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山东省冠县武训高级中学2014高二数学 2-3 第1课时 距离和高度问题复习导学案 新人教A版


山东省冠县武训高级中学 2014 高二数学 2-3 第 1 课时 距离和高度问题复习导 学案 新人教 A 版
第 1 课时 距离和高度问题 知能目标解读 1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法求解不可到达的两点之间的距离.? 2.学会处理测量距离、测量高度等解三角形的实际问题.? 3.深刻理解三角形的知识在实际中的应用,增强应用数学建模意识,培养自己分析问题和解决实际问 题的能力. 重点难点点拨 重点:分析测量的实际情景,找出解决测量距离的方法. ? 难点:分析如何运用学过的解三角形知识解决实际问题中距离测量和高度问题.

学习方法指导 1.解三角形应用题的基本思路?

解三角形应用题要注意两点:? (1)读懂题意,理解问题的实际背景,明确已知和所求,准确理解应用题中的有关术语、名称.理清 量与量之间的关系.? (2)将三角形的解还原为实 际问题,注意实际问题中的单位、近似计算要求.? 2.常见应用题型? 正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型有:测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面 积问题、航海问题、物理问题等.? 3.解三角形应用题常见的几种情况? (1)测量从一个可到达的点到一个不可到达的点 之间的距离问题,一般可转化为 已知两个角和一条 边解三角形的问题,从而得到运用正弦定理去解决的方法.? (2)测量两个不可到达的点之间的距离问题,一般是把求距离转化为应用余弦定理求三角形的边长 的问题.然后把求未知的另外边长问题转化为只有一点不能到达的两点距离测量问题, 然后运用正弦定理解 决. 知能自主梳理 实际问题中的名词、术语? 1.方位角:从指北方向 时针转到目标方向的水平角.如图(1)所示.?
1

2.方向角:相对于某一正方向(东、西、南、北)的水平角.? ①北偏东α °,即由指北方向 ②北偏西α °,即是由指北方向 旋转α °到达目标方向,如图(2).? 旋转α °到达目标方向.?

3. 基 线 : 在 测 量 上 , 我 们 根 据 测 量 的 需 要 适 当 确 定 的 线 段 叫 做 基 线 . 一 般 来 说 , 基 线 越 ,测量的精确度越高. 4.测量底部不可到达的建筑物的高度问题,由于底部不可到达,这类问题不能直接用解三角形的方法 解决,但常用 和 ,计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的

距离,然后转化为解直角三角形的?问题?.? 5.仰角与俯角:目标方向线(视线)与水平线的夹角中,当目标(视线)在水平线 时,称为仰角,在水平线 时,称为俯角,如图.?

[答案] 1.顺? 2.顺时针 逆时针? 3.长? 4.正弦定理 余弦定理? 5.上方 下方? 思路方法技巧 命题方向 测量高度问题 [例 1] 如图,测量人员沿直线 MNP 的方向测量,测得塔 AB 的仰角分别是∠AMB= 30 ° , ∠ ANB=45 ° ∠ APB=60°,且 MN=PN=500m,求塔高.?
2

[分 析] 解题的关键是读懂立体图形.? [解析] 设 AB 高为 x.? ∵AB 垂直于地面,? ∴△ABM,△ABN,△ABP 均为直角三角形, ∴BM=x·cot30°= 3 x,BN=x·cot45°=x, BP=x·cot60°=

3 x.? 3

在△MNB 中,由余弦定理,得? BM2=MN2+BN2-2MN·BN·cos∠MNB,? 在△PNB 中,由余弦定理,得? BP2=NP2+BN2-2NP·BN·cos∠PNB,? 又∵∠BNM 与∠PNB 互补,MN=NP=500,? ∴3x2=250000+x2-2×500x·cos∠MNB, ①? ②?

1 2 x =250000+x2-2×500x·cos∠PNB, 3
①+②,得

10 2 x =500000+2x2, 3

∴x=250 6 .? 答:塔高 250 6 m.? [说明] 在测量高度时,要理解仰角和俯角的概念,区别在于视线在水平线的上方还是 下方,一般 步骤是 :? ①根据已知条件画出示意图;? ②分析与问题有关的三角形;? ③运用正、余弦定理,有序地解相关的三角形,逐步求解;? ④把解出答案还原到实际问题中.? 还要注意综合运用平面几何和立体几何知识以及方程的思想. 变式应用 1 如图, 在塔底 B 处测得山顶 C 的仰角为 60°, 在山顶 C 测得塔顶 A 的俯角为 45°, 已知塔高 AB=20m, 求山高 DC(精确到 0.1m).?

3

[分析] 如图,DC 在 Rt△BCD 中,∠DBC=60°,只需求出边 BC 的长,即可求出 DC,而 BC 又 在斜三角形 ABC 中,依据条件由正弦定理可求出 BC. [解析] 由已知条件,得∠DBC=60°,∠ECA=45°,则在△ABC 中,∠ABC=90°60°=30°,∠ACB=60°-45°=15°,? ∠CAB=180°-(∠ABC+∠ACB)=135°.? 在△ABC 中,

BC AB ? .? sin 135 ? sin 15?

AB ? sin 135? ∴BC= ? 1 sin 15? 4

20 ?

?

2 2

6? 2

?

? 20 3 ? 1 .?

?

?

在 Rt△CDB 中,CD=BC·sin∠CBD=20( 3 +1)× 答:山高约为 47.3m. 命题方向 测量距离问题

3 ≈47.3.? 2

[例 2] 要测量河对岸两地 A、B 之间的距离,在岸边选取相距 100 3 米的 C、D 两点,并测得∠ ACB=75°,∠BCD=45°,∠ADC=30°,∠ADB=45°(A、B、C、D 在同一平面内) ,求 A、B 两地的距离. [分析] 此题是测量计算河对岸两点间的距离,给出的角度较多,涉及几个三角形,重点应注意依 次解哪几个三角形才较为简便.

[解析] 如图所示,在△ACD 中,∠CAD=180°-(120°+30°)=30°,? ∴A C=CD=100 3 .? 在△BCD 中,∠CBD=180°-(45°+ 75°)=60°.? 由正弦定理,得 BC=

100 3 sin 75? ? 200sin 75? . sin 60?
4

在△ABC 中,由余弦定理,得? AB2 =(100 3 )2+(200sin75°) 2-2×100 3 ×200sin75°·cos75°? =1002(3+4×

1 ? cos 150 ? ? 2 ? 3 ? sin 150 ? )=1002×5,? 2

∴AB=100 5 .? 答:A、B 两地间的距离为 100 5 米. [说明] (1)求解三角形中的基本元素,应由确定三角形的条件个数,选择合适的三角形求解, 如本题选择的是△BCD 和△ABC.? (2)本题是测量都不能到达的两点间的距离,它是测量学中应用非常广泛的三角网测量方法的原理, 其中 AB 可视为基线.? (3)在测量上,我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线,如本例的 CD.在测量过程中,要根据实 际需要选取合适的基线长度,使测量具有较高的精确度.一般来说,基线越长,测量的精确度越高. 变式应用 2 如图所示,货轮在海上以 40km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转 角)为 140°的方向航行,为了确定船位,船在 B 点观测灯塔 A 的方位角为 110°,航行半小时后船到达 C 点,观测灯塔 A 的方位角是 65°.问货轮到达 C 点时与灯塔 A 的距离是多少?

[分析] 根据所给图形可以看出,在△ABC 中,已知 BC 是半小时路程,只要根据所给的方位角数 据,求出∠ABC 及 A 的大小,由正弦定理可得出 AC 的长. [解析] 在△ABC 中,BC=40× ∠ABC=140°-110°=30°,? ∠ACB=(180°-140°)+65°=105°,? ∴A=180°-(30°+105°)=45°,? 由正弦定理,得 AC=

1 =20,? 2

BC ? sin ?ABC 20 ? sin 30? ? 10 2 (km).? = sin A sin 45?
探索延拓创新

答:货轮到达 C 点时与灯塔 A 的距离是 10 2 km. 命题方向 综合应用问题 [例 3] 如下图所示,甲船以每小时 30 2 海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线
5

航行,当甲船位于 A1 处时,乙船位于甲船的北偏西 105°的方向 B1 处,此时两船相距 20 海里.当甲船航行 20 分钟到达 A2 处时,乙船航行到甲船的北偏西 120°方向的 B2 处,此时两船相距 10 2 海里,问乙船每 小时航行多少海里??

[分析] 甲、乙两船航行时间相同,要求得乙船的速度,只需求得乙船航行的距离 B1B2 即可.连结 A1B2,转化为在△A1B1B2 中已知两边及夹角求对边的问题.? [解析] 如上图,连结 A1B 2,? ∵A2B2=10 2 ,? ∴A1A2=

20 ×30 2 =10 2 . 60

∵△A1A2B2 是等边三角形,∴∠B1A1B2=105°-60°=45°.? 在△A1B2B1 中,由余弦定理得 B1B 22=A1B12+A1B22-2A1B1 ·A1B2cos45°? =202+(10 2 )2-2×20×10 2 × 则 B1B2=10 2 .? 因此乙船的速度的大小为

2 =200,? 2

10 2 ×60=30 2 .? 20

即乙船每小时航行 30 2 海里.? [说明] 仔细观察图形,充分利用图形的几何性质挖掘隐含条件,并通过添加适当的辅助线 将问题 纳入到三角形中去解决是解此类问题的关键. 变式应用 3 海中有小岛 A,已知 A 岛四周 8 海里内有暗礁.今有一货轮由西向东航行,望见 A 岛在北偏东 75°, 航行 20 2 海里后见此岛在北偏东 30°.如货轮不改变航向继续前进,问有无触礁的危险?

6

?[分析] 如图所示,要判断有无触焦危险,只要看 AD 的长与 8 的大小,若 AD>8,则无触礁危险, 否则有触礁危险. [解析] 如图所示,作 AD⊥BC 的延长线于 D,? 由已知∠NBA=75°,∠ACD=60°,BC=20 2 .? 由正弦定理,得 ∴AC=10( 6 ∴无触礁危险.? [说明] 本题中理解方位角是解题的关键.北偏东 75°是指以正北方向为始边,顺时针方向转 75°. 名师辨误做答 [例 4] 某观测站 C 在城 A 的南偏西 20°的方向,由城 A 出发的一条公路,走向是南偏东 40°, 在 C 处测得公路上 B 处有一人,距 C 为 31 千米,正沿公路向 A 城走去,走了 20 千米后到达 D 处,此时 CD 间的距离为 21 千米,问:这人还要走多少千米才能到达 A 城? [误解]本题为解斜三角形的应用问题,要求这人走多少路才可到达 A AD 的长,? 在△ACD 中,已知 CD=21 千米,? ∠CAD=60°,只需再求出一个量即可.? 如图,设∠ACD=α ,∠CDB=β ,? 在△CBD 中,由余弦定理,得 cosβ = 城,即求

AC 20 2 ,? ? sin 15? sin ?180? ? 15? ? 120??
2 ),?

∴AD=AC·sin60°=15 2 -5 6 >8.?

BD 2 ? CD 2 ? CB 2 202 ? 212 ? 312 1 ? ?? , 2 BD· CD 2 ? 20 ? 21 7

∴sinβ =

4 3 .? 7
AC 21 21 ? ? ,? sin ?180? ? ? ? sin 60? 3 2

∴在△ACD 中,

∴AC=

21? 2 4 3 ? ? 24. ? 7 3
1 ·AD,? 2

∴CD2=AC2+AD2-2AC·AD·cos60°,? 即 212=242+AD2-2×24×

整理,得 AD2-24AD+135=0,? 解得 AD=15 或 AD=9,? 答:这个人再走 15 千米或 9 千米就可到达 A 城.
7

[辨析] 本题在解△ACD 时,利用余弦定理求 AD,产生了增解,应用正弦定理来求解. [正解] 如图,令∠ACD=α ,∠CDB=β ,在△CBD 中,由余弦定理得

cosβ =

BD 2 ? CD 2 ? CB 2 202 ? 212 ? 312 1 ? ? ,? = 2 ? 20 ? 21 7 2 BD· CD

∴sinβ =

4 3 .? 7

又 sinα =sin(β -60°)=sinβ cos60°-sin60°cosβ ? =

4 3 1 3 1 5 3 × + × = ,? 7 2 2 14 7
21 AD ? ,? sin 60? sin ?

在△ACD 中,

∴AD=

21 ? sin ? =15(千米).? sin 60?
课堂巩固训练

答:这个人再走 15 千米就可以到达 A 城.

一、选择题? 1.如图所示,在河岸 AC 测量河的宽度 BC,测量下列四组数据,较适宜的是 ( )?

A.a 和 c C.c 和β [答案] D ?

B.c 和 b D.b 和α

[解析] 在△ABC 中,能够测量到的边和角分别为 b 和α .

? 2.如图所示, D、 C、 B 在地平面同一直线上, DC=10m, 从 D、 C 两地测得 A 点的仰角分别为 30°和 45°,
8

则 A 点离地面的高 AB 等于 ( A.10m C.5( 3 -1)m [答案] D ?

)? B.5 3 m ? D.5( 3 +1)m ?

[解析] 在△ABC 中,由正弦定理得? AD=

10 sin 135 ? ? 10 3 ? 1 sin 15 ?

?

?
)

在 Rt△ABC 中,AB=ADsin30°=5( 3 +1)(m). 3.(2012· 福州高二质检)如图所示, 为了测量隧道口 AB 的长度, 给定下列四组数据, 测量时应当用数据 ( ?

A.α ,a,b C.a,b,γ [答案] C ?

B.α ,β ,a ? D.α ,β ,b ?

[解析] 根据实际情况,α 、β 都是不易测量的数 据,而 a,b 可以测得,角γ 也可以测得,根据余弦定 理 AB2=a2+b2-2abcosγ 能直接求出 AB 的长,故选 C. 4.(2011·上海理,6)在相距 2 千米的 A、B 两点处测量目标点 C,若∠CAB=75°,∠CBA= 60°,则 A、C 两点之间的距离为 [答案] 千米.

6

[解析] 本题考查正弦定理等解三角形的知识,在三角形中,已知两角和一边可求第三个角以及利用正 弦定理求其它两边.? ∵∠CAB=75°,∠CBA=60°,∴∠C=180°-75°-60°=45°, 由正弦定理:

AC AB ? , sin ?CBA sin ?C



AC 2 ? , sin 60? sin 45?

∴AC= 6 . 二、填空题? 5.某地电信局信号转播塔建在一山坡上,如图所示,施工人员欲在山坡上 A、B 两点处测量与地面垂直的 塔 CD 的高,由 A、B 两地测得塔顶 C 的仰角分别为 60°和 45°,又知 AB 的长为 40 米,斜坡与水平面 成 30°角,则该转播塔的高度是 米.

9

[答案]

40 3 3

[解析] 如图所示, 由题意,得∠ABC=45°-30°=15°,

∠DAC=60°-30°=30°.? ∴∠BAC=150°,∠ACB=15°,? ∴AC=AB=40 米,∠ADC=120°,∠ACD=30°,? 在△ACD 中,由正弦定理,得? CD=

sin ?ACD sin 30 ? 40 3 ·AC= ·40= . sin ?ADC sin 120 ? 3

三、解答题? 6.如图,为了测量河的宽度,在一岸边选定两点 A、B,望对岸的标记物 C,测得∠CAB= 45°,∠CBA=75°,AB=120 米,求河的宽度.

[解析] 如图,

在△ABC 中,∵∠CAB=45°,∠CBA=75°,? ∴∠ACB=60°.? 由正弦定理,得 AC=

AB ? sin ?CBA 120 sin 75 ? ? sin ?ACB sin 60 ?
10

=20(3 2 ? 6 ).? 设 C 到 AB 的距离为 CD,? 则 CD=ACsin∠CAB=

2 AC=20(3+ 3 ).? 2
课后强化作业

答:河的宽度为 20( 3 +3)米. 一、选择题? 1.学校体育馆的人字形屋架为等腰三角形, 如图, 测得 AC 的长度为 4m,∠A=30°,则其跨度 AB 的长为 ( ? )

A.12m C.3 3 m [答案] D [解析] 在△ABC 中,已知可得 BC=AC=4,∠C=180°-30°×2=120°? 所以由余弦定理得 AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos120° =42+42-2×4×4×(∴AB=4 3 (m).

B.8m ? D.4 3 m

1 )=48 ? 2
)?

2.从塔顶处望地面 A 处的俯角为 30°,则从 A 处望塔顶的仰角是 ( A.-60° C.60° [答案] B B.30°? D.150°?

3.海上有 A、B 两个小岛相距 10 海里,从 A 岛望 C 岛和 B 岛成 60°的视角,从 B 岛望 C 岛和 A 岛成 75° 的视角,则 B、C 间的距离是 ( A.10 3 海里 C.5 2 海里 [答案] D [解析] 如图,由正弦定理得 ∴BC=5 6 . )? B.10 6 海里? D.5 6 海里

BC 10 ? ,? sin 60? sin 45?

? 4.某人向正东方向走 x km 后,他向右转 150°,然后朝新方向走 3 km,结果他离出发点恰 好 3 km,那么
11

x 的值为( A.

)? B.2 3 D.3 ?

3

C.2 3 或 3 [答案] C ?

[解析] 由题意画出三角形如下图.则∠ABC=30°,? 由余弦定理得,cos30°=

x2 ? 9 ? 3 ,∴x=2 3 或 3 .? 6x

? 5.甲船在湖中 B 岛的正南 A 处,AB=3km,甲船以 8km/h 的速度向正北方向航行,同时乙船从 B 岛出发, 以 12km/h 的速度向北偏东 60°方向驶去,则行驶 15 分钟时,两船的距离是 ( )? B.

A. 7 km C.

13 km ?

19 km

D. 10 ? 3 3 km ?

[答案] B ? [解析] 由 题 意 知 AM=8 ×

15 15 ? 2,BN ? 12 ? ? 3 , MB=AB-AM=3-2=1 , 所 以 由 余 弦 定 理 得 60 60

MN2=MB2+BN2-2MB·BNcos120°=1+9-2×1×3×(-

1 )=13,所以 MN= 13 km. 2


6.在 200 米高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为 30°、60°,则塔高为( A.

400 米 3

B.

400 3 米 3

C.200 3 米 [答案] A

D.200 米

[解析] 如图,设 AB 为山高,CD 为塔高,则 AB=200,∠ADM=30°,∠ACB=60°,

∴BC=200cot60°= ∴CD=AB-AM=

200 200 3 ,AM=DMtan30°=BCtan30°= .? 3 3

400 . 3
12

7.一货轮航行到 M 处,测得灯塔 S 在货轮的北偏东 15°,与灯塔 S 相距 20 海里,随后货轮按北偏西 30° 的方向航行 30 分钟后,又测得灯塔在货轮 的东北方向,则货轮的速度为( 时 [答案] [解析] 题意可知∠NMS=45°,∠MNS=105°,? 则∠MSN=180°-105°-45°=30°. 而 MS=20,? 在△MNS 中,由正弦定理得 ∴MN= B.20( 6 - 2 )海里/时? D.20( 6 - 3 )海里/时 C.20( 6 + 3 )海里/时 )A.20( 2 + 6 )海里/

MN MS ? , sin 30? sin 105 ?

20sin 30? 10 ? sin 105? sin ?60? ? 45??



10 sin 60? cos 30? ? cos 60? sin 30?

=

10 ? 10 6 ? 2 6? 2 4

?

?

=10( 6 - 2 ).? ∴货轮的速度为 10( 6 - 2 )÷

1 =20( 6 - 2 )(海里/时). 2


8.如图所示,在山底 A 处测得山顶 B 的仰角∠CAB=45°,沿倾斜角为 30°的山坡向山顶走 1 000 米到达 S 点,又测得山顶仰角∠DSB=75°,则山高 BC 为(

A.500 2 m C.1000 2 m [答案] D ? [解析] ∵∠SAB=45°-30°=15°,?

B.200m ? D.1000m ?

∠SBA=∠ABC-∠SBC=45°-(90°-75°)=30°,?

2 AB ? sin 135 ? 1000? 2 在△ABS 中,AB= = 1 sin 30? 2
=1 000 2 ,
13

∴BC=AB·sin45°=1 000 2 × 二、填空题?

2 =1 000(m). 2

9.一船以 24 km/h 的速度向正北方向航行,在点 A 处望见灯塔 S 在船的北偏东 30°方向上,15 min 后到点 B 处望见灯塔在船的北偏东 75°方向上,则船在点 B 时与灯塔 S 的距离是 km.(精确到 0.1 km)? [答案] 4.2 ? [解析] 作出示意图如图.由题意知,

AB=24×

15 =6,? 60
6 BS = ,? sin 45? sin 30?

∠ASB=45°,由正弦定理得,

1 2 =3 2 ≈4.2(km). 可得 BS= 2 2 6?
10.从观测点 A 看湖泊两岸的建筑物 B、C 的视角为 60°,AB=100m,AC=200m,则 B、C 相距 ? [答案] 100 3 m ? [解析] 在△ABC 中,由余弦定理得 BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cosA =1002+2002-2×100×200× 所以 BC=100 3 m. 11.甲、乙两楼相距 20 米,从乙楼底望甲楼顶的仰角为 60°,从甲楼顶望乙楼顶的俯角为 30°,则甲、乙 两楼的高分别是 [答案] 20 3 米, . .

1 =30000 ? 2

40 3 米 3
14

[解析] 如图,依题意有甲楼的高度 AB=20·tan60°=20 3 (米),又 CM=DB=20 米,

∠CAM=60°,所以 AM=CM·cot60°= 故乙楼的高度为 CD=20 3 -

20 3 米,? 3

20 3 40 3 = (米). 3 3

1 2.如图,一辆汽车在一条水平的公路上从 C 处向正东行驶,到 A 处时,测量公路南侧远处一山顶 D 在东 南 15°的方向上,行驶 15km 后到达 B 处,测得此山顶在东偏南 30°的方向上,仰角为 15°,则此山的 高度 CD 等于 km .

[答案] 5(2- 3 )? [解析] 在△ABC 中, ∠A=15°,∠C=30°-15°=15°,?由正弦定理, 得 BC= ? 又 CD=BC·tan∠DBC=5×tan15°=5×tan(45°-30°)= 5(2- 3 ). 三、解答题? 13.(2012·厦门高二检测)海面上相距 10 海里的 A、B 两船,B 船在 A 船的北偏东 45°方向上,两船同 时接到指令同时驶向 C 岛,C 岛在 B 船的南偏东 75°方向上,行驶了 80 分钟后两船同时到达 C 岛,经测 算,A 船行驶了 10 7 海里,求 B 船的速度.? [解析] 如图所示,在△ABC 中,AB=10,AC=10 7 ,∠ABC=120°由余弦定理,得

AB sin A 5 ? sin 15? ? ?5. sin C sin 15?

AC2=BA2+BC2-2BA·BC·cos120° 即 700=100+BC2+10BC,∴BC=20,? 设 B 船速度为 v,则有 v=

20 =15(海里/小时).? 4 3

即 B 船的速度为 15 海里/小时. 14.在上海世博会期间,小明在中国馆门口 A 处看到正前方上空一红灯笼,测得此时的仰角为 45°,前进 200 米到达 B 处,测得此时的仰角为 60°,小明身高 1.8 米,试计算红灯笼的高度(精确到 1m).? [解析] 由题意画出示意图(AA′表示小明的身高).?
15

∵AB=200,∠CA′B′=45°,∠CB′D′=60°,? ∴在△A′B′C 中,

A?B? B?C ? sin ?A?CB? sin 45 ?

2 200? A?B? sin 45 2 ? 200 3 ? 1 .? ∴B′C= = sin 15? 6? 2 4

?

?

在 Rt△CD′B′中, CD′=B′C·sin60°=100(3+ 3 ),? ∴CD=1.8+100(3+ 3 )≈475(米).? 答:红灯笼高约 475 米.

15.山上有一纪念塔,不能到达底部,你有哪些方法测量塔的高度 PO? [解析] 如图(1),在地面上引一条基线 AB,使其延长线通过塔底点 O,测出 A、B 分别对塔顶 P 的仰 角α 、β 及 AB 的长度就可以求出塔高 PO.?

计算方法:在△PAB 中,由正弦定理得 PA=

AB ·sinβ , sin ?? ? ? ? AB sin ? sin ? . sin ?? ? ? ?

在 Rt△PAO 中,PO=PAsinα ? ∴PO=

16.在大海上, “蓝天号”渔轮在 A 处进行海上作业, “白云号”货轮在“蓝天号”正南方向距“蓝天号”20 海里的 B 处.现在“白云号”以每小时 10 海里的速度向正北方向行驶,而“蓝天号”同时以每小时 8 海里 的速度由 A 处向南偏西 60°方向行驶,经过多少小时后, “蓝天号”和“白云号”两船相距最近. [解析] 如右图,设经过 t 小时, “蓝天号”渔轮行驶到 C 处, “白云号”货轮行驶到 D 处,此时“蓝天 号”和“白云号”两船的距离为 CD.则根据题意,知在△ABC 中,AC=8t,AD=20-10t,∠CAD=60°.由余弦 定理,知

16

CD2=AC2+AD2-2×AC×ADcos60° =(8t)2+(20-10t) 2-2×8t×(20-10t)×cos60° =244t2-560t+400=244(t-

70 2 70 2 ) +400-244×( ) ,? 61 61

∴当 t=

70 时,CD2 取得最小值,即“蓝天号”和“白云号”两船相距最近. 61

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