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江苏省清江中学学高一数学下学期期中试题-精

江苏省清江中学 2015—2016 学年度第二学期期中考试 高一数学试卷
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.只要求写出结果,不必写出计算和推理过程.请 把答案写在答题卡相应位置上. 1.已知 x ? 0 ,且 y ? x ?

1 ,则 y 的取值范围是 x



2.在△ABC 中,∠A、∠B、∠C 的对边分别是 a 、 b 、 c ,若 a ? 1 , b ? 3 ,∠C=30?;则△ABC 的面积是 3.在△ABC 中,若 sin A : sin B : sin C ? 5 : 7 : 8 ,则∠B 的大小是___________. 4. 已 知 在 等 比 数 列 ?an ? 中 , 各 项 均 为 正 数 , 且 a1 ? 1, a1 ? a2 ? a3 ? 7, 则 数 列 ?an ? 的 通 项 公 式 是

an ? ______ .
1 的值域为 。 x ?1 6.已知 ?an ? 为等差数列, a1 ? a3 ? a5 ? 105, a2 ? a4 ? a6 ? 99 ,则 a20 等于
5.设实数 x ? R ,则 y ? x ?

x-y+2≥0, ? ? 7. 设变量 x , y 满足约束条件 ?x-5y+10≤0, ? ?x+y-8≤0,
_______.

则目标函数 z = 3x - 4y 的最大值与最小值的和为

1 2 8.已知a,b为正实数,且a+b=1,则 + 的最小值是_________________.

a b

9.设函数 y ? kx 2 ? 6 x ? k ? 8 的定义域为 R,则 k 的取值范围是_____________. 10.已知等比数列 ?an ? 中, a6 ? 2 ,公比 q ? 0 ,则 log2 a1 ? log2 a2 ? ? ? log2 a11 ? 11.已知三角形 ABC 中,有: a tan B ? b tan A ,则三角形 ABC 的形状是
2 2



12.如图将全体正整数排成一个三角形数阵,第 100 行从左向右的 第 3 个数为______

?1? 13.已知数列 ?an ? 满足 a1 =1, an ? an ?1 ? ? ? , ?4?
利用类似等比数列的求和方法, Sn ? a1 ? 4a2 ? 42 a3 ? ?? 4n?1 an , 得 5Sn ? 4n an = .
2 2 Sn ? ma12 对任意等差数列 ?an ? 及任意正整数 n 都成立, 2 n

n

可求

14.记数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若不等式 an ?

则实数 m 的最大值为 。 二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过[来源:学*科网]程 或演算步骤. 15.(本题满分 14 分) 已知:角 ? 为锐角,且 sin ? ? [来源:学科网Z-XK]

1 ? , (1)求 sin( ? ? ) 的值; (2)求 cos 2? 的值. 3 4

1

16. (本题满分 14 分)
? 1 ? 若不等式 ax2 ? 5 x ? 2 ? 0 的解集是 ?x ? x ? 2? ,求不等式 ax2 ? 5 x ? a 2 ? 1 ? 0 的解集. ? 2 ?

17.(本题满分 14 分) 设△ ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且 a ? c ? 6 , b ? 2 , cos B ? 求 (1) a , c 的值, (2) sin( A ? B) 的值.

7 . 9

2

18. (本题满分 16 分) 已知数列 ?an ? 、 ?bn ? 分别是等差数列、等比数列,且满足 a3 ? 8, a6 ? 17, b1 ? 2 b1b2b3 ? 9(a2 ? a3 ? a4 ) (1)分别求数列 ?an ? 、 ?bn ? 的通项公式; (2)设 cn ? log3 bn ,求证:数列 {cn } 是等差数列,并求其公差 d 和首项 c1 ;
/

(3)设 Tn ? b1 ? b4 ? b7 ? ……b3 n?2 ,其中 n=1,2,…,求 Tn 的值.

[来源:学+科网ZXK]

19.(本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? x 2 ? 2(a ? 1) x ? a 2 ? 1, x ? R . (1) 若 a ? 2 , 解不等式 f ( x) ? 0 ; (2) 若 a ? R , 解关于 x 的不等式 f ( x) ? 0 ;
2 (3) 若 x ? [0,2] 时, f ( x) ? a (1 ? x) 恒成立.求实数 a 的取值范围.

[来源:学.科网ZXK]

20. (本题满分 16 分)

3

已知数列 ?an ? 中, a2 ? 1 ,前 n 项和为 Sn ,且 S n ?

n(an ? a1 ) 。 2

an ?1 ,试问是否存 3n 在正整数 p ,q (其中 1 ? p ? q ) ,使 b1 ,bp ,bq 成等比数列?若存在,求出所有满足条件的数组 ? p, q ? ;
(1)求 a1 的值; (2)求证:数列 ?an ? 为等差数列,并写出其通项公式; (3)设 lg bn ? 若不存在,请说明理由。 [来源:学科网]

4

高一数学试卷答案 1、 ?2,??? 9、 ?1,??? 15.(1) sin( 2、 3

4

3、

? 3

4、 an ? 2n?1

5、 ?? ?,?3? ? ?1,??? 13、n

6、1

7、-8 8、 3 ? 2 2 14、

10、11

11、等腰三角形或直角三角形 12、4953

1 5

7 4? 2 ……7 分 (2) cos 2? ? ……14 分 9 4 6 1 2 16.解:由已知条件可知 a ? 0 ,且 , 2 是方程 ax ? 5 x ? 2 ? 0 的两个根,…3 分 2

?

?? ) ?

? 5 5 ?? ? 由根与系数的关系得 ? a 2 ,解得 a ? ?2 …7 分 ? ? ? 2 ?1 ? ? a
2 所以 ax2 ? 5 x ? a 2 ? 1 ? 0 变为 2 x ? 5 x ? 3 ? 0 8 分

? 2x ?1?? x ? 3? ? 0

…10 分 …14 分 17.解:(1)由余弦

? ?3 ? x ?

1 …12 分 2

即不等式 ax2 ? 5 x ? a 2 ? 1 ? 0 的解集是 ?
2

1? ? x | ?3 ? x ? ? 2? ?

2 定理 b2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ,得 b ? ? a ? c ? ? 2ac(1 ? cos B) ,

7 ,所以 ac ? 9 ,解得 a ? 3 , c ? 3 . ……7 分 9 a sin B 2 2 4 2 (2)在△ ABC 中, sin B ? 1 ? cos 2 B ? , 由正弦定理得 sin A ? , ? b 3 9 1 2 因为 a ? c ,所以 A 为锐角,所以 cos A ? 1 ? sin A ? 3 10 2 因此 . ……14 分 sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B ? 27 18.(1) an ? 3n ?1, bn ? 2 ? 3n?1 ……6 分各 3 分
又 a ? c ? 6 , b ? 2 , cos B ? (2) cn ? n? log3 2 ?1 ,由 cn?1 ? cn ? 1 从而得证……11 分

2(1 ? 27 n ) 1 ? (27n ? 1). ……16 分 1 ? 27 13 19.(1) 1 ? x ? 5 ---------4 分 (2) f ( x) ? 0 时 ? ? 8a -----6 分
(3) Tn ? 当 a ? 0 , x ? ? ; ------8 分当 a ? 0, a ? 1 ? 2a ? x ? a ? 1 ? 2a ----10 分 (3) 由题意:任意的 x ? [0,2], x 2 ? 1 ? (?a 2 ? 2a ? 1) x, 成立 当 x ? 0 时,不等式显然成立----12 分

1 1 . ? x ? ? 2, ( x ? 1 时取等号 ) x x 2 ? ?a ? 2a ? 2 ? 2, 即 a ? 0 或 a ? 2 综上: a ? 0 或 a ? 2 -----16 分 1? (a1 ? a1 ) ? 0 。………………4 分; 20.(1)令 n ? 1 ,则 a1 ? S1 ? 2 n(an ? a1 ) n ? an ( n ? 1) ? an ?1 (2)由 S n ? ,即: S n ? ,① 得: S n ?1 ? ,② 2 2 2 ②-①得: (n ? 1)an?1 ? nan ③ 于是: nan?2 ? (n ? 1)an?1 ④
当 x ? (0,2] , ? a ? 2a ? 2 ? x ?
2

③+④得: nan?2 ? nan ? 2nan?1 ,即: an?2 ? an ? 2an?1 …………8 分

5

又 a1 ? 0 , a2 ? 1 , a2 ? a1 ? 1

所以,数列 ?an ? 是以 0 为首项,1 为公差的等差数列,所以 an ? n ?1 ……10 分。 (3)假设存在正整数数组 ( p, q) ,使 b1 , bp , bq 成等比数列,则 lg b1 , lg bp , lg bq 成等差数列,

2p 1 q 2p 1 ? ? q ,所以: q ? 3q ( p ? ) (*) p 3 3 3 3 3 易知 ( p, q) ? (2,3) 为方程 (*) 的一组解。…………13 分 2( p ? 1) 2 p 2 ? 4 p ?2 p ? ? p ? p ?1 ? 0 ,故数列 ? p ? ( p ? 3 )为递减数列。 当 p ? 3 ,且 p ? N * 时, p ?1 3 3 3 ?3 ? 2 p 1 2?3 1 于是 p ? ? 3 ? ? 0 ,所以此时方程无正整数解。 3 3 3 3 综上,存在唯一正整数数对 ( p, q) ? (2,3) ,使 b1 , bp , bq 成等比数列。…16 分。
于是: [来源:学科网Z-XK]

6


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