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2013版高中全程复习方略配套课件:6.6直接证明与间接证明(数学文人教A版湖南专用)(共51张PPT)_图文

第六节 直接证明与间接证明

三年11考 高考指数:★★★ 1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法;了解分 析法和综合法的思考过程、特点; 2.了解反证法是间接证明的一种基本方法,了解反证法的思考 过程、特点.

1.本考点在历年高考中均有体现,主要以直接证明中的综合法 为主; 2.分析法的思想应用广泛,反证法仅作为客观题的判断方法, 一般不会单独命题; 3.题型以解答题为主,主要在与其他知识点交汇处命题.

1.直接证明 (1)综合法 ①定义:利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过 一系列的推理论证,最后推导出_所__要__证__明__的__结__论__成__立___的证明 方法.

②框图表示: (P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示所要证 明的结论). ③文字表示为:“因为……所以……”或“由……得……”. ④思维过程:由因导果.

(2)分析法 ①定义:从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条 件,直至最后,把要证明的结论归结为_判__定__一__个__明__显__成__立__的__ _条__件__(已知条件、定理、定义、公理等)为止的证明方法. ②框图表示:
(Q表示要证明的结论). ③文字表示为:“要证……”,“只需证……”,“即证……” ④思维过程:执果索因.

【即时应用】 (1)思考下列思维特点: ①从“已知”逐步推向“未知”,即逐步寻找已知成立的必要 条件. ②从“未知”看“需知”,逐步靠拢“已知”即逐步寻找结论 成立的充分条件. 满足综合法的是_______,满足分析法的是______(请填写相应 序号).

(2)已知t=a+2b,s=a+b2+1,则s,t的大小关系是______. (3)在正项等比数列{an}和正项等差数列{bn}中,a1=b1, a3=b3,a1≠a3,则a5与b5的大小关系为_______.

【解析】(1)由分析法、综合法的定义可判断.①满足综合法;

②满足分析法.

(2)由s-t=a+b2+1-a-2b=b2-2b+1=(b-1)2≥0,故s≥t.

(3)由a1≠a3,得b1≠b3,所以b1≠b5,且b1>0,b5>0,

又 a3 ?

a1a 5

?

b1

? b5 2

?

b3

?

b1b5 ,

即 a1a5 ? b1b5 , 又a1=b1,所以a5>b5.

答案:(1)① ② (2)s≥t (3)a5>b5

2.间接证明 (1)反证法的定义 假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此 说明_假__设__错__误__,从而证明_原__命__题__成__立___的证明方法. (2)利用反证法证题的步骤 ①假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立; ②由假设出发进行正确的推理,直到推出矛盾为止; ③由矛盾断言假设不成立,从而肯定原命题的结论成立. 简言之,否定→归谬→断言.

【即时应用】

(1)判断下列说法是否正确.(请在括号内打“√”或“×”)

①综合法是由因导果法

()

②综合法是顺推法

()

③分析法是执果索因法

()

④分析法是逆推法

()

⑤反证法是间接证法

()

(2)用反证法证明“如果a>b,那么 3 a ? 3 b ”,其中假设内容 应是______. (3)用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于 60°”时,应假设_________.

【解析】(1)由分析法、综合法、反证法的定义可知①②③④

⑤都正确.

(2)否定结论, 3 a ? 3 b 的否定是 3 a ? 3 b. (3)因为“至少有一个”的反面是“一个也没有”,所以“三

角形三个内角至少有一个不大于60°” 的否定是“三角形三

个内角一个也没有不大于60°”,即“三角形三个内角都大于

60°”.

答案:(1)①√ ②√ ③√ ④√ ⑤√

(2) 3 a ? 3 b

(3)三角形三个内角都大于60°

综合法的应用 【方法点睛】利用综合法证题的基本思路

分析条件 选择方向
转化条件 组织过程
适当调整 回顾反思

分析题目的已知条件及已知与结论之间 的联系与区别,选择相关的定理、公式 等,确定恰当的解题方法
把已知条件转化成解题所需要的语言, 主要是文字、符号、图形三种语言之间 的转化
回顾解题过程,可对部分步骤进行调 整,并对一些语言进行适当的修饰,反 思总结解题方法的选取

【例1】已知x+y+z=1,求证:x2 ? y2 ? z2 ? 1 .
3
【解题指南】由基本不等式x2+y2≥2xy,得到关于x、y、z的
三个不等式,将三式相加整理变形,然后利用x+y+z=1得
(x+y+z)2=1从而可证.

【规范解答】∵x2+y2≥2xy,x2+z2≥2xz,y2+z2≥2yz, ∴2x2+2y2+2z2≥2xy+2xz+2yz, ∴3x2+3y2+3z2≥x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz, 即3(x2+y2+z2)≥(x+y+z)2, ∵x+y+z=1,∴(x+y+z)2=1, ∴3(x2+y2+z2)≥1,即x2+y2+z2≥ 1 .
3

【反思·感悟】利用综合法证明不等式是不等式证明的常用方 法之一,即充分利用已知条件与已知的基本不等式,经过推理 论证推导出正确结论,是顺推法或由因导果法.其逻辑依据是 三段论式的演绎推理方法,这就需保证前提正确,推理合乎规 律,这样才能保证结论的正确.

分析法的应用 【方法点睛】分析法的特点与思路 分析法的特点和思路是“执果索因”,即从“未知”看“需 知”,逐步靠拢“已知”或本身已经成立的定理、性质或已经 证明成立的结论等.通常采用“欲证——只需证——已知”的 格式,在表达中要注意叙述形式的规范.

【例2】(2012·南通模拟)已知m>0,a,b∈R,求证:

(a ? mb)2 ? a2 ? mb2 .

1? m

1? m

【解题指南】利用分析法,去分母后移项作差,最后变形可证.

【规范解答】∵m>0,∴1+m>0.

所以要证原不等式成立,

只需证明(a+mb)2≤(1+m)(a2+mb2),

即证m(a2-2ab+b2)≥0,即证(a-b)2≥0,

而(a-b)2≥0显然成立,故原不等式得证.

【反思·感悟】1.逆向思考是用分析法证题的主要思想,通过 反推,逐步寻找使结论成立的充分条件.正确把握转化方向是 使问题顺利获解的关键. 2.在求解实际问题时,对于较复杂的问题,可以采用两头凑的 办法,即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论, 然后通过综合法由条件证明这个中间结论,使原命题得证.

综合法、分析法的综合应用 【方法点睛】综合法与分析法的应用技巧 综合法与分析法各有特点,在解决实际问题时,常把分析法与 综合法综合起来运用,通常用分析法分析,综合法书写.这一 点在立体几何中应用最为明显,同时,在三角、解析几何中也 大多是利用分析法分析,用综合法证明的办法来证明相关问题.

【提醒】综合法是从已知条件出发,逐步推向未知,每步寻找 的是必要条件;分析法是从待求结论出发,逐步靠拢已知,每 步寻找的是充分条件.

【例3】如图,四边形ABCD是正方形, PB⊥平面ABCD,MA⊥平面ABCD,PB= AB=2MA.求证: (1)平面AMD∥平面BPC; (2)平面PMD⊥平面PBD. 【解题指南】(1)欲证平面AMD∥平面BPC,只需证AM∥PB, AD∥BC从而得AM∥平面PBC,AD∥平面PBC,从而得证. (2)欲证平面PMD⊥平面PBD,只需连接AC交BD于E,取PD中点为 F,连接MF、EF,即证AE⊥平面PBD,而AE与MF又平行从而得证.

【规范解答】(1)因为PB⊥平面ABCD,MA⊥平面ABCD, 所以PB∥MA. 因为PB?平面BPC,MA?平面PBC, 所以MA∥平面BPC.同理,DA∥平面BPC. 又MA?平面AMD,AD?平面AMD, MA∩AD=A, 所以平面AMD∥平面BPC.

(2)连接AC,设AC∩BD=E,取PD中点F,连接EF,MF.
因为四边形ABCD为正方形, 所以E为BD的中点. 因为F为PD中点,所以 EF 1 PB.
2

又 AM 1 PB,
2
所以四边形AEFM为平行四边形, 所以MF∥AE. 因为PB⊥平面ABCD,所以PB⊥AE, 又因为ABCD是正方形,所以AE⊥BD, 所以AE⊥平面PBD, 又因为MF∥AE,所以MF⊥平面PBD, 又因为MF?平面PMD,所以平面PMD⊥平面PBD.

【反思·感悟】利用分析法分析结论成立的充分条件,探究面 面平行需具备的条件,面面垂直所要具备的条件,找到条件后, 再用综合法书写证明过程.这是此类问题的常规解法,需要灵 活掌握.

反证法的应用 【方法点睛】1.反证法的解题原则 反证法的原理是“正难则反”,即如果正面证明有困难时,或 者直接证明需要分多种情况而反面只有一种情况时,可以考虑 用反证法.

2.反证法中常见词语的否定形式

原词 至多有n个(即x≤n,n∈N*)

否定形式 至少有n+1个(即x>n?x≥ n+1,n∈N*)

至少有n个(即x≥n,n∈N*)

n个都是

至多有1个 特



至少有1个

至多有n-1个(即x<n?x≤n-1, n∈N*)
n个不都是(即至少有1个不是) 至少有2个
至多有0个, 即一个也没有

【例4】若a,b,c均为实数,且a=x2-2y+ ? , b ? y2 ? 2z ? ? ,

2

3

c=z2-2x+ ? , 求证:a,b,c中至少有一个大于0.

6

【解题指南】否定结论,至少有一个大于0的否定是都不大于0,

只需证a+b+c≤0不成立即可,而后下结论.

【规范解答】假设a,b,c都不大于0,即a≤0,b≤0,c≤0,则

a+b+c≤0,

而a+b+c= x2 ? 2y ? ? ? y2 ? 2z ? ? ? z2 ? 2x ? ?

2

3

6

=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+π-3.

∵π-3>0,且(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2≥0,

∴a+b+c>0,这与a+b+c≤0矛盾.因此a,b,c中至少有一个大于0.

【反思·感悟】反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾,矛 盾可以是:①与已知条件矛盾,②与假设矛盾,③与定义、公 理、定理矛盾,④与事实矛盾等方面,反证法常常是解决某些 “疑难”问题的有力工具,是数学证明中的一件有力武器.

【满分指导】不等式证明题的规范解答 【典例】(12分)(2012·常州模拟)已知a,b,c,d∈R,用分析法 证明 ac ? bd ? (a2 ? b2 )(c2 ? d2 ) 并指明等号何时成立. 【解题指南】由于a,b,c,d∈R,故ac+bd≤0或ac+bd>0,要分两种 情况分析,可证.

【规范解答】(1)当ac+bd≤0时,(a2 ? b2 )(c2 ? d2)? 0, ……2分 故不等式显然成立,此时a=b=c=d=0时等号成立.

………………………………………………………………4分

(2)当ac+bd>0时,要证原不等式成立,只需证

(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2), ………………………………6分

即证a2c2+2abcd+b2d2≤a2c2+a2d2+b2c2+b2d2.

………………………………………………………………8分

即证2abcd≤a2d2+b2c2,即0≤(bc-ad)2.

………………10分

∵a,b,c,d∈R, ∴上式恒成立,故不等式成立,此时等号成立的条件为bc=ad. ∴由(1)(2)知原不等式成立.……………………………12分

【阅卷人点拨】通过阅卷数据分析与总结,我们可以得到以下
失分警示和备考建议:
失 在解答本题时有两点容易造成失分: 分 (1)不去分类,而是直接平方作差判断. 警 (2)在平方作差变形时运算失误或对等号成立的条件 示 说明不到位而失分.

解决此类不等式证明问题,还有以下几点容易造成失 分,在备考时要高度关注. 备 (1)对常用三种不等式的证明方法:综合法、分析法、 考 反证法的解题过程与推理形式理解不到位. 建 (2)用反证法证题时反设错误. 议 (3)已知条件较多,表达不清,逻辑混乱. 另外要熟练掌握求差比较及简单的放缩证明等方法.

1.(2012·泉州模拟)用反证法证明“如果a>b,则a3>b3”,假设

的内容是( )

(A)a3=b3

(B)a3<b3

(C)a3=b3且a3<b3

(D)a3=b3或a3<b3

【解析】选D.反证法应否定结论即a3≤b3,即为a3=b3或a3<b3.

2.(2012·南阳模拟)在证明命题“对于任意角θ ,cos4θ -

sin4θ =cos2θ ”的过程:“cos4θ -sin4θ =(cos2θ +sin2θ )

(cos2θ -sin2θ )=cos2θ -sin2θ =cos2θ ”中应用了( )

(A)分析法

(B)综合法

(C)分析法和综合法综合使用 (D)间接证法

【解析】选B.从已知条件出发,推出要证的结论,满足综合法.

3.(2012·临沂模拟)已知 m ?1,a ? m ?1 ? m,b ? m ? m ?1, 则以下结论正确的是( )

(A)a>b

(B)a<b

(C)a=b

(D)a,b大小不定

【解析】选B.∵ a ? m ?1 ? m ?

1

,

m?1? m

b ? m ? m ?1 ?

1

,

m ? m ?1

而 m ?1 ? m ? m ? m ?1,

?

1

?

1

,

m ?1? m m ? m ?1

即a ? b.

4.(2012·长沙模拟)设p+q=1,p>0,q>0,则不等式logx(pq)

<1成立的一个充分条件是( )

(A)0<x< 1
4
(C) 1 <x<1
2

(B) 1 <x< 1

4

2

(D)x>1

【解析】选D.∵p+q=1,p>0,q>0,

∴由 p ? q ≥ pq ,得0<pq≤ 1 ,

2

4

若x>1,则logx(pq)<0,则logx(pq)<1.故选D.

5.(2012·大同模拟)用反证法证明命题“若a,b∈N,ab能被3整

除,那么a,b中至少有一个能被3整除”时,假设应为( )

(A)a、b都能被3整除

(B)a、b都不能被3整除

(C)b不能被3整除

(D)a不能被3整除

【解析】选B.由反证法的定义可知,否定结论,即“a,b中至少

有一个能被3整除”的否定是“a,b都不能被3整除”,故选B.


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