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专题04 立体几何(文科)-2018年高考数学考前回归课本之典型考点练习指导(解析版)

专题四 立体几何(文科) 【高考考点再现】 立体几何是高中数学的主干知识. 课程标准下的高中数学教材螺旋式地安排了两部分内容: 《数学 2》 (必修) ; 《数学》 (选修 2-1)——“空间几何体” 、 “点、直线、平面之间的位置关系” 、作为高考必考内容,立体 几何主要考查学生的空间想象能力、 推理论证能力、 运算求解能力等.考查立体几何的题型题序相对稳定. 试 卷常常设置两道小题 (大部分以选择题形式呈现, 有时也以填空题的形式呈现) , 一道解答题, 合计 22 分. 小 题一道相对容易、一道中等或中偏上难度(有时在压轴题的位置) ;解答题一般在 18 或 19 题的位置,属中 档题,难度不是太大. 【典型考点分析】 【名师点评】高考中的立体几何基本题型可能归纳为: (一)求解空间几何体的表面积和体积,主要有三个方面:一是求柱体、锥体的表面积和体积;二是求简 单组合体的表面积和体积;三是以球为背景求空间几何体的表面积和体积.特别地,已知空间几何体的三 视图求其表面积、体积已成为近几年高考考查的热点之一. (二) 空间点、线、面位置关系问题. 高考对该部分的考查重点是空间的平行关系和垂直关系的证明,一 般以解答题的第(1)小题的形式出现 ,也可能以选择题或者填空题的方式考 查空间位置关系的基本定理 在判断线面位置关系中的应用. (三)利用空间向量解决立体几何中的位置关系与空间角、距离问题 . 此类考法是高考理科对立体几何的 常规考法,多以解答题为主,主要考查空间坐标系的建立及空间向量坐标的运算能力及应用能力,运算能 力要求较高. (四)平面图形的翻折问题. 此类问题通常是把平面图形折叠成空间几何体,并以此为载体考查线线、线 面、面面的位置关系及有关计算. (五)立体几何中的探索性问题. 此类问题主要是对平行、垂直关系的探究,对条件和结论不完备的开放 性问题的探究. 例 1.(2017 年新课标Ⅰ卷理 9) 某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为 2, 俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为( ). (A)10 (C)14 (B)12 (D)16 【解析】解法 1、该几何体的直观图由一个棱柱和与它等底面的棱锥组合而成的简单组合体,如图,该几何 ? 体表面只有两个相同梯形的面,所以含梯形的面积之和为 2 ? ? 1 (2+4) ? 2? =12 ,故选 B. ? 2 ? ? 解法 2、依题意,把所求的多面体补成三棱柱,所求的多面体 ABCEFC ? 为三棱柱切去一部分,如图所示, 该几何体的各个平面中只有两个相同的梯形的面,所以这两个直角梯形面积之和为 2 ? 故选 B. 1 ? (2 ? 4) ? 2 ? 12 . 2 【名师点评】本题以三棱柱、三棱锥为载体,考查三视图还原为几何体后的指定表面积的计算,考查学生 空间想象能力、推理论证能力.解法 1 的求解的关键是利用“长对正,宽相等,高平齐”来确定空间几何体的 形状及其结构特征,并且熟练掌握对棱柱、棱锥这两种基本几何体模型.解法 2 的求解的关键是活用“割补 法”,运用割补法处理一些比较复杂的几何体的体积计算问题,实际上是“转化”与“化归”的数学思想方法的 灵活运用. 例 2.(2016 高考新课标 1 卷理 11) 平面 ? 过正方体 ABCD-A1B1C1D1 的顶点 A, ? //平面 CB1D1, ? I 平面 ABCD=m, ? I 平面 AB B1A1=n,则 m、n 所成角的正弦值为 (A) 3 2 (B) 2 2 (C) 3 3 (D) 1 3 解法 2、如图,过点 A 补做一个与正方体 ABCD-A1B1C1D1 相同棱长的正方体,易知 m,n 所成角为 ?EAF1 , 因为 ?EAF1 为正三角形,所以 sin ?EAF1 ? sin 60 ? 3 ,故选 A. 2 【评析】本题是平面的截面问题, 考查面面平行的性质定理在判断异面直线所成的角中的应用.求解本题的 关键是作出异面直线所成角, 求异面直线所成角的步骤是:平移定角、连线成形, 解形求角、得钝求补. 本 题用到了补形求解问题的方法. 另外,在小题中考查空间位置关系的基本定理在判断线面位置关系中的应 用,体现了创新性. 例 3.(2017 年新课标 1 卷理 16) 如图,圆形纸片的圆心为 O,半径为 5 cm,该纸片上的等边三角形 ABC 的中心为 O.D,E,F 为圆 O 上的 点,△DBC,△ECA,△FAB 分别是以 BC,CA,AB 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以 BC,CA, AB 为折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得 D,E,F 重合,得到三棱锥 .当△ABC 的边长变化时,所得三棱 锥体积(单位:cm3)的最大值为 . 【解析】解法 1、连接 OD 交 BC 于点 H (如图所示) ,因为 OD ? BC , OH ? 长度成正比.设 OH ? x ,则 BC ? 2 3x, DH ? 5 ? x , 3 BC ,即 OH 的长度与 BC 的 6 三棱锥的高 h ? DH 2 ? OH 2 ? 25 ? 10x ? x2 ? x2 ? 25 ? 10x , 所以 S?ABC ? 2 3x ? 3x ? 1 ? 3 3x2 , 2 1 则 V ? S?ABC ? h ? 3x2 ? 25 ? 10x ? 15 ? 5x4 ? 2x5 (0 ? x ? 2.5) 3 令 f ( x) ? 5x4 ? 2 x5 , x ? (0,2.5), f ?( x) ? 20 x3 ? 10 x4 , 由 ? f ?( x) ? 0 ,即 0 ? x ? 2 ,所以函数 f ( x) 在 (0, 2) 单调递增, ? ?0 ? x ? 2.5 ? f ?( x) ? 0 由? ,即 2 ? x ? 2.5 ,所以函数 f

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