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十年全国高中数学联赛试题一试(解析几何含解析)



十年全国高中数学联赛试题一试
解析几何圆锥曲线部分解答题
x2 y2 ? ? 1 (a>b>0)。试问:当且仅当 a,b 满足什么条件时, a2 b2 对 C1 上任意一点 P,均存在以 P 为项点,与 C0 外切,与 C1 内接的平行四边形?并证明你的结论。

2000、已知 C0:x +y =1 和 C1:

2

2

2002.已知点 A(0,2)和抛物线 y =x+4 上两点 B,C,使得 AB⊥BC,求点 C 的纵坐标的取值 范围.

2

2006. 给定整数 n ? 2 , 设 M 0 ( x0 , y0 ) 是抛物线 y 2 ? nx ? 1 与直线 y ? x 的一个交点. 试证 明对于任意正整数 m ,必存在整数 k ? 2 ,使 ( x0 , y0 ) 为抛物线 y 2 ? kx ? 1 与直线
m m

y ? x 的一个交点.

2008. 如图,P 是抛物线 y 2 ? 2 x 上的动点, 点 B,C 在 y 轴上, 圆 ( x ?1)2 ? y 2 ? 1 内切于 ?PBC , 求 ?PBC 面积的最小值.

2000.答案:所求条件为

1 1 + =1. a2 b2

证明:必要性:易知,圆外切平行四边形一定是菱形,圆心即菱形中心. 假设论成立,则对点( a, 0 ), 有( a, 0 )为项点的菱形与 C1 内接,与 Co 外切. ( a, 0 )的相 对顶点为( - a, 0 ),由于菱形的对角线互相垂直平分,另外两个顶点必在 y 轴上,为(0, b) 和 (0, -b) .菱形一条边的方程为

x y + =1,即 bx+ay=ab.由于菱形与 CO 外切, a b

故必有

ab a 2 ? b2

=1,整理得

1 1 + =1. 必要性得证. a2 b2

1 1 + =1,P 是 C1 上任意一点,过 P、O 作 C1 的弦 PR,再过 O 作与 PR 垂直的弦 QS, a2 b2 则 PQRS 为与 C1 内接菱形.设 OP = r1, OQ =r2, 则点 O 的坐标为(r1cos ? , r1sin ? ),点 Q 的坐
充分性:设 标为(r2cos( ? +

? ? ),r2sin( ? + )),代入椭圆方程,得 2 2

?r1 cos? ?2 + ?r1 sin ? ?2 =1,
a2 b2

[r 2 cos(? ? )]2 [r 2 sin(? ? )]2 2 + 2 =1, a2 b2 cos2 (? ? ) sin 2 (? ? ) 2 ] 2 + 2 2 b a

?

?

1 cos2 ? sin 2 ? 1 1 1 ? 于是, + = =( )+[ ? 2 OP 2 OQ 2 R12 R2 a2 b2
=

?

?

1 1 + =1. a2 b2
1 1 1 = + =1,故得 h=1 2 h OP OQ 2

又在 Rt△POQ 中,设点 O 到 PQ 的距离为 h,则

同理,点 O 到 QR,RS,SP 的距离也为 1,故菱形 PQRS 与 C0 外切.充分性得证. [注]对于给出 a ? b ? a b
2 2 2 2



ab a ?b
2 2

=1 等条件者,应同样给分.

2002. 解:设 B(y0 -4,y0),C(y1 -4,y1).则
2 2

y0-2 1 y1-y0 1 kAB= 2 = .kBC= 2 2= . y 0+2 y0-4 y1-y0 y1+y0
由 kAB·kBC=-1,得(y1+y0)(y0+2)=-1. 2 ∴ y0 +(y1+2)y0+(2y1+1)=0. 2 2 ∴ △=(y1+2) -4(2y1+1)=y1 -4y1≥0, ∴ y1≤0,y1≥4. 当 y1=0 时,得 B(-3,-1),当 y1=4 时,得 B(5,-3)均满足要求,故点 C 的纵坐标的 取值范围是(-∞,0]∪[4,+∞). 2005.过抛物线 y ? x 2 上的一点 A(1,1)作抛物线的切线,分别交 x 轴于 D,交 y 轴于 B.点 C 在抛物线上,点 E 在线段 AC 上,满足

AE BF ? ?1 ;点 F 在线段 BC 上,满足 ? ? 2 ,且 EC FC

?1 ? ?2 ? 1 ,线段 CD 与 EF 交于点 P.当点 C 在抛物线上移动时,求点 P 的轨迹方程.

解 一 : 过 抛 物 线 上 点 A 的 切 线 斜 率 为 : y? ? 2 x | x?1 ? 2,? 切 线 AB 的 方 程 为

1 y ? 2 x ? 1. ? B、D 的坐标为 B (0,?1), D ( ,0),? D 是线段 AB 的中点. ………………5 分 2 AE 2 ? ?1 知, 设 P( x, y) 、 C( x0 , x0 ) 、 E ( x1 , y1 ) 、 F ( x2 , y2 ) ,则由 EC

x1 ?

2 2 1 ? ?1 x0 1 ? ?1 x0 ? x ? 1 ? ? 2 x0 BE ? ? 2 , 得 x2 ? 2 0 , y 2 ? , y1 ? ; . 1 ? ?1 1 ? ?1 FC 1 ? ?2 1 ? ?2

2 1 ? ?1 x0 1 ? ?1 x0 y? x? 1 ? ?1 1 ? ?1 ∴EF 所在直线方程为: ? , 2 2 ? 1 ? ? 2 x0 1 ? ?1 x0 ? 2 x0 1 ? ?1 x0 ? ? 1 ? ?2 1 ? ?1 1 ? ?2 1 ? ?1

2 2 化简得 [(?2 ? ?1 ) x0 ? (1 ? ?2 )]y ? [(?2 ? ?1 ) x0 ? 3]x ? 1 ? x0 ? ?2 x0 . …①…………10 分
2 2 2 x0 x ? x0 1 时,直线 CD 的方程为: y ? …② 2 2 x0 ? 1

当 x0 ?

x ?1 ? x? 0 ? 1 ? 3 2 联立①、②解得 ? ,消去 x0 ,得 P 点轨迹方程为: y ? (3 x ? 1) . ………15 2 3 ? y ? x0 ? 3 ?
分 当 x0 ?

1 3 1 1 3 1 1 时,EF 方程为: ? y ? ( ? 2 ? ?1 ? 3) x ? ? ? 2 , CD 方程为: x ? , 2 2 4 4 2 4 2

1 ? ? x ? ,? ? 2 ? 2 ? 联立解得 ? ? 也在 P 点轨迹上.因 C 与 A 不能重合,∴ x0 ? 1,? x ? . 3 ? y ? 1 .? ? 12 ? ? ?
∴所求轨迹方程为 y ? 分 解二:由解一知,AB 的方程为 y ? 2 x ? 1, B(0,?1), D( ,0), 故 D 是 AB 的中点. ……5 分 令? ?

1 2 (3 x ? 1) 2 ( x ? ). ……………………………………………… 20 3 3
1 2

CD CA CB , t1 ? ? 1 ? ?1 , t 2 ? ? 1 ? ? 2 , 则 t1 ? t 2 ? 3. 因为 CD 为 ?ABC 的中线, CP CE CF

? S ?CAB ? 2S ?CAD ? 2S ?CBD .


S S t ?t 1 CE ? CF S ?CEF 1 1 1 3 3 ? ? ? ?CEP ? ?CFP ? ( ? )? 1 2 ? ,?? ? , t1t 2 CA ? CB S ?CAB 2S ?CAD 2S ?CBD 2 t1? t 2? 2t1t 2? 2t1t 2? 2
? P 是 ?ABC 的重心. ………………………………………………………………………10 分
设 P( x, y),C( x0 , x0 ), 因点 C 异于 A,则 x0 ? 1, 故重心 P 的坐标为
2
2 2 0 ? 1 ? x0 1 ? x0 ? 1 ? 1 ? x0 x0 1 2 x? ? , ( x ? ), y ? ? , 消去 x0 , 得 y ? (3 x ? 1) 2 . 3 3 3 3 3 3

故所求轨迹方程为 y ?

1 2 (3 x ? 1) 2 ( x ? ). ………………………………………………20 分 3 3

n ? n2 ? 4 2006.【证明】 因为 y ? nx ? 1 与 y ? x 的交点为 x0 ? y0 ? . 2
2

显然有 x0 ?

1 ? n 。…(5 分) x0 1 . x0 m

m 若 ( x0 , y0 ) 为抛物线 y 2 ? kx ? 1与直线 y ? x 的一个交点,则 k ? x0 ?

m

m

…(10 分) 记 km ? x0 ?
m

1 ,则 x0 m

km?1 ? km ( x0 ?

1 ) ? km?1 ? nkm ? km?1 , x0

(m ? 2)

(13.1) 由于 k1 ? n 是整数,k2 ? x0 ?
2

1 1 ? ( x0 ? )2 ? 2 ? n2 ? 2 也是整数,所以根据数学归纳法, 2 x0 x0
m

通过 (13.1) 式可证明对于一切正整数 m , km ? x0 ?

1 是正整数. 现在对于任意正整数 m , x0 m
…………… (20 分)

取 k ? x0 ?
m

1 m m ,使得 y 2 ? kx ? 1与 y ? x 的交点为 ( x0 , y0 ) . m x0

2008. [解] 设 P( x0 , y0 ), B(0, b), C(0, c) ,不妨设 b ? c . 直线 PB 的方程: y ? b ?

y0 ? b , x x0

化简得 ( y0 ? b) x ? x0 y ? x0b ? 0 .

又圆心 (1, 0) 到 PB 的距离为 1,

y0 ? b ? x0b
2 ( y0 ? b) 2 ? x0

?1 ,

…5 分

2 2 2 故 ( y0 ? b)2 ? x0 ? ( y0 ? b)2 ? 2x0b( y0 ? b) ? x0 b ,

易知 x0 ? 2 ,上式化简得 ( x0 ? 2)b2 ? 2 y0b ? x0 ? 0 , 同理有 ( x0 ? 2)c2 ? 2 y0c ? x0 ? 0 . 所以 b ? c ? …10 分

? x0 ?2 y0 , ,则 bc ? x0 ? 2 x0 ? 2
2 2 4 x0 ? 4 y0 ? 8x0 . ( x0 ? 2)2

(b ? c)2 ?

2 因 P( x0 , y0 ) 是抛物线上的点,有 y0 ? 2 x0 ,则

(b ? c)2 ?

2 2 x0 . 4 x0 ,b?c ? x0 ? 2 ( x0 ? 2)2

…15 分

x 所以 S?PBC ? 1 (b ? c) ? x0 ? 0 ? x0 ? ( x0 ? 2) ? 4 ? 4 2 x0 ? 2 x0 ? 2

?2

4 ? 4 ?. 8

当 ( x0 ? 2)2 ? 4 时,上式取等号,此时 x0 ? 4, y0 ? ?2 2 . 因此 S?PBC 的最小值为 8. …20 分


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