,但有 3 名选手各 比赛了 2 场之后就退出了,这样,全部比赛只进行了 50 场。那么,在上述 3 名 选手之间比赛的场数是( ( A )0 解析: ) ( D )3 ( B )1 (B) ( C )2 设 这 三 名 选 手 之 间 的 比 赛 场 数 是 r, 共 n 名 选 手 参 赛 . 由 题 意,可得 ,即 =44+r. 由 于 0≤r≤3, 经 检 验 可 知 , 仅 当 r=1 时 , n=13 为 正 整 数 . 6.已知点 A (1,2),过点(5,-2)的直线与抛物线 y 2 =4 x 交于另外两点 B , C , 那么,△ ABC 是( ( A )锐角三角形 ( C )直角三角形 解析: ) ( B )钝角三角形 ( D )答案不确定 (C) ,化 设 B(t2,2t),C(s2,2s),s≠t,s≠1,t≠1,则直线 BC 的方程为 得 2x-(s+t)y+2st=0. 由于直线 BC 过点(5,-2),故 2×5-(s+t)(-2)+2st=0,即 (s+1)(t+1)=-4. 因此, 所以,∠BAC=90°,从而△ABC 是直角三角形. 二、填空题(54 分) . 7.已知正整数 n 不超过 2000,并且能表示成不少于 60 个连续正整数之和, 那么,这样的 n 的个数是___________. 解析: 6. 首项为 a 为的连续 k 个正整数之和为 . 由 Sk≤2000, 可 得 60≤k≤62. 当 k=60 时 , Sk=60a+30×59, 由 Sk≤2000, 可 得 a≤3, 故 Sk=1830,1890,1950; 当 k=61 时 , Sk=61a+30×61, 由 Sk≤2000, 可 得 a≤2, 故 Sk=1891, 1952; 当 k=62 时 , Sk=62a+31×61, 由 Sk≤2000, 可 得 a≤1, 故 Sk=1953. 于是,题中的 n 有 6 个. 8.复数( 1 2 + 5 i ) 2 ( 2 3 9 - i ) 的辐角主值是_________. 解析: . z 的辐角主值 argz=arg[ (12+5i)2(239-i)] =arg[ (119+120i)(239-i)] =arg[ 28561+28561i] = . 8.在△ ABC 中,记 BC = a , CA = b , AB = c ,若 9 a 2 +9 b 2 -19 c 2 =0, 则 ctgC =__________. ctgA ? ctgB 解析: . 10.已知点 P 在双曲线 x2 y2 ? ? 1 上,并且 P 到这条双曲线的右准线的距离 16 9 恰是 P 到这条双曲线的两个焦点的距离的等差中项,那么, P 的横坐标是 _____. 解析: . 记 半 实 轴 、 半 虚 轴 、 半 焦 距 的 长 分 别 为 a、 b、 c, 离 心 率 为 e ,点 P 到 右 准 线 l 的 距 离 为 d ,则 a = 4 , b = 3 , c = 5 , 线 l 为 . , 右准 如果 P 在双曲线右支,则 |PF1|=|PF2|+2a=ed+2a. 从

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