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2016_2017学年高中数学第三章推理与证明4反证法课后演练提升北师大版选修1_2

升 北师大版选修 1-2 一、选择题 1.用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于 60°”时,反设正确的是 ( ) A.假设三内角都不大于 60° B.假设三内角都大于 60° C.假设三内角至多有一个大于 60° D.假设三内角至多有两个大于 60° 解析: “至少有一个不”对立面是“都”,故反设正确的是 B. 答案: B 2.下列命题错误的是( ) A.三角形中至少有一个内角不小于 60° B.四面体的三组对棱都是异面直线 C.闭区间[a,b]上的单调函数 f(x)至多有一个零点 D.设 a、b∈Z,若 a+b 是奇数,则 a、b 中至少有一个为奇数 解析: a+b 为奇数?a、b 中有一个是奇数,另一个是偶数. 答案: D 3.已知 a+b+c>0,ab+bc+ac>0,abc>0,用反证法证明 a>0,b>0,c>0 时的 反设为( ) B.a≤0,b>0,c>0 D.abc<0 A.a<0,b<0,c<0 C.a、b、c 不全是正数 答案: C 1 1 1 4.设 a、b、c 都是正数,则三个数 a+ 、b+ 、c+ ( b c a ) A.都大于 2 C.至少有一个不大于 2 解析: 小于 2. 答案: D 二、填空题 1 1 1 B.至少有一个大于 2 D.至少有一个不小于 2 a+ +b+ +c+ =?a+ ?+?b+ ?+?c+ ?≥6,故三个数中至少有一个不 b c a ? a? ? b? ? c? ? 1? ? 1? ? 1? 5.用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤: ①∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°,这与三角形内角和为 180°矛盾,故假设 错误. 1 ②所以一个三角形不能有两个直角. ③假设△ABC 中有两个直角,不妨设∠A=90°,∠B=90°. 上述步骤的正确顺序为________. 解析: 考查反证法的一般步骤. 答案: ③①② 6.完成反证法证题的全过程. 题目:设 a1,a2…,a7 是 1,2,…,7 的一个排列, 求证:乘积 p=(a1-1)(a2-2)…(a7-7)为偶数. 证明:反设 p 为奇数,则________均为奇数. 因奇数个奇数之和为奇数,故有 奇数=___________________________________________________________________ =________________________________________________________________________ =0. 但奇数≠偶数,这一矛盾说明 p 为偶数. 解析: 乘积为奇数,则每一个正整数就为奇数,再利用求和、求差而得到结论. 答案: a1-1,a2-2,…,a7-7 (a1-1)+(a2-2)+…+(a7-7) (a1+a2+…+a7)-(1+2+…+7) 三、解答题 7.已知 a1+a2+a3+a4>100,求证:a1,a2,a3,a4 中至少有一个数大于 25. 证明: 假设 a1,a2,a3,a4 都不大于 25,即 a1≤25,a2≤25,a3≤25,a4≤25,则 a1 +a2+a3+a4≤25+25+25+25=100. 这与已知 a1+a2+a3+a4>100 矛盾,故假设不成立. 所以,a1,a2,a3,a4 中至少有一个数大于 25. 8.若下列方程:x +4ax-4a+3=0,x +(a-1)x+a =0,x +2ax-2a=0 至少有一 个方程有实根,试求实数 a 的取值范围. 解析: 设三个方程均无实根,则有: 2 2 2 2 Δ 1=16a - -4a+ ? ? 2 2 -4a <0 ?Δ 2= a- ? ?Δ 3=4a2- -2a 2 ? ? 1 ,解得? a<-1或a> 3 ? ?-2<a<0 3 1 - <a< 2 2 . 3 3 即- <a<-1,所以当 a≥-1 或 a≤- 时,三个方程至少有一个方程有实根. 2 2 2 9.已知 p +q =2,求证:p+q≤2. 证明: 假设:p+q>2 成立,由此得 q>2-p. 从而得到 q >8-12p+6p -p , 4? ? ? 2 3 3 故得 p +q >6?p -2p+ ?=6? 3? ? ? 3 2 3 3 3 p- 2 1 + ? . 3? ? p3+q3>2+6(p-1)2.由此可知 p3+q3≠2, 这和已知条件 p +q =2 矛盾.所以 p+q≤2 成立. 3 3 3

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