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数学期望


随机变量的数学期望
教学目的与要求:使学生掌握数学期望的定义及计算随机变量的数学期望 教学重点:随机变量函数的期望的定义与求法. 教学难点:随机变量函数的期望的定义与在其他学科方面的应用. 教学课时:2 教学方法:讲授法及多媒体辅助教学。 教学内容与步骤: 一 数学期望概念的引入 历史上著名的分赌本问题: 17 世纪中叶,一位赌徒向法国数学家帕斯卡 (1623-1662)提出一个使他苦恼长久的分赌本问题:甲、乙两赌徒赌技相同, 各出赌注 50 法郎,每局中无平局。他们约定谁先赢三局,则得全部赌本 100 法 郎。当甲赢了二局,乙赢了一局时,因故要中止赌博。问这 100 法郎如何分才算 公平?这个问题涉及数学期望。 二、数学期望的定义 1.定义 设离散随机变量 X 的分布列为

pi ? p( xi ) ? P( X ? xi ), i ? 1, 2,
如果

n,

? | x |p( x ) ? ?? ,
i ?1 i i

??

则称

E ( X ) ? ? xi p( xi )
i ?1

??

为随机变量 X 的数学期望,或称为该分布的数学期望,简称期望或均值。若级数

? | x |p( x ) 不收敛,则称 X 的数学期望不存在。
i ?1 i i

??

2.定义 设连续随机变量 X 的密度函数为 p(x),如果

?
则称

??

??

| x | p( x)dx ? ?? , E( X ) ? ?
?? ??

xp( x)dx
?? ??

为 X 的数学期望,或称为该分布的数学期望,简称期望或均值。若 ? | x | p( x)dx 不收敛,则称 X 的数学期望不存在。
1

例 1.假设有 10 只同种电器元件,其中两只废品,从这批元件中任取一只,如 果是废品,则扔掉重新取一只,如仍是废品,则扔掉再取一只,试求在取到正品 之前,已取出的废品只数的数学期望和方差。 解 设 X 为已取出的废品只数,则 X 的分布为

X P

0 8 10

1 8 45

2 1 45

所以
EX ? 8 2 2 ? ? , 45 45 9

例 2 设 X 服从区间 ( a, b) 上的均匀分布,求 E ( X ) 。 解: E ( X ) ? ?
b

1 a?b xdx ? b?a 2 a

注:例:设随机变量X具有如下的分布,求E(X).
P{ X ? (?1) k ? 2k 1 }? k , k 2
?

k ? 1,2,...
? k k

? 2k 1 1 说明:虽然有 ? xk P{ X ? xk } ? ? (?1) ? ? k ? ? (?1) ? 收敛, k 2 k k ?1 k ?1 k ?1
? ? 1 但是: ? | xk | P{ X ? xk } ? ? ? 发散,所以 E(X)不存在。 k ?1 k ?1 k

例 3(数学期望在医学中的应用) 在某地区进行某种疾病普查,为此要检验每一 个人的血液,如果当地有 N 个人,若逐个检验就需要检验 N 次,现在要问:有没有办 法减少检验的工作量? 我们先把受检验者分组,假设每组有 k 个人,把这 k 个人的血液混合在一起进 行检验,如果检验的结果为阴性,这说明 k 个人的血液全为阴性,因而这 k 个人总 共只要检验一次就够了,检验的工作量显然是减少了 .但是如果检验的结果为阳 性,为了明确 k 个人中究竟是哪几个人为阳性,就要对这 k 个人再逐个进行检验, 这时 k 个人检验的总次数为 k+1 次,检验的工作量反而有所增加.显然,这时 k 个 人需要的检验次数可能只要 1 次,也可能要 k+1 次,是一个随机变量,为了和老方 法比较工作量的大小,应该求出它的平均值(也就是平均检验次数).
2

在接受检验的人群中,各个人的检验结果是阳性还是阴性,一般都是独立的 (如果这种病不是传染病或遗传病),并且每一个人是阳性结果的概率为 p,是阴 性结果的概率为 q=1-p,这时 k 个人一组的混合血液呈阴性结果的概率为 qk,呈阳 性结果的概率则为 1-qk.现在令 ? 为 k 个人一组混合检验时每人所需的检验次数,

?1 / k 1 ? 1 / k ? 由上述讨论可知 ? 的分布列为: ? ? qk 1? qk ? ? .由此即可求得每个人所需的平均 ? ?
检验次数为: E (? ) ?
1 k 1 1 q ? (1 ? )(1 ? q k ) ? 1 ? q k ? k k k

而按原来的老方法每人应该检验 1 次,所以当1 ? q k ?

1 1 ? 1 ,即 q ? 时,用分组 k k k

的 办 法 (k 个 人 一 组 ) 就 能 减 少 检 验 的 次 数 . 如 果 q 是 已 知 的 , 还 可 以 从
E (? ) ? 1 ? q k ? 1 中选取最合适的整数 k0,使得平均检验次数 E (? ) 达到最小值,从 k

而使平均检验次数最少. 对一些不同的 p 值,下表给出了使 E (? ) 达到最小的 k0 值. 阳性反应率 p k0 阳性反应率 p k0 阳性反应率 p 0.140 0.130 0.120 0.110 0.100 0.090 0.080 0.070 3 3 4 4 4 4 4 4 0.060 0.050 0.040 0.030 0.020 0.019 0.018 0.017 5 5 6 6 8 8 8 8 0.016 0.015 0.014 0.013 0.012 0.011 0.010 0.009 k0 8 9 9 9 10 10 11 11 阳性反应率 p 0.008 0.007 0.006 0.005 0.004 0.003 0.002 0.001 k0 12 12 13 15 16 19 23 32

我国某医疗机构在一次普查中,由于采用了上述这种分组方法,结果每 100 个人的平均检验次数为 21,减少工作量达 79﹪.当然,减少的工作量的大小与 p 的数值有关,也与每组人数 k 有关. 我们已经熟悉了随机变量的数学期望,由定义,在求数学期望时应该先求出 该随机变量的分布列 . 但在求随机变量的函数 g (? ) 的数学期望时 , 可以不必求
g (? ) 的分布列而只要直接利用原随机变量 ? 的分布列就可以了,这对简化计算当

3

然是有利的.为此需要下面的定理. 三、数学期望的性质 1.基本性质 (1)若c是常数,则E(c)=c. (2)对任意的常数a,E(aX)=a. 2.定理 若随机变量X的分布用分布列 p ( xi ) 或用密度函数 p( x) 表示, 则X的某一 函数 g ( X ) 的数学期望为

? ?? ? ? g ( xi ) p( xi ), 在离散场合; E ( g ( X )) ? ? i ?1 ? ?? g( x) p( x)dx, 在连续场合。 ? ???
对该定理进行简单说明,但不要求证明。

例 4(应用于经济问题) .设某种商品每周的需求量 X 是服从区间 [10, 30] 上 均匀分布的随机变量,而经销商店进货量为区间 [10, 30] 中的某一个整数,商店 每销售一单位商品可获利 500 元;若供大于求则削价处理,每处理一单位商品亏 损 100 元;若供不应求,则从外部调剂供应,此时每一单位商品仅获利 300 元, 为使商店所获利润期望值不少于 9280 元,试确定最小进货量。 解 设商店获得的利润为 T ,进货量为 y ,则

?500 y ? ( X ? y) ? 300, y ? X ? 30, T ? g( X ) ? ? ?500 X ? ( y ? X ) ?100, 10 ? X ? y. ?300 X ? 200 y, y ? X ? 30, ?? ?600 X ? 100 y, 10 ? X ? y,
由题意
9280 ? ET ? ?
?? ??

g ( x) f ( x) dx
30 y

?

1 ? y (600 x ? 100 y )dx ? ? 20 ? ? ? 10

(300 x ? 200 y)dx ? ? ?

? ?7.5 y 2 ? 350 y ? 5250,


7.5 y 2 ? 350 y ? 4030 ? 0 .
4

解不等式得
20 2 ? y ? 26 , 3

即使利润的期望值不少于 9280 元的最少进货量为 21 个单位.

教学总结:数学期望概念在中学数学中已经引进,在大学概率中的教学着重在中 学基础上的加深,1)在定义时重点强调收敛性,2)例题教学时着重应用,即解 释了定义又能提高学生的兴趣。

作业:1,3

5


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