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高中数学必修二4.2.3直线与圆的方程的应用课件人教A版_图文

4.2.3 直线与圆的方程的应用 -1- 4.2.3 直线与圆的方程的应用 目标导航 知识梳理 重难聚焦 典例透析 1.能利用直线与圆的方程解决平面几何问题. 2.能利用直线与圆的方程解决简单的实际生活问题. -2- 4.2.3 直线与圆的方程的应用 目标导航 知识梳理 重难聚焦 典例透析 直线与圆的方程的应用 用坐标法解决平面几何问题的步骤: 第一步:建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中 的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题; 第二步:通过代数运算,解决代数问题; 第三步:把代数运算结果“翻译”成几何结论. 这是用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”,又简称为“一建 二算三译”. -3- 4.2.3 直线与圆的方程的应用 目标导航 知识梳理 重难聚焦 典例透析 解决与圆相关的实际问题的步骤 剖析:解决此类问题的基本步骤如下: (1)阅读理解,认真审题. 做题时,读懂题中的文字叙述,理解叙述中所反映的实际背景,领 悟从背景中概括出来的数学实质,尤其是理解叙述中的新名词、新 概念,进而把握新信息.在此基础上,分析出已知什么,求什么,涉及哪 些知识,以确定变量之间的关系.审题时要抓住题目中关键的量,实 现应用问题向数学问题的转化. -4- 4.2.3 直线与圆的方程的应用 目标导航 知识梳理 重难聚焦 典例透析 (2)引进数学符号或圆的方程,建立数学模型. 根据已知条件,运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知 识建立方程(组)或函数关系式,将实际问题转化为一个数学问题,实 现问题的数学化,即建立数学模型.如果题目已经告知曲线是圆,则 需要建立适当的平面直角坐标系,设出圆的方程,为求解方程或计 算做准备. (3)利用数学的方法将得到的常规数学问题(即数学模型)予以解 答,求得结果. (4)翻译成具体问题. -5- 4.2.3 直线与圆的方程的应用 目标导航 知识梳理 重难聚焦 典例透析 题型一 题型二 题型一 用坐标法证明几何问题 【例1】 如图,在半径为1的圆O上任取点C为圆心,作一圆与圆O的 直径AB相切于点D,圆C与圆O交于点E,F.求证:EF平分CD. -6- 4.2.3 直线与圆的方程的应用 目标导航 知识梳理 重难聚焦 典例透析 题型一 题型二 证明:以AB所在直线为x轴,以AB的中点O为原点建立平面直角坐 标系,如图所示,则圆O的方程为x2+y2=1.① 设圆 C 的圆心为 C(x1,y1), 2 则可得圆 C 的方程为(x-x1)2+(y-y1)2= 1 , 2 即 x2+y2-2x1x-2y1y+1 = 0. ② 2 ①-②,得 2x1x+2y1y-1?1 = 0. ③ ③式就是直线 EF 的方程. 设 CD 的中点为 H,其坐标为 1 , 2 21 2 1 ? 1 = 0, 即CD 的中点 H 在 EF 上. 故 EF 平分 CD. 2 2 + 21 · 2 ? 1 ? 1 = 21 + 1 1 2 2 1 , 将H 代入③式,得 2 2 ? 1 ? 1 = 1 + -7- 4.2.3 直线与圆的方程的应用 目标导航 知识梳理 重难聚焦 典例透析 题型一 题型二 反思1.用坐标法解决几何问题时,先用坐标和方程表示相应的几 何元素:点、直线、圆,将几何问题转化为代数问题;然后通过代数 运算解决代数问题;最后解释代数运算结果的几何含义,得到几何 问题的结论. 2.用坐标法解决实际问题的关键是把它转化为数学问题. -8- 4.2.3 直线与圆的方程的应用 目标导航 知识梳理 重难聚焦 典例透析 题型一 题型二 【变式训练1】 如图,Rt△ABC的斜边长为定值2m,以斜边的中点O为圆心作半径 为n的圆,直线BC交圆于P,Q两点,求证:|AP|2+|AQ|2+|PQ|2为定值. 证明:如图,以O为坐标原点,以直线BC为x轴,建立平面直角坐标 系,于是有B(-m,0),C(m,0),P(-n,0),Q(n,0). 设A(x,y),由已知,点A在圆x2+y2=m2上. |AP|2+|AQ|2+|PQ|2 =(x+n)2+y2+(x-n)2+y2+4n2 =2x2+2y2+6n2=2m2+6n2(定值). -9- 4.2.3 直线与圆的方程的应用 目标导航 知识梳理 重难聚焦 典例透析 题型一 题型二 题型二 实际应用问题 【例2】 某圆拱桥的示意图如图所示,该圆拱的跨度AB是36 m,拱 高OP是6 m,在建造时,每隔3 m需用一个支柱支撑,求支柱A2P2的 长.(精确到0.01 m) (参考数据 2≈1.414, 3≈1.732) -10- 4.2.3 直线与圆的方程的应用 目标导航 知识梳理 重难聚焦 典例透析 题型一 题型二 解:如图,以线段AB所在的直线为x轴,线段AB的中点O为坐标原 点建立平面直角坐标系,则点A,B,P的坐标分别为(-18,0),(18,0),(0,6). 设圆拱所在的圆的方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0. 因为点A,B,P在圆拱所在的圆上,所以 = 0, 182 -18 + = 0, 182 + 18 + = 0,解得 = 48, = -324. 62 + 6 + = 0, -11- 4.2.3 直线与圆的方程的应用 目标导航 知识梳理 重难聚焦 典例透析 题型一 题型二 故圆拱所在的圆的方程是x2+y2+48y-324=0. 将点P2的横坐标x=6代入上式,解得 y=-24+12 6≈5.39(m)(负值舍去). 答:支柱A2P2的长约为5.39 m. -12- 4.2.3 直线与圆的方程的应用 目标导航 知识梳理 重难聚焦 典例透析 题型一 题型二 反思在实际问题中,遇

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