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单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义


单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义
一、教学目标
1、理解利用单位圆定义的正弦函数、余弦函数的概念,并能根据定义判定 正弦函数、余弦函数的定义. 2、通过借助单位圆讨论正弦函数、余弦函数的过程,感悟数形结合思想方 法是学习数学的重要思想方法之一.

二、教学重、难点
1、正、余弦函数的定义及正、余弦函数值的符号; 2、会利用单位圆求三角函数值.

三、情感态度与价值观
1、由锐角的正、余弦函数推广到任意角的正、余弦函数的过程中,体会特 殊与一般的关系,形成一种辩证统一的思想; 2、通过单位圆的学习,建立数形结合的思想,激发学习的学习积极性;培 养学生分析问题、解决问题的能力.

四、教学过程 1.复习回顾
初中所学的锐角的正、余弦函数是如何定义的? 由锐角三角函数推广到任意角的三角函数,由直角中的边之比定义,推广到 直角坐标系中的坐标定义。

2.探究新知
(1)单位圆 在直角坐标系中,以原点为圆心,以单位长度为半径的圆,称为单位圆。 (2)任意角的正、余弦函数定义 在直角坐标系中,给定单位圆,对于任意角α ,使角α 的顶 点与原点重合,始边与 x 轴正半轴重合,终边与单位圆交于点 y α P(u,v),则交点 P 的纵坐标 v 叫作角α 的正弦函数,记作 v=sin P(u,v) α ; 点 P 的横坐标 u 叫作角α 的余弦函数,记作 u=cosα . O 通常,用 x 表示自变量,用 x 表示角的大小,用 y 表示函数 x 值,因此定义任意角的三角函数 y=sinx 和 y=cosx,定义域为 R, 值域为[-1,1]。 (3)三角函数值的符号 根据定义,三角函数值的符号仅与点 P 的纵、横坐标的符号有关。sinα 在 一、二象限为正,三、四象限为负;cosα 在一、四象限为正,二、三象限为负. 轴线角的正余弦函数值也有符号。

3.例题分析
例 1:确定下列各三角函数值的符号: ⑴ cos250°;⑵ sin(-π /4)。 解:(1)易知 250°为第三象限角,所以 cos250°的符号为负; (2)易知-π /4 为第四象限角,所以 sin(-π /4)的符号为负; 练习 1:确定下列各三角函值的符号: ⑴ sin(- 672°); ⑵ cos3π . 5 ? 例 2: 求 ?? 的正弦值和余弦值。
3

例 3: 已知角α 的终边经过点 P0(-3,-4),求角α 的正弦、余弦。 练习 3:已知角α 的终边经过点 P(2, -3),求角α 的正弦、余弦。

五、小结与作业 1.小结
(1)任意角的正弦、余弦函数的定义: 设α 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P(u,v),则

sin ? ? v,cos ? ? u
(2)计算任意角α 的正弦、余弦函数值,先找到角所在终边与单位圆的交 点(x,y),则 sinα =y,cosα =x. (3)已经角终边上的一个点 P ,利用三角函数的定义求其三角函数,需要 确定三个量:角的终边,点 P 的横坐标 x、纵坐标 y,点 P 到原点的距离 r.

2.作业
全品学考练 P5-6


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