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高中数学用二分法求方程的近似解课件人教版必修一_图文

3.1.2 用二分法 求方程的近似解
1

知识探究(一):二分法的概念

思考:从某水库闸房到防洪指挥部的 某一处电话线路发生了故障。这是一 条10km长的线路,如何迅速查出故障 所在?

如图,设闸门和指挥部的所在处为点A,B, 1.首先从中点C查 2.用随身带的话机向两端测试时,发现AC段正常,断定 故障在BC段 3.再到BC段中点D 4.这次发现BD段正常,可见故障在CD段 5.再到CD中点E来看 6.这样每查一次,就可以把待查的线路长度缩减一半

A

C

E

D

B

二、方法探究
(1)不解方程,如何求方程 x 2 ? 2 x ? 1 ? 0 的一个
正的近似解.(精确到0.1)

解:设f ( x) ? x 2 ? 2 x ?1
10 8 6 4 y=x^2-2x-1 2 0 -3 -2 -1 -2 -4 0 1 2

?

3

4

5

例1.不解方程,求方程X2-2X-1=0的一个正近似解
分析:设

f ( x) ? x 2 ? 2x ? 1

先画出函数图象的简图,

y

y=x2-2x-1

如何进一步有效缩小根所在的区间?
第一步:得到初始区间(2,3) 第二步:取2与3的平均数2.5 第三步:再取2与2.5的平均数2.25 如此继续取下去: 若要求结果精确到0.1,则何时停 止操作?

-1 0 1 2 3

x

2.25 2
2.5

2

2.5

3

二、方法探究 +
2 2 + 2.5 + 3 3 f(2)<0,f(3)>0

?2<x1<3

f(2)<0,f(2.5)>0 ? 2<x1<2.5 f(2.25)<0,f(2.5)>0 ?2.25<x1<2.5 f(2.375)<0,f(2.5)>0? 2.375<x1<2.5
f(2.375)<0,f(2.4375)>0 ?2.375<x1<2.4375

2
2 2

2.25 2.5 - +
2.375 2.5 - + 2.375 2.4375

3
3 3

∵2.375与2.4375精确到0.1的近似值都为2.4, ∴此方程的近似解为 x 1 ? 2 . 4 若要求结果精确到0.01,则何时停止操作?

函数f(x)=lnx+2x-6在区间(2,3)内有零点 如何找出这个零点?

请看下面的表格:
区间 端点的符号 中点的值
中点函数值 的符号

( 2, 3) (2.5,3) (2.5,2.75)

f(2)<0, f(3)>0 f(2.5)<0, f(2.75)>0

2.5

f(2.5)<0 f(2.75)>0 f(2.625)>0

f(2.5)<0, f(3)>0 2.75 2.625

f(2.5)<0, (2.5,2.625) f(2.625)>0 f(2.5)<0, (2.5,2.5625) f( 2.5625)>0

2.5625 f(2.5625)>0

2.53125 f(2.53125)<0

表续

(2.53125, 2.5625)

f(2.53125)<0, f( 2.5625)>0

2.546875

f(2.546875) >0

(2.53125, 2.546875)

f(2.53125)<0, 2.5390625 f(2.5390625 )>0 f(2.546875)>0

(2.53125, f(2.53125)<0, 2.5351562 f(2.5351562 5)>0 2.5390625) f(2.5390625)> 5 0

二、方法探究
(2)能否简述上述求方程近似解的过程? 将方程的有根区间对分,然后再选择比原区间 缩小一半的有根区间,如此继续下去,直到满足 精度要求的根为止。 (3)二分法(bisection method): 像上面这种求方程近似解的方法称为二分法, 它是求一元方程近似解的常用方法。运用二分法的 前提是要先判断某根所在的区间。

对于在区间[a,b]上连续不断且 f(a).f(b)<0的函数y=f(x),通过不断的 把函数f(x)的零点所在的区间一分为二, 使区间的两个端点逐步逼近零点,进 而得到零点近似值的方法叫做二分法 (bisection )

用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下:

1、 确定区间[a,b],验证f(a).f(b)<0,给定精确度ε ; 2、求区间(a,b)的中点x1, 3、计算f(x1)
若f(x1)=0,则x1就是函数的零点;
若f(a).f(x1)<0,则此时零点x0∈(a, x1) 若f(x1).f(b)<0,则此时零点x0∈( x1,,b)

4、判断是否达到精确度ε ,即若|a-b|< 则得到零点近似值a(或b),否则重复2~4

ε

三、自行探究
利用计算器,求方程
x

的近似解(精确到0.1)

解:(法一) 画出 f ( x) ? 2 ? x ? 4 的图象,观察图象得, x f ( x ) ? 2 ? x ? 4 有惟一解,记为x1 ,且这个解在 方程 区间(1 , 2)内。
8 6 4 2 0 -3 -2 -1 -2 0 -4 -6 -8 1

?
2 3 4

三、自行探究
区间端点函数值 符号

解:设f ( x) ? 2x ? x ? 4
中点值 中点函数值 符号

根所在区间

f(1)<0,f(2)>0 f(1)<0, f(1.5)>0 f(1.25)<0 , f(1.5)>0

(1 , 2) (1 , 1.5) (1.25 , 1.5)

1.5 1.25 1.375

f(1.5)>0 f(1.25)<0 f(1.375)<0

f(1.375)<0 , f(1.5)>0

(1.375, 1.5)

1.4375

f(1.4375)>0

f(1.375)<0 , f(1.4375)>0 (1.375,1.4375)

因为1.375,1.4375精确到0.1的近似值都为1.4 ,所以原 方程的近似解为x1≈ 1.4

三、自行探究
(法二)画出g(x)=2x及h(x)=4-x的图象,观察 图象得,方程2x+x=4有惟一解,记为x1, 且这个解在区间(1 , 2)内。
12 10 8 6 4 2 0 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 g(x)=2^x h(x)=4-x

例2 借助计算器或计算机用二分法求方 程2x+3x=7的近似解(精确度0.1) 解:原方程即2x+3x=7,令f(x)= 2x+3x-7, 用计算器作出函数f(x)= 2x+3x-7的对应值表 和图象如下:
x f(x) 0 1 2 3 4 5 -6 -2 3 10 21 40 6 75 7 142 8 273

函数未命名.gsp图象

因为f(1)· f(2)<0所以 f(x)= 2x+3x-7在 (1,2)内有零点x0,取(1,2)的中点 x1=1.5, f(1.5)= 0.33,因为f(1)· f(1.5)<0 所以x0 ∈(1,1.5) 取(1,1.5)的中点x2=1.25 ,f(1.25)= -0.87, 因为f(1.25)· f(1.5)<0,所以x0∈(1.25,1.5)

同理可得, x0∈(1.375,1.5),x0∈ (1.375,1.4375),由于 |1.375-1.4375|=0.0625〈 0.1 所以,原方程的近似解可取为1.4375

思考:对下列图象中的函数,能否用二 分法求函数零点的近似值?为什么?
y
不行,因为不满足 f(a)*f(b)<0

y

o x

o

x

四、归纳总结
用二分法求方程f(x)=0(或g(x)=h(x))近似解基本步骤: 1、寻找解所在区间

(1)图象法
先画出y=f(x)图象,观察图象与x轴交点横坐标 所处的范围;或画出y=g(x)和y=h(x)的图象,观察 两图象的交点横坐标所处的范围。 (2)函数性态法 把方程均转换为f(x)=0 的形式,再利用函数 y=f(x)的有关性质(如单调性),来判断解所在 的区间。

四、归纳总结
2、判断二分解所在的区间
a?b a?b (1)若f( 2 )>0,由f(a)<0,则x∈(a, 2 ) a?b a?b (2) 若f( 2 )<0,由f(b)>0,则x∈( 2 ,b) a?b a?b (3)若f( 2 )=0,则x= 2

若x∈(a,b),不妨设f(a)<0,f(b)>0

对(1)、(2)两种情形再继续二分法所在的区间。 3、根据精确度得出近似解
当x∈(m,n),且m,n根据精确度得到的近似值均为 同一个值p时,则x ≈ p,即求得了近似解。

五、课堂练习
利用计算器求方程 x 2 ? 2 x ? 2 ? 0的较小的根的近似解 (精确到0.1)
14 12 10 8 6 4 2 0 -2 0 -4 f(x)=x^2-2x-2 1 2 3 4 5 6

-4

-3

-2

? -1

区间端点函数值 符号
f(-1)>0, f(0)<0 f(-1)>0 ,f(-0.5)<0 f(-0.75)>0, f(-0.5)<0 f(-0.75)>0, f(-0.625)<0 f(-0.75)>0, f(-0.6875)<0 f(-0.71875)>0, f(-0.6875)<0

根所在区间

中点值

中点函数值 符号
f(-0.5)<0 f(-0.75)>0 f(-0.625)<0 f(-0.6875)<0 f(-0.71875)>0

(-1,0) (-1,-0.5) (-0.75, -0.5) (-0.75, -0.625) (-0.75, -0.6875) (-0.71875,-0.6875)

-0.5 -0.75 -0.625 -0.6875 -0.71875


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