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高一综合复习 指数函数


高一复习

基本初等函数复习 (一)指数函数 1.指数的概念及运算性质 (1)根式的概念: * 如果一个数的 n 次方等于 a(n>1,且 n∈N ),那么这个数叫做 a 的 n 次方根。 式子 n a 叫做根式,n 叫做根指数,a 叫做被开方数。 ①n 0 = 0; ③当 n 为奇数时: n a n = (2)幂的概念及运算性质 a) 零指数幂: b) 负整数指数幂: c) 分数指数幂:(m,n∈N+、m、n 互质) ②

( a)
n

n

=

当 n 为偶数时: n a n =

?正分数指数幂 → ? ? ?负分数指数幂 → ?
d) 幂的运算法则:(a>0,b>0,m、n∈Q[可扩展到 m、n∈R]) ① a m ? a n = a m+ n , a m ÷ a n = a m? n ; ② (a m ) n = a mn ,
a n an ③ (ab) = a ? a , ( ) = n b b
m m n

2.指数函数的定义:形如 y=ax(a>0 且 a≠1)的函数 叫做指数函数 .指数函数的定义 形如 叫做指数函数. ≠ )的函数,叫做指数函数 x 3.指数函数 y=a (a>0 且 a≠1)的图象与性质 . ≠ ) a 的范围 图象 性质

0<a<1

a>1

典型考点

指数函数、对数函数和幂函数- 1

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指数函数与对数函数的定义域、 考点 1 指数函数与对数函数的定义域、值域 1.函数 y = log 1 ( x ? 1) 的定义域是 .(04 广西) 例 1.
2

例 2.若函数 f ( x) = log a x(0 < a < 1) 在区间 [a, 2a ] 上的最大值是最小值的 3 倍,则 a=( A.
2 4



B.

2 2

C.

1 4

D.

1 (04 天津) 2

考点 2 指数函数与对数函数的图像 例 在同一坐标系中,四个函数 y = ax , y = bx ,y = cx ,y = dx 的图象如右图所示,则 a、b、 c、d 的大小关系为_____. A. a> b > 1 > c > d C.a > b > 1 > d > c B. b > a > 1 > c > d D.b > a > 1 > d > c

例 3.函数 y = ?e x 的图象(

) (04 四川) B.与 y = e x 的图象关于坐标原点对称 D.与 y = e ? x 的图象关于坐标原点对称

A.与 y = e x 的图象关于 y 轴对称 C.与 y = e ? x 的图象关于 y 轴对称

1 1 例 4.为了得到函数 y = 3 × ( ) x 的图象,可以把函数 y = ( ) x 的图象( ) 3 3 A.向左平移 3 个单位长度 B.向右平移 3 个单位长度 C.向左平移 1 个单位长度 D.向右平移 1 个单位长度(04 甘肃)
—1 —1 例 5.已知函数 y=log2x 的反函数是 y=f (x),则函数 y= f (1-x)的图象是(



考点 3

由指数函数与对数函数的图像确定参数的值或范围 由指数函数与对数函数的图像确定参数的值或范围 ) (04 江苏)

6.若函数 y = log a ( x + b)(a > 0, a ≠ 1) 的图象过两点(-1,0)和(0,1),则( 例 6. A.a=2,b=2 B.a= 2 ,b=2 C.a=2,b=1

D.a= 2 ,b= 2

指数函数、对数函数和幂函数- 2

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例 7.若直线 y=2a 与函数 y=|a x -1|(a>0,且 a≠1)的图象有两个公共点,则 a 的取值范围是 (04 湖南)

考点 4

指数函数与对数函数的互为反函数关系 ) (04 广西)
?1
. (04 广东)

8.记函数 y=1+3 ? x 的反函数为 y = g ( x) ,则 g(10)=( 例 8. A. 2 B. ?2 C. 3 D.

例 9.函数 f ( x) = ln( x + 1 ? 1)( x > 0) 的反函数 f ?1( x ) =

考点 5 指数函数与对数函数的单调性 12. 例 12.对于 0 < a < 1 ,给出下列四个不等式 1 1 ① log a (1 + a ) < log a (1 + ) ② log a (1 + a ) > log a (1 + ) a a ③ a 1+ a < a a ④ a 1+ a > a a 其中成立的是( ) A.①与③ B.①与④ C.②与③ D.②与④(04 辽宁) 练习 1.比较下列各组数的大小 . (1) 1.11.3 ,1.11.31 (2) 0.6 ?0.2 ,0.6 ?0.3
1+ 1 1+ 1

? 1 ?3 ? 1 ?3 ? 1 ?3 (3) ? ? 、 ? ? 、 ? ? ; ?4? ?5? ?4?
(4)0.42、20.4、log 2 0 ? 4 ; (5) 0.2 0.3 ,0.3 0.2
1 ?1? ?1? 2.函数 y = (a ? 1) 与 y = ? ? 具有不同的单调性,则 A = (a ? 1) 3 与 B = ? ? 的大小关系是 . ?a? ?a?
x

2

2

1

x

3



) A. A<B B.

A=B

C. A>B

D.不能确定

指数函数、对数函数和幂函数- 3

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?1? 3. . (1)函数 y = 1 ? ? ? ?3?
?1 ? A. ? ,+∞ ? ?2 ?
2

2 x ?1

的定义域是
1? ? ? ? ∞, ? 2? ?





B.

C.

(? ∞,+∞ )


D. (? ∞,1]

(2)若函数 y = 2 x 是减函数,则 x 的取值范围是 (
A. (? ∞,0) B. [0,+∞ ) C .R

D. (? ∞,0] U [1,+∞ )

(3)当 x ∈ [? 2,2) 时, y = 3 ? x ? 1 的值域是
? 8 ? A. ?? ,8 ? ? 9 ? ? 8 ? B. ? ? ,8? ? 9 ?
? x 2 +5 x




?1 ? D. ? ,9 ? ?9 ?

?1 ? C. ? ,9? ?9 ?

?1? (4)求函数 y = ? ? ?3? ?1? (5)求函数 y = ? ? ?2?

的值域。
? x 2 + 3 x ?9

的单调递减区间。

(6)若 f(x)在 (0,+∞ ) 上是减函数,而 f a x 在 (? ∞,+∞ ) 上是增函数,则实数 a 的取值范围是 (
A ) A. (0,1) B. (0,1) U (1,+∞ )
x?
1 2

( )

C. (0,+∞ )

D. (1,+∞ )

4.设 0 ≤ x ≤ 1 ,求函数 y = 4 .

? 3 ? 2 x + 5 的最小值为(



(二)对数函数 1.对数的概念及其性质 . (1)对数的概念: (2)对数的性质: ① ② ③ 推广: ④换底公式: 例 1.求下列各式的值。 . (1)log535+2log 1
2

2 -log5

1 -log514。 =2) ( 50

指数函数、对数函数和幂函数- 4

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例 2.求值: . (1) log 2 3 + log 4 9 + log 8 27 + L + log 2n 3n ) log 9 n 32 ; (

。 (1)设10 a =4,b=lg5,求10 例3 . (2) 2 a = 5 b = 10 ,则 (3)设 2x=log 2 3 ,求
2 a? b

的值; 。

1 1 + = a b 2 3 X ? 2 ?3 X 的值。 2 X + 2?X

2.对 数 函 数 (1)对数函数定义:形如 y=logax(a>0 且 a≠1)的函数,叫做对数函数. (2)对数函数的图象与性质
a 的范围

图象

性质

0<a<1

a>1

例 在同一坐标系中,三个函数 y =logax, y = logbx , y = logcx 的图象如右图所示,则 a、b、c 的大小关系为______. A.a > c > b B.a > b > c C.b > a > c D.c > a > b

指数函数、对数函数和幂函数- 5

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基本应用
1 1 1 1.若 a = ( ) 3 , b = ( ) 3 , c = ( ) 3 ,那么的大小关系是( 2 5 2
2 2 1

) D.b<a<c ) D.b<c<a ) D.a≠1 )

A.a<b<c

B.c<a<b

C.b<c<a

2.若 a = 0.3 2 , b = log 2 0.3 , c = 2 0.3 ,那么的大小关系是( A.a<c<b B.a<b<c C.b<a<c

3.函数 y= a x ? 1 的定义域是(-∞,0)则 a 的取值范围是( A.a>0 B. b>1 C.0<a<1 4.当时,在同一坐标系内,函数 y= a ? x 与 y = log a x 的图象是(
y y y y

O

x

O

x

O

x

O

x

5.知 y=㏒ a (2-ax)在(0,1)上是 x 的减函数,则 a 的取值范围是( A.(0,1) B.(1,2) C.(0,2)
1 x ) 的图象( 4



D.[2,∞] )
1 个单位 2

6.函数 y=21-2x 的图象,只需将指数函数 y=( A.向左平移一个单位

B. 向右平移一个单位 C. 向左平移

D.向右平移

1 个单位 2

7.(1)若 log a 7.

2 < 1 ,则 a 的取值范围是 3 (2)函数 y = log 1 (? x 2 + 2 x) 的单调递增区间是
2

。 。

(3)已知 a>0 且 a≠1,函数 f(x)=logax 在定义域[2,3]上的最大值比最小值大 1 ,则的 2 3 值 .(a= , ) 3 2 8.设 f(x)= log a (a x ? 1) (a>0,a ≠ 1)
(1)求 f(x)的定义域;(2)讨论函数 f(x)的单调性; (3)解方程 f(2x)= f
?1

( x) 。

指数函数、对数函数和幂函数- 6

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9.已知函数 f ( x) = log a (a ? a x ) ,其中 a 为正常数,且 a>1。 . ① 求 f(x)的定义域; ② 求 f(x)的反函数 f
?1

( x) ;

③ 判断 y=f(x)的图象是否关于直线 y=x 对称。 ④ 判断 f(x)在定义域内单调性,并用定义加以证明。

10.已知 f(x)满足条件 f(ax-1)= lg .

x+2 ,其中 a 为实常数,且 a ≠ 0。 x?3

① 求 f(x)的表达式; ② 求函数 f(x)的定义域; ③ 判断 f(x)的奇偶性与实数 a 之间的联系。

指数函数、对数函数和幂函数- 7

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11. 已知 f(x)=log2(1+3x+9x?a),当 x∈ (? ∞,1] 时,f(x)恒有意义,求 a 的取值范围.

(三)幂函数 1.定义:形如 y=xn(n∈R)的函数,叫做幂函数。 .定义: ∈ )的函数,叫做幂函数。 n 2.幂函数 y=x (n ∈ R)的图象与性质 . 的图象与性质 n 性质 图象 奇函数
y=x-1 y y o x o

非奇非偶函数
y= x
? 1 2

偶函数
y=x-2 y

(1) 图象经过点(1,1) 。 (2) 图象在第一象限内 y 随 x 的增大而减小。 即在(0,+ ∞ )上是减函 n<0 数。

x

o

x

(1)图象经过点 (0,0)(1,1) 、 。 (2)图象在第一 象限内 y 随 x 的增 0<n<1 大而增大。 即在(0,+ ∞ )上 是减函数。 n>0

1

y= x 3 y

y= x y

1 2

y= x y

2 3

o

x

o

x

o

x

y=x y

n=1
o x

3

y= x y

3

y= x 2 y y

y= x

2

n>1
o x o x o x

指数函数、对数函数和幂函数- 8

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例(1992 年全国高考题第 6 题)图中曲线是幂函数 y = xn 在第一象限的图象,已知 n 取 ± 2 ,± 1/2 四个值,则相应于曲线 C1、C2、C3、C4 的 n 依次 为__ __. (A)–2,–1/2 ,1/2,2 (B)2,1/2,–1/2 ,–2

(C)–1/2 ,1/2,–2 , 2 , (D)2,1/2 ,– 2 ,–1/2

基本概念应用 例 1.已知幂函数 f(x)的图象经过点(2, . 值为
( ) B
C 1 2 D 2

2 ) ,则 f(4)的 2

1 16 (幂函数性质的应用) 例 2. . (1)若 a>0,则( )

A.16

?1? a 2 A. > ? ? > (0.2 ) ?2?
a

a

?1? B. 0.2 ) > ? ? > 2 a ( ?2?
a

a

?1? a C. ? ? > (0.2 ) > 2 a ?2?

a

?1? D. > (0.2 ) > ? ? 2 ?2?
a a

a

(2)三个数 a = 1.7 , b = 0.7 , c = 0.7 的大小顺序为(
A.b<a<c
c

3 5

3 5

4 5


D.b<c<a

B.c<a<b
c

C.c<b<a (其中 a>b>0,c>0)

?1? ?1? (3)比较 ? ? 与 ? ? ?a? ?b?

的大小

例 3.确定实数 a 的取值范围: (a ? 1) .

?

3 5

< (1 + 2a )

?

3 5

指数函数、对数函数和幂函数- 9

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1 ? 1 1? 例 4.已知函数 f ( x) = ? ,g(x)与 f(x)关于 M ? ? , ? 对称,①求 g(x)的解析式, . x ? 2 2?

并求出 g(x)的单调区间;②若 a>b>0,c=

1 3 ,求证:g(a)+g(c)> 。 (a ? b )b 4

(四)函数与方程 1.设 f(x)是定义在(-∞,+∞)上的函数,对一切 x∈R 均有 f(x)+f(x+3)=0,且当-1<x≤ 1 时,f(x)=2x-3,求当 2<x≤4 时,f(x)的解析式。

2.已知函数 f(x)=ax2+(b-8)x-a-ab,当 x∈(-3,2)时,其值为正,而当 x∈(-∞,-3) ∪(2,+∞)时,其值为负,求 a,b 的值及 f(x)的表达式。

3.已知函数 f(x)对于 x>0 有意义,且满足条件 f(2)=1,f(xy)=f(x)+f(y),f(x)是非减函数。 (1)证明 f(1)=0;(2)若 f(x)+f(x-2)≥2 成立,求 x 的取值范围。

指数函数、对数函数和幂函数- 10

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4.设集合 A={x|4x-2x+2+a=0,x∈R}。 (1)若 A 中仅有一个元素,求实数 a 的取值集合 B; (2)若对于任意 a∈B,不等式 x2-6x<a(x-2)恒成立,求 x 的取值范围。

5.已知二次函数 f(x)=ax2+bx(a,b 为常数,且 a≠0)满足条件:f(x-1)=f(3-x)且方程 f(x)=2x 有等根。 (1)求 f(x)的解析式; (2) 是否存在实数 m,n (m<n) 使 f(x)的定义域和值域分别为[m,n]和[4m,4n], , 如果存在, 求出 m,n 的值;如果不存在,说明理由。

6.已知函数 f(x)=

1 1+ x +lg 1? x 1? x (1)判断函数 f(x)的单调性并给予证明; (2)若 f(x)的反函数为 f-1(x),证明方程 f-1(x)=0 有唯一解; (3)解关于 x 的不等式 f[x(x+1)]>1。

指数函数、对数函数和幂函数- 11


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