2016_2017学年高中数学第三章推理与证明1归纳与类比1.2类比推理课后演练提升北师大版选修1_2

类比推理课后演练提升 北师大版选修 1-2 一、选择题 1．下列哪个平面图形与空间的平行六面体作为类比对象较为合适( A．三角形 C．平行四边形 B．梯形 D．矩形 ) 解析： 只有平行四边形与平行六面体较为接近，故选 C. 答案： C 2．已知{bn}为等比数列，b5＝2，则 b1b2b3…b9＝2 .若{an}为等差数列，a5＝2，则{an} 的类似结论为( ) 9 9 A．a1a2a3…a9＝2 B．a1＋a2＋…＋a9＝2 9 C．a1a2…a9＝2×9 D．a1＋a2＋…＋a9＝2×9 解析： 由等差数列性质，有 a1＋a9＝a2＋a9＝…＝2a5.易知 D 成立． 答案： D 3．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列 哪些性质，你认为比较恰当的是( ) ①各棱长都相等， 同一顶点上的任两条棱的夹角都相等； ②各个面都是全等的正三角形， 相邻两个面所成的二面角都相等； ③各个面都是全等的正三角形， 同一顶点上的任两条棱的 夹角都相等． A．① C．①②③ B．①② D．③ 解析： 因为正三角形的边和角可以与正四面体的面(或棱)和相邻的两面所成的二面角 (或共顶点的两棱的夹角)类比，所以①②③都恰当． 答案： C 4．给出下列三个类比结论． ①(ab) ＝a b 与(a＋b) 类比，则有(a＋b) ＝a ＋b ； ②loga(xy)＝logax＋logay 与 sin(α ＋β )类比，则有 sin(α ＋β )＝sin α sin β ； ③(a＋b) ＝a ＋2ab＋b 与(a＋b) 类比，则有(a＋b) ＝a ＋2a·b＋b . 其中结论正确的个数是( A．0 C．2 解析： ③正确． 答案： B 二、填空题 ) B．1 D．3 2 2 2 2 2 2 2 n n n n n n n 1 5．在平面上，若两个正三角形的边长的比为 1 ∶2，则它们的面积比为 1∶4，类似地， 在空间中，若两个正四面体的棱长的比为 1∶2，则它们的体积比为________． 解析： ∵两个正三角形是相似的三角形，∴它们的面积之比是相似比的平方．同理， 两个正四面体是两个相似几何体，体积之比为相似比的立方，所以它们的体积比为 1∶8. 答案： 1∶8 6．设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，则 S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12 成等差数列．类比 以上结论有：设等比数列{bn}的前 n 项积为 Tn，则 T4，________，________， 成等比数列． 解析： T4＝a1·q ， ＝a1·q ， 所以 T4， ， 出结果． 答案： 4 6 T16 T12 T8 T4 4 22 T12 4 38 T16 4 54 ＝a1·q ， ＝a1·q . T8 T12 T8 T12 T16 16 ， 成公比为 q 的等比数列，直接用类比法将“差”变“比”即可得 T4 T8 T12 T8 T12 T4 T8 三、解答题 7．如下图(1)，在三角形 ABC 中，AB⊥AC，若 AD⊥BC，则 AB ＝BD·BC；若类比该命题， 如下图(2)，三棱锥 A－BCD 中，AD⊥面 ABC，若 A 点在三角形 BCD 所在平面内的射影为 M， 则有什么结论？命题是否是真命题． 2 解析： 命题是：三棱锥 A－BCD 中，AD⊥面 ABC，若 A 点在三角形 BCD 所在平面内的 射影为 M，则有 S△ABC＝S△BCM·S△BCD 是一个真命题． 证明如下： 如右图，连结 DM 并延长交 BC 于 E，连结 AE，则有 DE⊥BC. 因为 AD⊥面 ABC， 所以 AD⊥AE. 又 AM⊥DE，所以 AE ＝EM·ED. 2 2 ?1 ?2 2 于是 S△ABC＝? BC·AE? ?2 ? ?1 ? ?1 ? ＝? BC·EM?·? BC·ED? ?2 ? ?2 ? ＝S△BCM·S△BCD. 8．就任一等差数列{an}，计算 a7＋a10 和 a8＋a9，a10＋a40 和 a20＋a30，你发现了什么一般 2 规律？能把你发现的规律作一般化的推广吗？从等差数列和函数之间的联系角度分析这个 问题．在等比数列中会有怎样的类似的结论？ 解析： 设等差数列{an}的公差为 d，则 an＝a1＋(n－1)d， 从而 a7＝a1＋6d，a10＝a1＋9d，a8＝a1＋7d，a9＝a1＋8d. 所以 a7＋a10＝2a1＋15d，a8＋a9＝2a1＋15d， 可得 a7＋a10＝a8＋a9. 同理 a10＋a40＝a20＋a30. 由此猜想，任一等差数列{an}，若 m，n，p，q∈N＋且 m＋n＝p＋q，则有 am＋an＝ap＋aq 成立． 类比等差数列， 可得等比数列{an}的性质： 若 m， n， p， q∈N＋且 m＋n＝p＋q， 则有 am·an ＝ap·aq 成立． 1 9．设 f(x)＝ x ，类比课本中推导等差数列前 n 项和公式的方法，求 f(－5)＋f(－ 2＋ 2 4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)的值． 1 解析： ∵f(x)＝ x ， 2＋ 2 1 1 ∴f(x)＋f(1－x)＝ x ＋ 1－x 2＋ 2 2 ＋ 2 ＝ ＋ x＝ 2 ＋ 2 2＋ 2·2 2 x 1 2 x 2＋2 x x 2＋ 2 ＝ 1 2 ＝ 2 . 2 令 S＝f(－5)＋f(－4)＋…＋f(5)＋f(6) 则 S＝f(6)＋f(5)＋…＋f(－4)＋f(－5) ∴2S＝[f(－5)＋f(6)]＋[f(－4)＋f(5)]＋…＋[f(5)＋ f(－4)]＋[f(6)＋f(－5)]＝12× ∴S＝3 2. 2 ＝6 2. 2 3