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福建省泉州市2017届高三高考考前适应性模拟数学理卷(一)及答案

2017 年泉州市普通高中毕业班适应性练习(一) 理科数学
第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.
1.已知集合 A ? x | 7 ? 2 ? 33, x ? N , B ? x | log 3 ? x ? 1? ? 1 ,则 A ? ? CR B ? 等于 (
x

?

?

?

?



A.

?4,5?

B. ?3, 4,5?

C. ?x | 3 ? x ? 4? )

D. ?x | 3 ? x ? 5?

2. 设函数 f ? x ? ? sin ? x ? A. f ? x ? ? ? f ? x ? C. f ? x ??f ? x ?

? ?

??

?? ? ? ? cos ? x ? ? ,则( 4? 4? ?
B. f ? x ? ? f ? ? x ? D. f ? x ? ? ? f ? ? x ?

? ?

??
? 2?

? ?

??
? 2?

? ?

??

? ?1 2?

? ?

??
? 2?

3.我国古代算书《孙子算经》上有个有趣的问题“出门望九堤” :今有出门重九堤,堤有九木,木有 九枝,枝有九巢,巢有九禽,禽有九雏,雏有九毛,毛有九色,问各几何?现在我们用右图所示的 程序框图来解决这个问题,如果要使输出的结果为禽的数目,则在该框图中的判断框中应该填入的 条件是 ( )

A. S ? 10000?

B. S ? 10000?
0

C. n ? 5

D. n ? 6

4.在 ?ABC 中, ?ABC ? 90 , BC ? 6 ,点 P 在 BC 上,则 PC ?PA 的最小值是 (
第 1 页 共 1 页

??? ? ??? ?



A.-36

B. -9

C. 9

D.36 )

5.设 Sn 为正项等比数列 ?an ? 的前 n 项和,若 a4 ? a8 ? 2a10 ,则 S3 的最小值为 ( A.2 B.3 C. 4 D.6 )

6.函数 f ? x ? ?

e x ? e? x 的图象大致是( ln x

A.

B.

C.

D.

7. 下图中,小方格是边长为 1 的正方形,图中粗线画出的是某几何体的三视图,且该几何体的顶点 都在同一球面上,则该几何体的外接球的表面积为( )

A. 32?

B. 48?

C. 50?

D. 64?

第 2 页 共 2 页

8. 已知抛物线 C : y 2 ? 4x 的焦点为 F ,准线为 l , P 为 C 上一点, PQ 垂直 l 于点 Q, M , N 分别为

PQ , PF 的中点, MN 与 x 轴相交于点 R ,若 ?NRF ? 600 ,则 FR 等于(
A.



1 2

B. 1

C.

2

D.4
n

9. 设 a ?

?

?

0

1 ? ? ? sin x ? cos x ? dx ,且 ? x2 ? ? 的展开式中只有第 4 项的二项式系数最大,那么展开 ax ? ?
) C. 64 D.

式中的所有项的系数之和是( A. 1 B.

1 256

1 64

10. 在半径为 1 的圆 O 内任取一点 M ,过 M 且垂直 OM 与直线 l 与圆 O 交于圆 A, B 两点,则 AB 长度大于 3 的概率为( )

A.

1 4

B.

1 3

C.

3 3

D.

1 2

11. 斐波那契数列 ?an ? 满足: a1 ? 1, a2 ? 1, an ? an ?1 ? an ? 2 n ? 3, n ? N

?

*

? .若将数列的每一项按照

下图方法放进格子里,每一小格子的边长为 1,记前 n 项所占的格子的面积之和为 Sn ,每段螺旋线 与其所在的正方形所围成的扇形面积为 cn ,则下列结论错误的是( )

A. Sn?1 ? an?1 ? an?1 ? an
2

B. a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? an?2 ?1 D. 4 ? cn ? cn?1 ? ? ? an?2 ? an?1

C. a1 ? a3 ? a5 ? ? ? a2n?1 ? a2n ?1

G 为 AE E , F 分别是 BB1 , DD1 的中点, 12.在直四棱柱 ABCD ? A 底面 ABCD 为菱形, 1B 1C1D 1 中,
的中点且 FG ? 3 ,则 ?EFG 的面积的最大值为( )

第 3 页 共 3 页

A.

3 2

B.3

C. 2 3

D.

9 3 4

第Ⅱ卷 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上
13.若复数 z 满足 z ? ?1 ? i ? ? 1 ? i ,则 z ? .
2 2

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 14.若 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0 ,若 z ? ax ? y 有最小值 6,则实数 a 等于. ?4 x ? y ? 4 ? 0 ?
15.已知 F1 , F2 为椭圆 C 的两个焦点, P 为 C 上一点,若 ?PF1F2 的三边 PF 成等差数 1 , F 1F 2 , PF 2 列,则 C 的离心率为.
2 16.关于 x 的方程 ? k ? 7 ? x ? 4 ln x ?

1 ? k ? 0 有两个不等实根,则实数 k 的取值范围是. x2

三、解答题 (解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17. 已知 ?ABC 中, AC ? 2, A ? (1)求 AB ; (2)若 D 为 BC 边上一点,且 ?ACD 的面积为

2? , 3 cos C ? 3sin B . 3

3 3 ,求 ?ADC 的正弦值. 4

18.如图 1 所示, 在等腰梯形 ABCD 中,BE ? AD, BC ? 3, AD ? 15, BE ? 3 3 .把 ?ABE 沿 BE 折 起,使得 AC ? 6 2 ,得到四棱锥 A ? BCDE .如图 2 所示.
第 4 页 共 4 页

(1)求证:面 ACE ? 面 ABD ; (2)求平面 ABE 与平面 ACD 所成锐二面角的余弦值.

19. 据统计,某物流公司每天的业务中,从甲地到乙地的可配送的货物量

X ? 40 ? X ? 200, 单位:件? 的频率分布直方图,如图所示,将频率视为概率,回答以下问题.
第 5 页 共 5 页

(1)求该物流公司每天从甲地到乙地平均可配送的货物量; (2)该物流公司拟购置货车专门运营从甲地到乙地的货物,一辆货车每天只能运营一趟,每辆车每 趟最多只能装载40 件货物,满载发车,否则不发车。若发车,则每辆车每趟可获利1000 元;若未 发车, 则每辆车每天平均亏损200 元。为使该物流公司此项业务的营业利润最大,该物流公司应该购置几 辆货 车?

y 20.设圆 F 1 ,直线 l 过点 F 1于 1 : x ? y ? 4 x ? 0 的圆心为 F 2 ? 2,0 ? 且不与 x 轴、 轴垂直,且与圆 F
2 2

E. C , D 两点,过 F2 作 FC 的平行线交直线 F 1 1 D 于点
第 6 页 共 6 页

(1)证明 EF1 ? EF2 为定值,并写出点 E 的轨迹方程; (2)设点 E 的轨迹为曲线 ? ,直线 l 交 ? 于 M , N 两点,过 F2 且与 l 垂直的直线与圆 F 1 交于 P, Q 两 点,求 ?PQM 与 ?PQN 的面积之和的取值范围.

21. 已知函数 f ? x ? ? x ln x ? ax ? b 在 1, f ?1? 处的切线为 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 . (1)求 f ? x ? 的单调区间与最小值;
第 7 页 共 7 页

?

?

x (2)求证: e ? ln x ? cos x +

sin x ? 1 . x

请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.选修 4-4:坐标系与参数方程
第 8 页 共 8 页

? ?x ? ? 在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ? ?y ? ? ?

2 t 2 ( 为参数) ,圆 C 的方程为 t 2 t 2

x2 ? y 2 ? 4x ? 2 y ? 4 ? 0 .以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求 l 的普通方程与 C 的极坐标方程; (2)已知 l 与 C 交于 P, Q ,求 PQ .

23.选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ? x ? ? x ? 2 , x ? R . (1)解不等式 f ? 2x ? ? 12 ? f ? x ? 3? ; (2)已知不等式 f ? 2x ? ? f ? 2x ? 3? ? x ? a 的解集为 M ,且 M ? ? 范围.

?1 ? ,1? ? ? ,求实数 a 的取值 ?2 ?

试卷答案 一、选择题
第 9 页 共 9 页

1-5: ABBBD

6-10: DCBDA

11、12:CB

二、填空题
13. ?i 14. 5 15.

1 2

16. ? 4, 7 ?

三、解答题
17.解析: (1)因为 A ?

2? ? ,所以 B ? ? C , 3 3

由 3 cos C ? 3sin B 得, cos C ? 3 sin ?

?? ? ? C ?, ?3 ?

所以 cos C ? 3 ?

? 3 ? 3 1 3 cos C ? sin C ? cos C ? sin C , ? ? 2 ? 2 2 ? ? 2

所以

1 3 3 cos C ? sin C ,即 tan C ? . 2 2 3

又因为 C ? ? 0, ? ? , 所以 C ?

?
6

,从而得 B ?

?
3

?C ?

?
6

,所以 AB ? AC ? 2 .

CD sin (2)由已知得 ?AC ?

1 2

?
6

?

3 3 3 3 ,所以 CD ? , 4 2 7 7 , AD ? , 4 2

2 2 2 CD ?cos C ? 在 ?ACD 中,由余弦定理得, AD ? AC ? CD ? 2 AC ?

由正弦定理得,

AC ? sin C 2 2 AD AC ? ? ,故 sin ?ADC ? . sin C sin ?ADC AD 7

18.解: (1)证明:在等腰梯形 ABCD 中 BC ? 3, AD ? 15, BE ? AD ,可知 AE ? 6, DE ? 9 . 因为 BC ? 3, BE ? 3 3, BE ? AD ,可得 CE ? 6 . 又因为 AE ? 6, AC ? 6 2 ,即 AC ? CE ? AE ,则 AE ? EC .
2 2 2

又 BE ? AE, BE ? EC ? E ,可得 AE ? 面 BCDE ,故 AE ? BD . 又因为 tan ?DBE ?

DE 9 ? ? 3 ,则 ?DBE ? 600 , BE 3 3
第 10 页 共 10 页

tan ?BEC ?

BC 3 3 0 ,则 ?BEC ? 30 ,所以 CE ? BD , ? ? BE 3 3 3

又 AE ? EC ? E ,所以 BD ? 面 ACE , 又 BD ? 面 ABD ,所以面 ABD ? 面 ACE ; (2)

设 EC ? BD ? O ,过点 O 作 OF / / AE 交 AC 于点 F , 以点 O 为原点,以 OB, OC , OF 所在直线分别为 x, y , z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系

O ? BCF .
在 ?BCE 中,∵ ?BEO ? 30 , BO ? EO ,
0

∴ EO ?

?2 3 ? ? 3 ? ? 9 ? 9 3 3 3 , 0, 0 , C 0, , 0 , E 0, ? ,0? , , CO ? , BO ? ,则 B ? ? ? ? ? ? 2 ? ? 2 ? ? 2 2 2 2 ? ? ?

∵ FO / / AE , FO ?

9 ? 1 ? AE , AE ? 6 ,∴ FO ? 3 ,则 F ? 0, 0,3? , A ? 0, ? , 6 ? , 2 2 ? ?
??? ? ??? ?

∵ DE / / BC , DE ? 9 ,∴ ED ? 3BC ,∴ D ? ?

? 9 3 ? , 0, 0 ? ? 2 ?, ? ?

∴ BE ? ? ?

??? ?

? ??? ? ??? ? ? 9 3 3 ? ? 3 3 9 ? ??? , ,0? , AE ? 0, 0, 6 , CA ? 0, ? 6, 6 , CD ?? ? ? ? ? ? ? ? 2 ,? 2 ,0? ?, 2 2 ? ? ? ?

设平面 ABE 的法向量为 n1 ? ? x1 , y1 , z1 ? ,

??

?? ??? ? 6 z1 ? 0 ? ?n1 ?AE ? 0 ? ? ? 由 ? ?? ??? ,得 ? 3 3 , 9 ? x1 ? y1 ? 0 ? n1 ?BE ? 0 ? ? 2 2
第 11 页 共 11 页

取 x1 ? 3 ,可得平面 ABE 的法向量为 n1 ?

??

?

3, ?1, 0 ,

?

设平面 ACD 的一个法向量为 n2 ? ? x2 , y2 , z2 ? ,

?? ?

?? ? ??? ? ? ?6 y1 ? 6 z1 ? 0 ? n2 ?CA ? 0 ? ? ? ??? ? 由 ? ?? ,得 ? 9 3 , 3 n ? CD ? 0 ? ? x ? y ? 0 ? 2 ? 1 1 ? 2 2 ?? ? 取 x1 ? 1 ,可得平面 ABE 的一个法向量为 n2 ? 1, ?3 3, ?3 3 .

?

?

?? ?? ? n1 ?n2 4 3 2 165 设平面 ABE 与平面 ACD 所成锐二面角为 ? ,则 cos ? ? ?? ?? , ? ? ? 55 2 55 n1 n2
所以平面 ABE 与平面 ACD 所成锐二面角的余弦值为

2 165 . 55

19.解: (1)在区间 ?100,160? 的频率为 1 ? ? 从甲地到乙地每天的平均客流量为:

1 1 ? 1 ? 1 ? ? ? ? 40 ? , 2 ? 320 320 160 ?

1 ? 1 ? ? 1 ? ? 1 ? 60 ? ? ? 40 ? ? 100 ? ? ? 40 ? ? 140 ? ? 180 ? ? ? 40 ? ? 125 . 2 ? 320 ? ? 160 ? ? 320 ?
(2)从甲地到乙地的客流量 X 在 ?40,80? , ?80,120? , ?120,160? , ?160,200? 的概率分别为

1 1 1 1 , , , . 8 4 2 8
设运输公司每天的营业利润为 Y . ② 若发一趟车,则 Y 的值为 1000; ②若发 2 趟车,则 Y 的可能取值为 2000,800,其分而列为

Y
P

2000

800

7 8

1 8
7 1 ? 800 ? ? 1850 ; 8 8

故 E ?Y ? ? 2000 ?

③ 若发 3 趟车,则 Y 的可能取值为 3000,1800,600,其分布列为

Y

3000

1800

600

第 12 页 共 12 页

P

5 8

1 4

1 8

故 E ?Y ? ? 3000 ?

5 1 1 ? 1800 ? ? 600 ? ? 2400 ; 8 4 8

④ 若发 4 趟车,则 Y 的可能取值为 4000,2800,1600,400 其分布列为

Y

4000

2800

1600

400

1 1 2 4 1 1 1 1 故 E ?Y ? ? 4000 ? ? 2800 ? ? 1600 ? ? 400 ? ? 2350 ; 8 2 4 8

P

1 8

1 8

因为 2400>2350>1850>1000, 所以为使运输公司每天的营业利润最大,该公司每天应该发 3 趟车. 20.(1)

圆 F1 : ? x ? 2 ? ? y ? 4 ,圆心 F ,半径 r ? 2 ,如图所示. 1 ? ?2,0?
2 2

因为 FC / / EF2 ,所以 ?FCD ? ?EF2 D .又因为 F1D ? FC ? ?F1DC , 1 1 1 ,所以 ?FCD 1 所以 ?EF2 D ? ?F1DC , 又因为 ?F 1 DC ? ?EDF2 ,所以 ?EF 2 D ? ?EDF 2, 故 ED ? EF2 ,可得 EF1 ? EF2 ? EF1 ? ED ? 2 ? F1 F2 , 根据双曲线的定义,可知点 E 的轨迹是以 F1 , F2 为焦点的双曲线(顶点除外) ,
第 13 页 共 13 页

易得点 E 的轨迹方程为 x ?
2

y2 ? 1? y ? 0 ? . 3

(2) ? : x ?
2

y2 ? 1? y ? 0 ? . 3

依题意可设 l : x ? my ? 2 ? m ? 0? , M ? x1, y1 ? , N ? x2 , y2 ? , 由于 PQ ? l ,设 lPQ : y ? ?m ? x ? 2? . 圆心 F 到直线 PQ 的距离 d ? 1 ? ?2,0?

?m ? ?2 ? 2 ? 1 ? m2


?

4m 1 ? m2



所以 PQ ? 2 r 2 ? d 2 ?

4 1 ? 3m2 1 ? m2
1 . 3

2 又因为 d ? 2 ,解得 0 ? m ?

? 2 y2 ?1 ?x ? 2 联立直线 l 与双曲线 ? 的方程 ? ,消去 x 得 ? 3m ? 1? ? 12my ? 9 ? 0 , 3 ? x ? my ? 2 ?
则 y1 ? y2 ? ?

12m 9 , y1 y2 ? , 2 3m ? 1 3m 2 ? 1
2 2

所以 MN ? 1 ? m y2 ? y1 ? 1 ? m

? y1 ? y2 ?

2

? 4 y1 y2 ?

6 ? m2 ? 1? 1 ? 3m2



记 ?PQM , ?PQN 的面积分别为 S1 , S2 , 则 S1 ? S2 ?

1 12 m2 ? 1 1 MN ?PQ ? ? 12 , 2 4 2 1 ? 3m ?3 ? 2 m ?1
1 ,所以 S1 ? S2 ? ?12, ??? ,所以 S1 ? S2 的取值范围为 ?12, ??? . 3

2 又因为 0 ? m ?

21.解: (1) f ? ? x ? ? 1 ? ln x ? a ,故 f ? ?1? ? 1 ? a ? 1 ,得 a ? 0 ,又 2 ? 2 f ?1? ?1 ? 0 , 所以 f ?1? ? a ? b ?

1 1 1 ,得 b ? .则 f ? x ? ? x ln x ? , f ? ? x ? ? 1 ? ln x , 2 2 2

当 x ? ? 0, ? 时, f ? ? x ? ? 0, f ? x ? 单调递减;当 x ? ? , ?? ? 时, f ? ? x ? ? 0, f ? x ? 单调递增, e e
第 14 页 共 14 页

? 1? ? ?

?1 ?

? ?

所以 f ? ?

1 1 ?1? ? ? . ? e ?min 2 e

(2)令 g ? x ? ? x ? sin x, x ? 0 , g? ? x ? ? 1 ? cos x ? 0 , g ? x ? 递增, 所以 g ? x ? ? g ? 0? ? 0 ,所以当 x ? 0 时, x ? sin x , 令 h ? x ? ? ex ? x ?1, x ? 0 , h? ? x ? ? ex ?1 ? 0 , h ? x ? 递增,
x h ? x ? ? h ? 0? ? 0 ,所以当 x ? 0 时, e ? x ? 1 ,

sin x ? 1 x ,由 ?1 ? cos x ? 1, x ? sin x ,及 e ? x ? 1 得, x sin x ? 1 1 1 e x ? ln x ? x ? 1 ? ln x, cos x ? ? 1 ? 1 ? ,故原不等式成立,只需证 x ? 1 ? ln x ? 2 ? , x x x 1 3 2 2 即证 x ? x ? 1 ? x ln x ? 0 .由(1)可得 x ln x ? ? ,且 x ? x ? 1 ? , e 4 3 1 2 所以 x ? x ? 1 ? x ln x ? ? ? 0 ,则原不等式成立. 4 e
x 要证 e ? ln x ? cos x ?

2 1? ? 3? ? 22.解: (1)曲线 C 的普通方程为 ? x ? ? ? ? y ? ? ? 1, 2? ? 2 ? ? ? ?

2

把 x ? ? cos ? , y ? ? sin ? 代入,化简得:曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 2cos ? ? ?

? ?

??

?; 3? 2, ?, 12 ?

(2)将 ? ?

?
12

? ? ? 0 ? 代入曲线 C 的极坐标方程,得 ? ? 2 ,∴点 A 极坐标 ? ?
?

??

设 M ? ? ,? ? 为直线 l 上除点 A 外的任意一点,则 在 ?OAM 中,由正弦定理得

OM OA ? , sin ?OAM sin ?OMA



?
sin

3? 4

?

2 ?? ? sin ? ? ? ? ?3 ?

,即 ? sin ?

?? ? ? ? ? ? 1 为直线 l 的极坐标方程. ?3 ?

23.解: (1)由 a ? 1 ,当 x ? 1 时, 2 ? x ? 2? ? x ? 1 ,解得 x ? 3 ,此时 1 ? x ? 3 , 当 0 ? x? 1 时, ?2 ? x ?1? ? x ? 1,解得 x ?

1 1 ,此时 ? x ? 1 , 3 3

第 15 页 共 15 页

当 x ? 1 时, ?2 ? x ?1? ? ? x ? 1 ,解得 x ? 1 ,此时无解. 所以不等式的解集为 ? x |

? ?

1 ? ? x ? 3? . 3 ?

(2)因为 f ? x ? ? g ? x ? 在 ? ?1,3? 内有解,令 h ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ,

? x ? 2 ? a ? x ? 1? ? 则 h ? x ? ? ??3 x ? 2 ? a ? 0 ? x ? 1? ,又 h ? x ? ? 0 有解, ? 2 ? x ? a ? x ? 0? ?
x ? a ? 2 且 x ?1, x ?

2?a 且 0 ? a ? 1, x ? 2 ? a 且 x ? 1, 3

三者之一有解即可,解得 a ? ?1 . 欢迎访问“高中试卷网”——http://sj.fjjy.org

第 16 页 共 16 页


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