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河南省信阳高级中学2015-2016学年高二12月月考数学(文)试题

信阳高中高二 12 月月考文科数学试题
命题人:明艳 审题人:彭怀军

第 I 卷(选择题) 一、选择题(本题共 12 道小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.已知 x ? R ,则“ x 2 ? 3x ? 0 ”是“ ? x ? 1?? x ? 2 ? ? 0 成立”的 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

2.公比为 2 的等比数列 ?an ? 的各项都是正数,且 a3 ? a11 ? 16 ,则 a5 ? A.1 B.2 C.4 D.8

?x ≥ 0 ? 3.若 x , y 满足约束条件 ? x ? 3 y ≥ 4 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值是 ?3 x ? y ≤ 4 ?
A. 4 B. 4
3

C. 1

D. 2

4.给出如下四个命题: ①若“ p 且 q ”为假命题,则 p 、 q 均为假命题;
a b ②命题 “若 a ? b , 则 2 ? 2 ?1” 的否命题为 “若 a ? b , 则2

a

? 2b ? 1 ” ;

③“ ?x ? R, x 2 ? 1 ? 1 ”的否定是“ ?x ? R, x 2 ? 1 ? 1 ” ; ④在△ ABC 中, “ A ? B ”是“ sin A ? sin B ”的充要条件. 其中不正确 的命题的个数是 ... A.4 B. 3

C. 2

D .1

5.数列 {an } 为等差数列, a1 , a2 , a3 为等比数列, a5 ? 1 ,则 a10 ? A. 5 B. ?1 C. 0 D. 1

6 . 已 知 点 P 是 以 F1 , F2 为 焦 点 的 双 曲 线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 上 一 点 , a 2 b2

???? ???? ? 1 PF1 ?PF2 ? 0 , tan ?PF1 F2 ? 则双曲线的离心率为 2

A.

6 2

B.2

C. 5

D.

5 2

7.在 ?ABC 中,若 A ? 60?, BC ? 4 3, AC ? 4 2 , 则角 B 的大小为 A.30° B.45° C.135° D.45°或 135°

8.△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.若 a、b、c 成等比数列且 c=2a,则 cosB= A.

3 4

B.

1 4

C.

2 4

D.

2 3

9.已知直线 y ? ? x ? 1 与椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 相交于 A、B 两点,若椭圆 a 2 b2

的离心率为 A.
2 2 3

2 ,焦距为 2,则线段 AB 的长是 2

B.

4 2 3

C. 2

D.2
a

10.若直线 ax-by+2=0(a>0,b>0)被圆 x2+y2+2x-4y+1=0 截得的弦长为 4,则 1 错误!未找到引用源。+ 1 错误!未找到引用源。的最小值为
b

A. 1 错误!未找到引用源。
4

B. 2 错误!未找到引用源。

3 3 C. ? 2 错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。 D. ? 2 2 2 2 错误!未找到引用源。 11.设抛物线 y2=8x 的准线与 x 轴交于点 Q,若过点 Q 的直线 l 与抛物线有 公共点,则直线 l 的斜率取值范围是 1 1 A. [? , ] B. [-2,2] C.[-1,1] D.[-4,4] 2 2

12.数列{an}的通项公式是 an ? A.120 B.99

1 n ? n ?1

,若前 n 项和为 10,则项数 n 为 C.110 D.121

第 II 卷(非选择题) 二、填空题(本题共 4 道小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.抛物线 y ? 1 x 2 的焦点坐标为
4

. .
2

14.已知 f ( x) ? x 2 ? 2 xf '(1) ,则 f ' (0) =
a b

2 2 1 15.已知点 P(1,0) 到双曲线 C : x 2 ? y2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线的距离为 ,

则双曲线 C 的离心率为 16.若 ?ABC 的面积为 S ?


a2 ? b2 ? c2 4 3

,则角 C =__________.

三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或求解演算步骤) 17.已知函数 f ( x) ? x 2 ? x ln x . (Ⅰ)求 f ?( x) ; (Ⅱ)求函数 f ( x) 图象上的点 P(1,1) 处的切线方程.

18 . 已 知 命 题 p : “ 存 在 x ? R,2 x 2 ? (m ? 1) x ?
C1 :

1 ,命题 q :“曲线 ?0” 2

x2 y2 ? ?1 表 示 焦 点 在 x 轴 上 的 椭 圆 ” , 命 题 m 2 2m ? 8

s: “ 曲 线

x2 y2 C2 : ? ? 1 表示双曲线” m ? t m ? t ?1

(1)若“ p 且 q ”是真命题,求 m 的取值范围; (2)若 q 是 s 的必要不充分条件,求 t 的取值范围。

19.设函数 f ( x) ? ax ? (b ? 2) x ? 3(a ? 0) ,
2

(1)若不等式 f ( x) ? 0 的解集 (?1,3) .求 a, b 的值; (2)若 f (1) ? 2, a ? 0、b ? 0 . 求

1 4 ? 的最小值. a b

20 . 已 知 数 列 {a n } 的 各 项 均 为 正 数 , S n 是 数 列 {a n } 的 前 n 项 和 , 且

4 S n ? a n ? 2a n ? 3 .
(1)求数列 {a n } 的通项公式;
n (2)已知bn ? 2 , 求Tn ? a1b1 ? a 2 b2 ? ? ?a n bn 的值.

2

21 . 已 知 ?ABC 中 , 角 A, B, C , 所 对 的 边 分 别 是 a, b, c , 且

2 ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? ? 3ab .
(1)求 sin 2 (2)若 c
A? B 的值; 2

? 2 ,求 ?ABC 面积的最大值.

22.已知椭圆

x2 y2 ? 2 ? 1 的左焦点 F 为圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 0 的圆心,且椭圆上的 2 a b

点到点 F 的距离的最小值为 2 ? 1 . (1)求椭圆的方程;
5 ? (2)已知经过点 F 的动直线 l 与椭圆交于不同的两点 A, B ,点 M ? 0 ? ,求 ?? , ? 4 ?
??? ? ???? MA ? MB 的值.

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信阳高中高二 12 月月考文科数学参考答案

一.选择题 1---5 BACCD 二.填空题 13. (0,1) 三.解答题

6---10 14.-4

CBABC 15.

11---12
2 3 3

CA 16.

?
6

1 . ( (2) 3x ? y ? 2 ? 0 ? ( x ln x)? ? 2 x ? 1? ln 17 x? x ? 1) ? 2 x ? ln x ? 1 ; x 【解析】
(Ⅰ) f ?( x) ? ( x 2 )? ? ( x ln x)? ? 2 x ? 1 ? ln x ? x ? (Ⅱ)由题意可知切点的横坐标为 1, 所以切线的斜率是 k ? f ?(1) ? 2 ? 1 ? ln1 ? 1 ? 3 , 所以切线方程为 y ? 1 ? 3( x ? 1) ,即 3x ? y ? 2 ? 0 . 18.(1) ? 4 ? m ? ?2 或 m ? 4 ;(2) ? 4 ? t ? ?3 或 t ? 4 【解析】 1 (1)若 p 为真: ? ? ( m ? 1) 2 ? 4 ? 2 ? ? 0 2 解得 m ? ?1 或 m ? 3

1 ? 2 x ? ln x ? 1 ; x


?m 2 ? 2 m ? 8 若 q 为真:则 ? ?2 m ? 8 ? 0
解得 ? 4 ? m ? ?2 或 m ? 4

?m ? ?1或m ? 3 若“ p 且 q ”是真命题,则 ? ?? 4 ? m ? ?2或m ? 4
解得 ? 4 ? m ? ?2 或 m ? 4 (2)若 s 为真,则 (m ? t )(m ? t ? 1) ? 0 ,即 t ? m ? t ? 1 由 q 是 s 的必要不充分条件, 则可得 {m | t ? m ? t ? 1} ? ? {m | ?4 ? m ? ?2 或 m ? 4}

即?

?t ? ?4 或t ? 4 ?t ? 1 ? ?2

解得 ? 4 ? t ? ?3 或 t ? 4

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19. (1) ?

?a ? ?1 (2)9 ?b?4

【解析】 (1)因为不等式 f ( x) ? 0 的解集 (?1,3) ,所以-1 和 3 是方程 f ( x) ? 0 的二实根,从而有:

?a ?b?5 ? 0 ?a ? ?1 ? f (?1) ? a ? b ? 5 ? 0 即? 解得: ? . ? ?b?4 ? f (3) ? 9a ? 3(b ? 2) ? 3 ? 0 ?3a ? b ? 1 ? 0
(2)由 f (1) ? 2, a ? 0、b ? 0 得到 a ? b ? 1 , 所以

1 4 b 4a b 4a 1 4 ? 5? 2 ? ?9, ? ? ( ? ) ? ( a ? b) ? 5 ? ? a b a b a b a b

1 ? ? b 4a ?a ? ? ? 3 时“=”成立;所以 1 ? 4 的最小值为 9. 当且仅当 ? a b 即? 2 a b ? ?a ? b ? 1 ?b ? 3 ?
20. (1) an ? 2n ? 1 . (2) Tn ? (2n ? 1)2n ?1 ? 2 。 【解析】 (1) 当 n = 1 时, a1 ? s1 ? 又 4Sn = an2 + 2an-3 当n? 2时 ①-②

1 2 1 3 a1 ? a1 ? , 解出 a1 = 3, (a1 = 0 舍) 4 2 4
① ②
2 2 ? an ?1 ? 2( a n ? a n ?1 ) ? 0 ,

2 4sn-1 = a n + 2an-1-3 ?1

2 2 an 4an ? an ? an ?1 ? 2( an ? an ?1 ) , 即

∴ (an ? an?1 )(an ? an?1 ? 2) ? 0 , , ? a n ? a n ?1 ? 0 ? a n ? a n ?1 ? 2 ( n ? 2 )

? 数列{a n } 是以 3 为首项,2 为公差的等差数列,

? a n ? 3 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1 .
(2) Tn ? 3 ? 21 ? 5 ? 22 ? ? ? (2n ? 1) ? 2n ③ ④

又 2Tn ? 3 ? 22 ? 5 ? 23 ? ? (2n ? 1) ? 2n ? (2n ? 1)2n ?1 ④-③ Tn ? ?3 ? 21 ? 2(2 2 ? 2 3 ? ? ? 2 n ) ? (2n ? 1)2 n?1

? ?6 ? 8 ? 2 ? 2 n ?1 ? (2n ? 1) ? 2 n ?1
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? (2n ? 1)2 n ?1 ? 2
7 (2) 7 8

21. (1) 【解析】

(1)? a 2 ? b 2 ? c 2 ?

3 a 2 ? b2 ? c2 3 ab ? cos C ? ? 2 2ab 4

? A ? B ? ? ? C ? sin 2
(2)? a 2 ? b 2 ? c 2 ?

A ? B 1 ? cos ? A ? B ? 1 ? cos C 7 ? ? ? 2 2 2 8

3 3 ab, c ? 2 ? a 2 ? b 2 ? 4 ? ab 2 2

3 又? a 2 ? b2 ? 2ab ? ab ? 2ab ? 4 ? ab ? 8 2

3 7 ? cos C ? ? sin C ? 4 4
? S?ABC ? 1 ab sin C ? 7 2

当且仅当 a ? b ? 2 2 时,△ABC 面积取最大值,最大值为 7

22. (1) 【解析】

x2 7 ? y 2 ? 1 (2) ? 2 16

(1)化圆的标准方程为 ? x ? 1?2 ? y 2 ? 1 , 则圆心为 ?? 1,0 ? ,半径 r ? 1 ,所以椭圆的半焦距 c ? 1 . 又椭圆上的点到点 F 的距离最小值为 2 ? 1 ,所以 a ? c ? 2 ? 1 ,即 a ? 2 . 故所求椭圆的方程为

x2 ? y2 ? 1. 2

(2)①当直线 l 与 x 轴垂直时, l 的方程为 x ? ?1 . 可求得 A? ? 1,

? ? ?

? 2? 2? ?,B? ? 1, ?. ? ? ? 2 ? 2 ? ? ?
? ? ? 5 2? ? 5 2? 7 . ? ? 1 ? , ? ? ? ? ? ? ? ? 4 2 ? 4 2 16 ? ? ?

此时, MA ? MB ? ? ?1 ? ,

???? ????

②当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为 y ? k ? x ? 1? ,由

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? y ? k ? x ? 1? ? 2 ?x 2 ? ? y ?1 ? 2
? ?1 ? 2k 2 ? x 2 ? 4k 2 x ? 2k 2 ? 2 ? 0,

设A?x1 , y1 ?, B?x2 , y2 ?,则x1 ? x2 ? ?

4k 2 2k 2 ? 2 , x x ? ,. 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

???? ???? ? 5 5 5 ?? 5? ? ? ? ? 因为MA ? MB ? ? x1 ? , y1 ? ? ? x2 ? , y2 ? ? ? x1 ? ? ? x2 ? ? ? y1 y2 4 4 4 ?? 4? ? ? ? ? ?

5? 25 ? ? 1 ? k 2 x1 x2 ? ? k 2 ? ??x1 ? x2 ? ? k 2 ? 4? 16 ?
? 1? k 2 ?

?

?

?

2k ? 2 ? ?1 ? ?k ? 2k
2 2

2

?

5 ?? 4k 2 ? 25 ? ? k2 ? ? ?? ? 2 ? ? 4 ?? 1 ? 2k ? 16

?

? 4k 2 ? 2 25 25 7 ? ? ?2 ? ?? . 2 1 ? 2k 16 16 16

???? ???? 7 综上所述: MA ? MB的值为 ? . 16

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