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4-5积分表的使用


第五节 积分表的使用 Table of integrals use
? 一、关于积分表的说明 ? 二、例题

一、关于积分表的说明
(1)常用积分公式汇集成的表称为积分表. (2)积分表是按照被积函数的类型来排列的. (3)求积分时,可根据被积函数的类型直接 或经过简单变形后,查得所需结果. (4)积分表见《高等数学》附录

二、例题
例1 求 ?
x (3 x ? 4)
2

dx .

被积函数中含有 ax ? b

在积分表(一)中查得公式(7)

?

1 ? b ? dx ? 2 ln | ax ? b | ? ?C 2 a ? ax ? b ? ? ax ? b ? ? ? x
b ? 4 于是

现在 a ? 3 ,

?

1? 4 ? dx ? ln | 3 x ? 4 | ? ? C. 2 9? 3x ? 4? ?3 x ? 4 ? ? ? x

例2 求 ?

1 5 ? 4 cos x

dx . 被积函数中含有三角函数

在积分表(十一)中查得此类公式有两个
? a ? 5, b ? ?4 a
2

? b

2

选公式(105)
x? tan ??C a?b 2? a?b

? a ? b cos
1

dx

?

2 a?b

a?b

x

? ar cot ? a?b ?

将 a ? 5,

b ? ? 4 代入得

?

x? ? dx ? ar cot ? 3 tan ??C. 5 ? 4 cos x 3 2? ? 2

例3 求 ?
x

dx 4x ? 9
2

.

表中不能直接查出, 需先进行变量代换.

令2 x ? u

?

?

dx x 4x ? 9
2

?

?

4x ? 9 ? u ? 3 1 du du 2 ? ? 2 2 u 2 2 u u ? 3 u ? 3 2
2 2 2

被积函数中含有 u 2 ? 3 2 ,

在积分表(六)中查得公式(37)

?
?

dx x x ?a
2 2

?

1 a ?

ln 1 3

|x| a? x ?a
2 2

?C

?

du u u ? 3
2 2

ln

|u| 3? u ? 3
2 2

?C

将 u ? 2 x 代入得

?

dx x 4x ? 9
2

?

1 3

ln

2|x| 3? 4x ? 9
2

?C.

例4 求 ? sin xdx . 在积分表(十一)中查得公式(95)

4

? sin xdx ? ?
n

sin

n?1

x cos x n

?

n?1 n

? sin

n?2

xdx

利用此公式可使正弦的幂次减少两次, 重复使 用可使正弦的幂次继续减少, 直到求出结果. 这 个公式叫递推公式. 现在 n ? 4 于是

? sin xdx ? ?
4

sin

3

x cos x 4

?

3 4

? sin

2

xdx

对积分? sin

2

xdx 使用公式(93)

? sin
?

2

xdx ?

x 2

?

1 4
3

sin 2 x ? C

? sin

4

xdx ? ?

sin

x cos x 4

3? x 1 ? ? ? ? sin 2 x ? ? C . 4? 2 4 ?

说明 初等函数在其定义域内原函数一定存在, 但原函数不一定都是初等函数.

例 ?e

?x

2

dx ,

?

sin x x

dx ,

? ln

1 x

dx .

练 习 题
利用积分表计算下列不 1. 定积分 : 2.

? ? ? ?

dx 4x ? 9
2

. x 2

? ? ? ?
e

2 x ? 9 dx .
2 ?2x

3. 5.

x arcsin 1

dx .

4. 6.

sin 3 xdx . 1 dx .

x (1 ? x )
2

dx .

x

x ?1
2

7.

x

2

x ? 2 dx .
2

8.

1? x 1? x

dx .

练习题答案
1. 1 2 2. 1 2 3. ( ? x
2

ln 2 x ?
2

4x ? 9 ? C.
2

2x ? 9 ? ? 1 ) arcsin
?2x

9 4 x 2

2

ln( x 4

2x ? 4? x
2

2x ? 9 ? C.
2

?

?C. ? 1 x ? ln 1 2 ?C. 1? x x ln( x ? x ? 2) ? C .
2

2 4. e

( 2 sin 3 x ? 3 cos 3 x ). 1 x x ( x ? 1)
2

5.
2

?C.

13 6. arccos ?C. 7. x ? 2

?

4 x?1 2

8.

( 1 ? x )( 1 ? x ) ? 2 arcsin


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