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高考数学一轮复习总教案:4.1 平面向量的概念及线性运算

第四章 平面向量 高考导航 考试要求 1 .平面向量的实际背景及基本概念 (1)了解向量的实际背景; (2)理解平面向量的概念,理解两个向量相等 的含义; (3)理解向量的几何表示. 2.向量的线性运算 (1)掌握向量加法、减法的运算,并理解其几 何意义; (2)掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解 两个向量共线的含义; (3)了解向量线性运算的性质及其几何意义. 3.平面向量的基本定理及其坐标表示 (1)了解平面向量的基本定理及其意义; (2)掌握平面向量的正交分解及其坐标表示; (3)会用坐标表示平面向量的加法、减法与数 乘运算; (4)理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 4.平面向量的数量积 (1) 理解平面向量数量积的含义及其物理意 义; (2) 了解平面向量的数量积与向量投影的关 系; (3)掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向 量数量积的运算; (4)能运用数量积表示两个向量的夹角,会用 数量积判断两个平面向量的垂直关系. 5.向量的应用 (1)会用向 量方法解决某些简单的平面几何问 题; (2)会用向量方法解决某些简单的力学问题 及其他一些实际问题. [来源:www.shulihua.net] 重难点击 命题展望 本章重点: 1. 向 量 的 各 种 运 算; 2.向量的坐标运算 及数形结合的思 想; 3.向量的数量积在 证明有关向量相 等、两向量垂直、 投影、 夹角等问题 中的应用. 本章难点: 1.向量的直角坐标 运算在证明向量 垂直和平行问题 中的应用; 2.向量的夹角公式 和距离公式在求 解平面上两条直 线的夹角和两点 间距离中的应用. 向量是近代数学中重 要和 基本的数学概念之 一,它是沟通代数、几何 与三角函数的一种工具, 有着极其丰富的实际背 景,同时又是数形结合思 想运用的典范,正是由于 向量既具有几何形式又具 有代数形式的“双重身份”, 所以它成为中学数学知识 的一个交汇点.在高考中, 不仅注重考查向量本身的 基础知识和方法,而且常 与解析几何、三角函数、 数列等一起进行综合考查. 在考试要求的层次上更加 突出向量的实际背景、几 何意义、运算功能和应用 价值. 知识网络 4.1 平面向量的概念及线性运算 典例精析 题型一 向量的有关概念 【例 1】 下列命题: ①向量 AB 的长度与 BA 的长度相等; ②向量 a 与向量 b 平行,则 a 与 b 的方向相同或相反; ③两个有共同起点的单位向量,其终点必相同; ④向量 AB 与向量 CD 是共线向量,则 A、B、C、D 必在同一直线上. 其中真命题的序号是 . 【解析】①对;零向量与任一向量是平行向量,但零向量的方向任意,故②错;③显然错; AB 与 CD 是共线向量,则 A、B、C、D 可在同一直线上,也可共面但不在同一直线上,故 ④错.故是真命题的只有①. 【点拨】正确理解向量的有关概念是解决本题的关键,注意到特殊情况,否定某个命题只要 举出一个反例即可. 【变式训练 1】下列各式: ①|a|= a ? a ; ②(a ? b) ? c=a ? (b ? c); ③ OA - OB = BA ; ④在任意四边形 ABCD 中,M 为 AD 的中点,N 为 BC 的中点,则 AB + DC =2 MN ; ⑤a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),且 a 与 b 不共线,则(a+b)⊥(a-b). 其中正确的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】选 D.| a|= a ? a 正确;(a ? b) ? c≠a ? (b ? c); OA - OB = BA 正确;如下图所示, MN = MD + DC + CN 且 MN = MA + AB + BN , 两式相加可得 2 MN = AB + DC ,即命题④正确; 因为 a,b 不共线,且|a|=|b|=1,所以 a+b,a-b 为菱形的两条对角线, 即得(a+b)⊥(a-b). 所以命题①③④⑤正确. 题型二 与向量线性运算有关的问题 【例 2】如图,ABCD 是平行四边形,AC、BD 交于点 O,点 M 在线段 DO 上, 1 1 DO OC 且 DM = 3 ,点 N 在线段 OC 上,且 ON = 3 , 设 AB =a, AD =b,试用 a、b 表示 AM , AN , MN . 【解析】在?ABCD 中,AC,BD 交于点 O, 1 1 1 所以 DO = DB = ( AB - AD )= (a-b), 2 2 2 AO = OC =1 AC =1( AB + AD )=1(a+b). 2 2 2 1 1 又 DM = DO , ON = OC , 3 3 1 所以 AM = AD + DM =b+ DO 3 1 1 1 5 =b+ × (a-b)= a+ b, 3 2 6 6 [来源:www.shulihua.net] AN = AO + ON = OC +1 OC 3 4 4 1 2 = OC = × (a+b)= (a+b). 3 3 2 3 所以 MN = AN - AM 2 1 5 1 1 = (a+b)-( a+ b)= a- b. 3 6 6 2 6 【点拨】 向量的线性运算的一个重要作用就是可以将平面内任一向量由平面内两个不共线的 向量表示, 即平面向量基本定理的应用, 在运用向量解决问题时, 经常需要进行这样的变形. 【变式训练 2】O 是平面 α 上一点,A、B、C 是平面 α 上不共线的三点,平面 α 内的动点 P 1 满足 OP = OA +λ( AB + AC ),若 λ= 时,则 PA ? ( PB + PC )的值为 2 【解析】由已知得 OP - OA =λ( AB + AC ), 1 1 即 AP =λ( AB + AC ),当 λ= 时,得 AP = ( AB + AC ), 2 2 所以 2 AP = AB + AC ,即 AP -

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