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第4章 离散傅里叶变换1


《测试信号分析与处理》课程

第四章 离散傅里叶变换及其 快速算法
数字谱分析是数字信号处理的基本内容,通过对信号的频谱 分析,掌握信号特征,以便对信号作进一步处理,达到提 取有用信息的目的。包括序列的傅立叶变换、离散傅立叶 级数、离散傅立叶变换和快速傅立叶变换

第一节 第二节 第三节 第四节

序列的傅里叶变换 离散傅里叶级数(DFS) 离散傅里叶变换(DFT) 离散傅里叶变换的性质

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第五节 第六节 第七节 第八节

快速傅里叶变换 IDFT的快速算法(IFFT) 实序列的FFT高效算法 频率域采样理论

第一节 序列的傅里叶变换
一、定义

? 已知序列x(n)的Z变换为:

X ( z) ?

n ? ??

?n x ( n ) z ?

?

? 如X(Z)在单位圆上是收敛的,则将在单位圆上的Z 变换定义为序列的傅里叶变换,即
?

X ( z)

z ?e j?

? X (e j? ) ?

n ???

?

x(n)e? jn?

? 序列的傅立叶变换定义为单位圆上的Z变换,因此 其同Z变换具有相同的性质

? 二 、物理意义与存在条件
1 x ( n) ? 2? 1 x(t ) ? 2?

比较这两个反变换

??
?

?

X (e j? )e j? d?
X (? )e j?t d?

e j? t

e jn?
?

?

?

??

?

x(t)
序列傅立叶变换存 在条件
n ? ??

x(n)
X (e j? )

X (? )

正变换 分析

反变换 综合

? | x ( n) | ? ?

?

连续非周期

连续周期

序列必须绝对可和

三、特点与应用
? 非周期序列的傅里叶变换(频谱)的特点在于它 是 ? 周期为 2? 的连续周期函数,其周期为 2? 。

x(n)

X (e j ? )


0

n

-2?

- ?

0

?

2?

Ω

X (e j? ) 是连续周期函数,因此也可以进行傅立叶级数展开

三、特点与应用

? 序列可以表示为复指数序列分量的叠加,而对 复指数序列的响应完全由系统的频率响应 H (e j? ) 确定,既可以推出输出的傅立叶变换为:

Y (e j? ) ? X (e j? ) H (e j? )

第二节 离散傅里叶级数(DFS)
一、傅里叶变换在时域和频域中的对称规律 ?

第二节 离散傅里叶级数(DFS)
?

第二节 离散傅里叶级数(DFS)

? 一个域中(时域或频域)是连续的,对应另一个域 中(频域或时域)是非周期的。
? 一个域中(时域或频域)是离散的,对应另一个域 中(频域或时域)是周期的。

第二节 离散傅里叶级数(DFS)
二、离散傅里叶级数(定量表达周期序列的傅立叶级数展开式) ? 离散周期信号的频谱,即离散傅里叶级数(DFS)。 ? 非周期序列的频谱

1 x ( n) ? 2?
?

? ? X (e
?

?

j?

)e

jn?

d?

一个非周期序列x(n)可以分解为一系列连续的 jn? e 不同频率的复指数序列 的叠加积分,其频 谱 X (e j? ) 表示了这些不同频率分量的复幅度, 频率是周期性的,独立分量在? ? 到 之间。

?

? 周期序列的频谱是非周期序列频谱的离散化,根据 频谱的含义,意味着一个周期序列可以分解成一系 列 ? 为离散( k?1 )的指数序列分量 e jk?1n 的叠加, 其频率间隔:

?1 ? ?1T , ?1 ? 2? / T1 , T1 ? NT 2? 2? 2? ?1 ? T? T? T1 NT N
X p (k ) ? 设任意k次频率的复指数序列分量 e jk?1n的复幅度用 表示,则可以推出周期序列的傅立叶级数变换对。

? 离散傅里叶级数的变换对表达式
X p (k ) ? DFS[ x p (n)] ? ? x p (n)e
n ?0 N ?1 ?j 2? nk N

?j nk 1 N ?1 N x p (n) ? IDFS[ x p (n)] ? ? X p (k )e N k ?0

2?

WN ? e

?j

2? N
N ?1 n ?0

nk X p (k ) ? DFS[ x p (n)] ? ? x p (n)WN

1 N ?1 ? nk x p (n) ? IDFS[ X p (k )] ? ? X p (k )WN N k ?0

第三节 离散傅里叶变换(DFT) ?离散傅立叶级数的正反变换,为数字信号 分析和处理做好了理论准备,因为时域和 频域都是离散化; ?但是他们都是周期序列,需要在理论上对 序列的有限化进一步研究,以解决离散信 号分析处理或系统设计以及实现等实用化 方面的问题。

第三节 离散傅里叶变换(DFT)
一、离散傅里叶变换DFT定义式 ? 离散傅里叶变换就是对有限长序列进行傅里叶变换 的表示式。定义一个周期序列在第一个周期内的有 限长序列值为此周期序列的主值区间,表示为:
? x p (n), 0 ? n ? N -1 x ( n) ? ? , 其他 ?0
nk X ( k ) ? DFT [ x ( n )] ? x ( n ) W 正变换 ? N n ?0 N ?1

1 N ?1 ? nk 反变换 x(n) ? IDFT [ X (k )] ? ? X (k )WN N k ?0

第三节 离散傅里叶变换(DFT)
? 矩阵形式
? X (0) ? ?W ? X (1) ? ? ? ? ? ?W ?? ? ? ? ? ? ? ? X ( N ? 1)? ? ?W
0 0

W W W

0 1?1

?
0 1?(N -1)

? ? x(0) ? ?? ? 2?1 (N -1)?1 x ( 1 ) W ? W ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? 2?(N -1) (N -1)?( N ?1) x ( N ? 1 ) ? W ?W ? ?? W
0

? W

0

?W ? x(0) ? ? ? x(1) ? ? ? ? 1 ?W ?? ? N? ? ? ? ? ? ? x( N ? 1)? ?W

0 0

W W W

0 -1?1

W W W

0 - 2?1

? W

0

?
0 -1?(N -1)

?

? W -(N-1)?1 ? ? ?W
-(N -1)?( N ?1)

- 2?(N -1)

? ? X (0) ? ?? ? X ( 1 ) ?? ? ? ?? ? ?? ? X ( N ? 1 ) ? ? ??



X(k)= W nk x(n) 1 -nk x(n)= W X(k) N

第三节 离散傅里叶变换(DFT)
二、DFT的物理意义 1 非周期序列的频谱,即它的傅立叶变换,是一个连 续的周期性频谱; 2 有限长序列的DFT却是离散的序列,两者虽然不同, 但存在着重要的联系。 可以证明:有限长序列的傅立叶变换DFT是该序 列频谱的抽样值。

? 有限长序列的DFT就是序列在单位圆上的Z变换 (即有限长序列的傅里叶变换或频谱)以 ?1 ? 2? / N 为间隔的抽样值

X (e j? )

X (k)

0

?

2?

?

第四节 离散傅里叶变换的性质
? 线性特性

DFT[ax(n) ? by(n)] ? aX (k ) ? bY (k )

? 时移特性 xp (n ? m) RN (n) 过程、圆移位 1)圆周移位序列 2)时移定理 DFT[ x (n ? m)R (n)] ? W mk X (k ) p N N
mk IDFT[WN X (k )] ? xp (n ? m)RN (n)

序列在时域中圆周移位,频域上将产生附加相移

? 频移特性

? nl DFT[ x(n)WN ] ? X p (k ? l )RN (k )

?nl IDFT[ X p (k ? l )RN (k )] ? x(n)WN

序列在时域上乘于复指数序列,则在频域上将发生圆周移位

第四节 离散傅里叶变换的性质
? 圆周卷积特性 N ?1 x(m)hp (n ? m) RN (n) ? 1)时域圆周卷积 y(n) ? x(n) ? h(n) ? m ?0 2)频域圆卷积 若 y (n) ? x(n)h(n)
1 N ?1 Y (k ) ? DFT[ y(n)] ? ? X (l ) H p (k ? l ) RN (k ) N l ?0 ? 实数序列奇偶性(对称性) ? 帕斯瓦尔定理:变换过程中能量是守恒的。

?
n ?0

N ?1

1 x(n) ? ? X (k ) N k ?0
2

N ?1

2

顺时针,左移,逆时针转动, 再顺时针读数.

H((-n))NRN(n)

y(0)
H((1-n))NRN(n)

H((2-n))NRN(n)

H((3-n))NRN(n)

例:长度为4的两个有限长序列x(n)={1,2,3,4}和h(n)={4,3,2,1)

计算其循环卷积(圆周卷积)
解:将x(n)按逆时针方向依次均匀分布在内圆上,将序列h(n) 按顺时针方向依次均匀分布在外圆上,依次逆时针旋转外圆, 增加时间序号,将内外圆数值对应相乘并求和。得到 y(n)={24,22,24,30}.

第五节 快速傅里叶变换 DFT是利用计算机进行信号谱分析的理论依据,但计算量太大;

快速傅立叶变换是以较少计算量实现DFT的快速算法,FFT是数 字信号处理中最基本的算法。本节分析直接计算的工作量及DFT 的特点,最后研究基2时析型FFT(基2时间抽选法) 一、DFT直接运算的工作量
nk X (k ) ? DFT[ x(n)] ? ? x(n)WN n ?0 N ?1

0 ? k ? N ?1

计算机运算时(编程实现):
k ?0 k ?1 k ?2
0?0 1?0 ( N ?1)?0 X (0) ? x(0)WN ? x(1)WN ? ? ? x( N ? 1)WN
0?1 11 ? X (1) ? x(0)WN ? x(1)WN ? ( N ?1)?1 ? x( N ? 1)WN

X (2) ? x(0)W

0?2 N

? x(1)W

1?2 N

?

? x( N ? 1)W

( N ?1)?2 N

N个点

1?N ?1 k ? N ? 1 X ( N ? 1) ? x(0)WN0?N ?1 ? x(1)WN ?

? x( N ? 1)WN( N ?1)?N ?1

N次复乘,N-1次复加

运算量
nk x ( n ) W ? N n ?0 N ?1

复数乘法 复数加法
一个X(k) N个X(k) (N点DFT) N N2 N–1 N (N – 1)

(a+jb)(c+jd)=(ac-bd)+j(bc+ad) 一次复乘 一次复加 一个X (k) 4N 实数乘法 4 实数加法 2 2 2N+2 (N – 1)=2 (2N – 1) 2N (2N – 1)

N个X (k) (N点DFT)

4N 2

第五节 快速傅里叶变换

按定义计算,需要 N 2 次复数乘和(N-1)N次复数加运算,若序列为 复数,则每次复数乘包括4次实数乘和2次实数加,每次复数加包 含2次实数加,因此对于长度为N的序列,运算总共有4 N 2 次实数 乘和2 N 2+2(N-1)N次实数加。随着N的增加,实时处理就无法实 现。

例:计算一个 N点DFT ,共需N2次复乘。以做一次 复乘1μs计,若N =4096,所需时间为

(4096 ) ? 16777216 ?s ? 17s
2

例:石油勘探,有24个通道的记录,每通道波形记 录长度为5秒,若每秒抽样500点/秒,

1)每通道总抽样点数:500*5=2500点
2)24通道总抽样点数:24*2500=6万点

3)DFT复乘运算时间:N2=(60000)2=36*108次

(60000 ) ? 36*10 ?s ? 3600s
2 8

由于计算量大,且要求相当大的内存,难以实现实

时处理,限制了DFT的应用。长期以来,人们一直在寻
求一种能提高DFT运算速度的方法。

FFT便是 Cooley & Tukey 在1965 年提出的的快速
算法,它可以使运算速度提高几百倍,从而使数字信号 处理学科成为一个新兴的应用学科。

第五节 快速傅里叶变换
二、DFT运算的特点(从公式入手,利用自身运算特点,提出解 决问题的方法) nk WN 1. 的周期性,即对变量n和k,均为周期函数
nk ( n?lN ) k n( k ?mN ) ( n?lN )( k ?mN ) WN ? WN ? WN ? WN

其中l和m为整数。
nk 2.WN 的对称性

nk * ? nk ( N ?n ) k ( N ?k ) n [WN ] ? WN ? WN ? WN

利用周期性和对称性,使W中的元素许多变成相等的,从而 减少计算量。除此之外,将大点数DFT转化为小点数DFT, 也可以减少DFT的计算量。

第五节 快速傅里叶变换
二、基2时析型FFT算法(时间抽取法)输入序列的长度是2的整数次幂

1.算法原理 L 对长度为 N ? 2 (L为正整数,若原序列的长度不 满足此条件,则可用零补足)的序列x(n),按序列各项 序号的奇偶将序列分成两个子序列(大点数化为小点 数),有 y(r ) ? x(2r ) 偶序号序列 z (r ) ? x(2r ? 1) 奇序号序列
则X ( k ) ?

? x(n)W
n ?0

N ?1

kn N

? ?

N / 2 ?1 r ?0

? x(2r )W ? y (r )W
r ?0

2 kr N

?

N / 2 ?1 r ?0

? x(2r ? 1)W
2 kr N

k ( 2 r ?1) N

N / 2 ?1

2 kr N

?

N / 2 ?1 r ?0

? z (r )W

k WN

2 kr WN ?e

?j

2? 2 Kr N

?e

?j

2? kr N /2

kr ? WN /2
N / 2 ?1 r ?0 kr z ( r ) W ? N /2

? X (k ) ?

N / 2 ?1 r ?0

kr k y ( r ) W ? W ? N /2 N

k ? Y (k ) ? WN Z (k )

k ? 0,1,..., N / 2 ? 1

上式中 Y (k )和Z (k ) 分别为 y(r )和z(r ) 的N/2点DFT,即:

Y (k ) ?

N / 2 ?1 n ?0

? y(n)W
n ?0

kn N /2

N k ? 0,1,..., ? 1 2

Z (k ) ?

N / 2 ?1

kn z ( n ) W ? N /2

N k ? 0,1,..., ? 1 2

这是 X (k )( k ? 0,1,...N / 2 ? 1) 前N/2点DFT

对于X (k )( k ? N / 2,? N ? 1)后N/2点的DFT
k?N / 2 k WN ? ?WN

N k ? X (k ? ) ? Y (k ) ? WN Z (k ) 2

N k ? 0,1,..., ? 1 2

显然,可采用蝶式运算图来表示上述前N/2和后N/2两式 , 如下图所示:

?X(n)的DFT最后结果
? X (k ) ? Y (k ) ? W Z (k ) ? ? N k X ( k ? ) ? Y ( k ) ? W ? N Z (k ) 2 ?
k N

Y(k)

X(k)

WN k

Z(k)

-1

X(k+N//2)

根据奇偶对分,最后一定能得到N个单项序列(序列长度为1), 而单项序列的DFT就是其本身。计算N项序列的DFT,只需要 按照碟形算法逐次合成,由N个1点长序列的DFT合成N/2个2点 长序列的DFT,再由N/2个2点长序列的DFT合成N/4个4点长序 列的DFT,依次进行,最后得到N点长序列的DFT。

第五节 快速傅里叶变换
2.算法的具体实现

第五节 快速傅里叶变换 3.流程图规律 1)
蝶群序号

蝶距(序号 差)

蝶群宽(点 数)

蝶群数

第一级(2 点DFT)

20 2 i ?1

21 2i

N 21

第i级( 2 i 点DFT)

N 2i

2点组成一个基本的运算单元,称为蝶形单元,相互交叠 的蝶形单元构成一个蝶群,每级由一系列的蝶群组成。蝶 形单元的宽度为蝶距,蝶群的宽度为蝶群宽。

第五节 快速傅里叶变换 2)L级蝶形运算,每一级都是“同址运算” ,就 是每级计算结果都占用同一地址单元,无需要 另开存储空间。 3)每个蝶形单元的运算,都包括乘 W Nk 与相应的DFT结果加减各一次
k WN 4)同一级中, 的分布规律相同
0 1 W W i 2 第i级( 点DFT): 2 ; 2 ;...; W22
i
i
i

,并

i ?1

?1

?5)时间序列是按时间先后顺序排列的,称 为自然顺序,但FFT计算时,需要符合快速 算法的要求,需要一种乱序输入,才能获 得X(K)按自然顺序的输出,也就是需要对 输入进行相应处理,即所谓的码位倒置或 输入重排。

第五节 快速傅里叶变换
4 输入重排(输入序列不再为原序列的自然顺序,需要重排)
序列输入 的 十进制 二进制码 自然顺序
x ( 0) x (1) x ( 2) x (3) x ( 4) x (5) x ( 6) x (7 )

码位倒 置结果 (二进 制码)
000 100 010 110 001 101 011 111

乱序十 进制
0 4 2 6 1 5 3 7

序列乱 序的输 入顺序
x ( 0) x ( 4) x ( 2) x ( 6) x (1) x (5) x (3) x (7 )

0 1 2 3 4 5 6 7

000 001 010 011 100 101 110 111

第五节 快速傅里叶变换 5.运算量比较 N( N ? 2 L)点的FFT总运算量为

复数乘 复数加

Mc ?

N log 2 N 2 N Ac ? 2 log 2 N ? N log 2 N 2

利用基2时析型FFT求序列的DFT同直接计算 序列的DFT的复数乘运算次数之比为
N R ? (log 2 N ) / N 2 ? log 2 N 2 N 2

DFT有快速算法FFT,IDFT是否有快速算法呢? IFFT是IDFT的快速算法。

第六节 IDFT的快速算法(IFFT) 一、IFFT算法 在FFT的时间抽取算法中,第一次分解的结果是
k ? X (k ) ? Y (k ) ? WN Z (k ) ? ? N k X ( k ? ) ? Y ( k ) ? W ? N Z (k ) 2 ? 1 N ? Y ( k ) ? [ X ( k ) ? X ( k ? )] ? ? 2 2 ? ? Z (k ) ? 1 W ? k [ X (k ) ? X (k ? N )] N ? ? 21 2
Y(k)
2

k ? 0,1, ?,

N ?1 2

X(k)

Z(k)

1 ?K WN 2

-1

X(k+N/2)

第六节 IDFT的快速算法(IFFT)
依次类推,可以求出x(n)的各点,下面是整个8点IFFT的信号流 程图。
x(0) 1/2
x(1)

1/2
0

1/2 1/2
0

X(0) X(1) X(2) X(3)
W8
0

1/2 W8

-1

1/2 1/2 W8 -1 -1

x(2) 1/2 x(3) x(4)

1/2 1/2 1/2 1/2 -1 -1 -1 -1

1/2 W8 1/2
0

0

-1

1/2 W8 1/2

?2

X(4) X(5) X(6) X(7)

x(5) 1/2 W8 x(6) 1/2 x(7) 1/2
W8

-1

1/2 1/2 W8
0

W8
W8

?1

-1 -1

1/2 1/2

?2

0

-1

1/2

W8

?2

W8

?3

如果不在每次迭代后增加1/2,可以最后的输出序列中每个元素除 以N。

二、利用FFT的程序求IFFT的方法 ? IFFT与FFT的信号流图还是存在区别,不能用FFT 程序实现IFFT算法。
nk DFT[ x(n)] ? X (k ) ? ? x(n)WN n ?0 N ?1

1 N ?1 ? nk IDFT[ X (k )] ? x(n) ? ? X (k )WN N n ?0

输入序列变输出序列,WN的不同,输出序列的每个元素除以N, 是X(k)倒序重排,x(n)自然顺序排列。

1 x ( n) ? N

? nk X ( k ) W ? N n ?0

N ?1

N ?1 N ?1 1 1 ? nk * nk x* (n) ? [ ? X (k )WN ] ? ? X * (k )WN N n ?0 N n ?0

X(k)的共轭作为输入,结果取共轭,再除以N就得到了 x(n)。

第七节 实序列的FFT高效算法 ? 当输入序列为实数数据时,进一步可以提高FFT运 算效率
? 同时计算两组实序列的DFT (两组同长序列构成新的序列)

x(n), y(n), z (n) ? x(n) ? jy(n)
? X ( N ? K ) ? X * ( K )? ? ? * ? Y ( N ? K ) ? Y (K ) ?
N ?1 n ?0 N ?1 n ?0

由于x(n)和y(n)为 实序列,有
N ?1 n ?0

nk nk nk Z (k ) ? ? z (n)WN ? ? x(n)WN ? j ? y(n)WN ? X ( K ) ? jY ( K )

Z ( N ? k ) ? X ( N ? K ) ? jY ( N ? K ) ? X * ( K ) ? jY * ( K )

Z ( N ? k ) ? X ( K ) ? jY ( K )
*

1 ? ? * X ( K ) ? [ Z ( K ) ? Z ( N ? K )] ? ? ? ? 2 ? ? 1 * ?Y ( K ) ? [ Z (k ) ? Z ( N ? K )]? ? ? 2j ? ?

求出z(n)对应的Z(K),可以得到x(n)和y(n)对应的X(K)和Y(K).

? 用N点序列的DFT结果获得2N点长实序列的DFT结果

将一个2N点的实序列 x(n)按奇偶顺序分成 x1 (n)和x2 (n)序列
x1(n)和x2(n)组成一个复序列,利用上面的结果求出X1(K)和X2(K)

? X ( K ) ? X 1 ( K ) ? W2kN X 2 ( K ) ? ? ? k ? X ( N ? K ) ? X 1 ( K ) ? W2 N X 2 ( K )?

第八节 MATLAB中用于FFT计算的函数 ? 一 函数 fft ? 二 函数ifft 一维快速傅立叶正逆变换 ? 三 应用实例 ? t=0:0.001:0.6; ? x=sin(2*pi*50*t)+sin(2*pi*120*t); ? y=x+1.5*randn(1,length(t)); 正弦信号与随机噪声叠加 ? Y=fft(y,512); 求含噪声信号的离散傅立叶变换(数字谱) ? P=Y.*conj(Y)/512; 计算功率谱 ? f=1000*(0:255)/512; ? plot(f,P(1:256); 功率谱中在频率50HZ,120HZ处存在该频率的
成分

第九节 频率域采样理论

?时域采样定理:在一定条件下可以由时域 离散采样信号恢复原来的连续信号,其中 内插函数是取样函数。 ?X(K)是怎么样得到的? ?序列傅立叶变换的采样值得到,能否由X(K) 恢复原来的时域信号或者原来的频谱函数 呢?

推导过程见书本,结论是:任意序列x(n),对应的Z变换 为X(z),X(z)在单位圆上的z变换就是序列的傅立叶变换, 具有连续的频谱,将其作N点等间隔采样,得到X(k),再作 IDFT,得到的不一定是x(n)本身,而是x(n)以N为周期的 周期延拓序列的主值序列。

第九节 频率域采样理论
? 频域采样定理 如果序列x(n)的长度为M,则只有当频域采样点数 N ? M 时,才有

xN (n) ? IDFT[ X (k )] ? x(n)
即可由频域采样 X(k)恢复原序列x(n) ,否则产生 时域混叠现象。 上式称为频域采样定理。 由X(k)恢复X(z)的内插公式和内插函数分别为书本 公式4-38和4-39。 作业1,9,10


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第4章 离散傅里叶变换_图文.ppt
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数字信号处理 第4章 快速傅里叶变换(FFT)_图文.ppt
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04-第四章 离散傅立叶变换_图文.ppt
N 8 例:离散傅里叶变换例4.1 :设有限长序列为x(n)=R4(n),求x(n) 的 傅里叶变换,以及4点、8点、16点DFT。 解(1)x(n)的傅里叶变换 X (e ) ?...
四章1 快速傅里叶变换(FFT).pdf
第三章 离散傅里叶变换 52页 免费 第四章2 实序列的FFT算法 23页 免费
2010第4章第5章习题解答离散傅里叶_[1]....doc
2010第4章第5章习题解答离散傅里叶_[1]... - 第四章 离散傅里叶变换 4.1 已知信号 x(n) ? R4 (n) 求 y(n) ? x((n ? 2))6 R6 (n) 解: ...
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第4章 离散傅里叶变换 - 武汉理工大学数字信号处理课件... 2014-1-5 9 4、离散周期时间、离散频率离散傅里叶变换 (DFT) 上面讨论的三种傅里叶变换对都不适...
第4章 离散时间信号分析1_图文.ppt
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西电 第4章 傅里叶变换_图文.ppt
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