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2016_2017学年高中数学第三章推理与证明1归纳与类比1.2类比推理课后演练提升北师大版选修1_2

类比推理课后演练提升 北师大版选修 1-2 一、选择题 1.下列哪个平面图形与空间的平行六面体作为类比对象较为合适( A.三角形 C.平行四边形 B.梯形 D.矩形 ) 解析: 只有平行四边形与平行六面体较为接近,故选 C. 答案: C 2.已知{bn}为等比数列,b5=2,则 b1b2b3…b9=2 .若{an}为等差数列,a5=2,则{an} 的类似结论为( ) 9 9 A.a1a2a3…a9=2 B.a1+a2+…+a9=2 9 C.a1a2…a9=2×9 D.a1+a2+…+a9=2×9 解析: 由等差数列性质,有 a1+a9=a2+a9=…=2a5.易知 D 成立. 答案: D 3.类比平面内正三角形的“三边相等,三内角相等”的性质,可推知正四面体的下列 哪些性质,你认为比较恰当的是( ) ①各棱长都相等, 同一顶点上的任两条棱的夹角都相等; ②各个面都是全等的正三角形, 相邻两个面所成的二面角都相等; ③各个面都是全等的正三角形, 同一顶点上的任两条棱的 夹角都相等. A.① C.①②③ B.①② D.③ 解析: 因为正三角形的边和角可以与正四面体的面(或棱)和相邻的两面所成的二面角 (或共顶点的两棱的夹角)类比,所以①②③都恰当. 答案: C 4.给出下列三个类比结论. ①(ab) =a b 与(a+b) 类比,则有(a+b) =a +b ; ②loga(xy)=logax+logay 与 sin(α +β )类比,则有 sin(α +β )=sin α sin β ; ③(a+b) =a +2ab+b 与(a+b) 类比,则有(a+b) =a +2a·b+b . 其中结论正确的个数是( A.0 C.2 解析: ③正确. 答案: B 二、填空题 ) B.1 D.3 2 2 2 2 2 2 2 n n n n n n n 1 5.在平面上,若两个正三角形的边长的比为 1 ∶2,则它们的面积比为 1∶4,类似地, 在空间中,若两个正四面体的棱长的比为 1∶2,则它们的体积比为________. 解析: ∵两个正三角形是相似的三角形,∴它们的面积之比是相似比的平方.同理, 两个正四面体是两个相似几何体,体积之比为相似比的立方,所以它们的体积比为 1∶8. 答案: 1∶8 6.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12 成等差数列.类比 以上结论有:设等比数列{bn}的前 n 项积为 Tn,则 T4,________,________, 成等比数列. 解析: T4=a1·q , =a1·q , 所以 T4, , 出结果. 答案: 4 6 T16 T12 T8 T4 4 22 T12 4 38 T16 4 54 =a1·q , =a1·q . T8 T12 T8 T12 T16 16 , 成公比为 q 的等比数列,直接用类比法将“差”变“比”即可得 T4 T8 T12 T8 T12 T4 T8 三、解答题 7.如下图(1),在三角形 ABC 中,AB⊥AC,若 AD⊥BC,则 AB =BD·BC;若类比该命题, 如下图(2),三棱锥 A-BCD 中,AD⊥面 ABC,若 A 点在三角形 BCD 所在平面内的射影为 M, 则有什么结论?命题是否是真命题. 2 解析: 命题是:三棱锥 A-BCD 中,AD⊥面 ABC,若 A 点在三角形 BCD 所在平面内的 射影为 M,则有 S△ABC=S△BCM·S△BCD 是一个真命题. 证明如下: 如右图,连结 DM 并延长交 BC 于 E,连结 AE,则有 DE⊥BC. 因为 AD⊥面 ABC, 所以 AD⊥AE. 又 AM⊥DE,所以 AE =EM·ED. 2 2 ?1 ?2 2 于是 S△ABC=? BC·AE? ?2 ? ?1 ? ?1 ? =? BC·EM?·? BC·ED? ?2 ? ?2 ? =S△BCM·S△BCD. 8.就任一等差数列{an},计算 a7+a10 和 a8+a9,a10+a40 和 a20+a30,你发现了什么一般 2 规律?能把你发现的规律作一般化的推广吗?从等差数列和函数之间的联系角度分析这个 问题.在等比数列中会有怎样的类似的结论? 解析: 设等差数列{an}的公差为 d,则 an=a1+(n-1)d, 从而 a7=a1+6d,a10=a1+9d,a8=a1+7d,a9=a1+8d. 所以 a7+a10=2a1+15d,a8+a9=2a1+15d, 可得 a7+a10=a8+a9. 同理 a10+a40=a20+a30. 由此猜想,任一等差数列{an},若 m,n,p,q∈N+且 m+n=p+q,则有 am+an=ap+aq 成立. 类比等差数列, 可得等比数列{an}的性质: 若 m, n, p, q∈N+且 m+n=p+q, 则有 am·an =ap·aq 成立. 1 9.设 f(x)= x ,类比课本中推导等差数列前 n 项和公式的方法,求 f(-5)+f(- 2+ 2 4)+…+f(0)+…+f(5)+f(6)的值. 1 解析: ∵f(x)= x , 2+ 2 1 1 ∴f(x)+f(1-x)= x + 1-x 2+ 2 2 + 2 = + x= 2 + 2 2+ 2·2 2 x 1 2 x 2+2 x x 2+ 2 = 1 2 = 2 . 2 令 S=f(-5)+f(-4)+…+f(5)+f(6) 则 S=f(6)+f(5)+…+f(-4)+f(-5) ∴2S=[f(-5)+f(6)]+[f(-4)+f(5)]+…+[f(5)+ f(-4)]+[f(6)+f(-5)]=12× ∴S=3 2. 2 =6 2. 2 3

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