当前位置:首页 >> 高一数学 >>

2.5等比数列前n项和公式的推导及性质


细节决定成败 态度决定一切

复习:等比数列 {an}
(1) 等比数列:

(2) 通项公式:
(3)a, G, b

an+1 an =q (定值) an=a1? q n-1 (a ? 0, q ? 0).
1

an= am?qn-m

成等比数列

G 2 ? ab, (ab ? 0)

(4) 重要性质:

m+n=p+q

an?am = ap?aq

注:以上 m, n, p, q 均为自然数

引入:印度国际象棋发明者的故事

(西 萨)

引入新课
分析:由于每格的麦粒数都是前一格的2倍, 共有64格每格所放的麦粒数依次为:

1, 2, 2 , 2 ,?, 2 .
它是以1为首项公比是2的等比数列, 麦粒的总数为:

2

3

63

S64 ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 .
2 3 63

S64 ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ?? 2 的方法 . (1) ,就 2 3 63 是错位相 2S64 ? 2(1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ). 减法 ! 2 3 63 64 (2) 即2S64 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2 .
2 3

这种求和 63

? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2 2S64 ? S64 ? (2 ? 2 ? 那么这些麦粒的总质量就是
2 3 4

2 3 4 63 克,64 如果1000 粒麦粒重为 40

)

?(1 ? 27300 ? 2多亿吨。根据统计资料显 ? 2 ? 2 ? …? 2 )
63

?S64 ? 2

64

?1 ?

? 1.84 ?10

示,全世界小麦的年产量约为 6亿吨,就是说全世界都要 18446744073709551615 1000多年才能生产这么多小麦, 19 国王无论如何是不能实现发明 者的要求的。

2 30

-1 =

10 73 74 18 23

请同学们考虑如何求出这个和?

如何求等比数列的Sn:
Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ?? an?1 ? an

错位相减法
n ?2 n?1

Sn ? a1 ? a1q ? a1q ? ?a1q
2
2 3

? a1q


n

qSn ? a1q ? a1q ? a1q ? ?? a1q

n?1

? a1q ②
n

①—② ,得

(1 ? q)Sn ? a1 ? 0 ??? 0 ? a1q
(1 ? q)Sn ? a1 ? a1q
n

显然,当q=1时,

Sn ? na1
n

a1 ? an q a1 ? a1q ? q ? 1时 : S n ? 1? q 1? q
注意:
1.使用公式求和时,需注意对 q 的情况加以讨论;

? 1和 q ? 1

2.推导公式的方法:错位相减法。

等比数列的前n项和表述为:

Sn ?

{

na1 ,

( q=1).
n

a1 ? an q a1 ? 1 ? q ? , 1? q 1? q

?

?

(q≠1).

证法二:

借助Sn-an =Sn-1

Sn = a1 + a2 + a3 + …….+ an-1 + an = a1 + a1q + a1q2 +…..+ a1qn-2 + a1qn-1 = a1+ q ( a1 + a1q + ….+ a1qn-3 + a1qn-2 ) = a1 + q Sn-1 = a1 + q ( Sn – an )

Sn =

a1 ( 1 – q n )

1–q

(q ? 1)

(一) 用等比定理推导 因为 所以

证法三:

用等比定理:

当 q = 1 时 Sn = n a1

等比数列的前n项和公式
已知 a1 、n、 q时 已知 a 1 、 a n、 q 时

知三求二
? a1 (1 ? q n ) (q ? 1) ? ? 1? q Sn ? ? ?na (q ? 1) 1 ? ?

? a1 ? an q ( q ? 1 ) ? 1? q Sn ? ? ?na1 (q ? 1) ?

等比数列前n项和公式 你了解多少?

(1) 等比数列前n项和公式: 利用“错位相减法”推 n a1 (q=1) 导 n a1 (q=1) Sn= Sn= n

{

a1 (1 ? q ) (q=1)
1-q

{

a1 ? a n q
1-q

(q=1)

(2) 等比数列前n项和公式的应用: 1.在使用公式时.注意q的取值是利用公式的前提; 2.在使用公式时,要根据题意,适当选择公式。

(3) 两个等比数列前n项和公式中任知其三可以求其二:

例1、求下列等比数列前8项的和
1 1 1 1 (1) , , , ? (2)a1 ? 27, a9 ? ,q ? 0 2 4 8 243 1 1 ,q ? (1) 因为 a1 ? 解: 所以当n ? 8时 2 2
1 2
8 ? ?1? ? ?1 ? ? ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? 255 1 256 1? 2

Sn ?

1 1 8 ? 27 ? q ( 2) 由a1 ? 27 , a9 ? , 可得 : 243 243 1
又由q ? 0, 可得: q ? ? 3

于是当n ? 8时

Sn

8 ? ? 1? ? 27 ?1 ? ? ? ? ? ? 3? ? ? ? ? ? 1640 ? 1 81 1 ? (? ) 3

例2、在等比数列?a n ? 中,求满足下列条件的 量 :
(1)a1 ? a3 ? 2, 求sn

1 解: (1 )? a1 ? a ? 2 an q 2 ? q ? 2 , n ? 5 , a ? 1 (3)将a1 ? 1, an3? ?512 ,2 S n ? ?341代入S n ? a11? ? q 可得 n ?q2 ? 1 即q n ? ? 1 a 1 ? q ?1 1 说明: 在利用公式,一定要注 意 q的取值,应把它 代入a n1 ? a q , s ? 得: )q .1 ? 1 ( ?512 n 1 ? q ? ? .解得: q? ?2 S ? na ? 2n 当 q341 ? 1时,数列为常数列 2 , 2 , 2 , ? ,所以 n 1 1 作为第一要素来考虑。 1 ?q 4 4 a5 ? a1q ? ? 2 ? 8 n n 2n ?1 a1 ( 在五个变量 a , q , n , a , S 中,只知三可求二, 1 ? q ) 2 [ 1 ? ( ? 1 ) ] ?2) n ?1 2 . n 1 ? 512 n ? n 1? ( 因为a n ? a1q , 所以 1 n 5 1? q 1?选择适当的公式。 ( ?1) 并且要根据具体题意, ? 1 ? 2 解得: n ? 10 1 31 5 2 s5 ? ? ? 2 ?1 ? 1? 2 2 2

(3)a1 ? 1,a n ? ?512 ,s n ? ?341 .求q和n

1 (2)q ? 2, n ? 5, a1 ? .求an 和sn 2

?

?

当q ? ?1时,S ?

?

?

?

?

?

? 1 ? (?1)

例3.某商场今年销售计算机5000台,如果平均每年 的销售量比上一年的销售量增加10%,那么从今 起,大约几年可使总销售量达到30000台(结果保 留到个位)? 分析:第1年产量为 5000台 第2年产量为 5000×(1+10%)=5000×1.1台 第3年产量为 5000×(1+10%) ×(1+10%) 第n年产量为 5000?1.1 则n年内的总产量为:
2

……

? 5000 ?1.1 台
2

n?1


n ?1

5 ? 5 ?1.1 ? 5 ?1.1 ? ? ? 5 ?1.1

? 1.数列{2n-1}的前99项和为( ) ? A.2100-1 B.1-2100 ? C.299-1 D.1-299
1×?1-299? 99 解析:a1=1,q=2,∴S99= =2 -1. 1-2
答案:C

? 2.在等比数列 {an}中,已知a1=3,an=96 ,Sn=189,则n的值为( ) ? A.4 B.5 ? C.6 D.7
解析:an=a1· q =96=3· q ,∴q
n-1 n-1 n-1

a1-anq =32,Sn= 1-q

3-96q 1-32q = =189, =63.解得q=2.∴n=6. 1-q 1-q
答案:C

? 3.已知等比数列{an}中,an>0,n=1,2,3, ?,a2=2,a4=8,则前5项和S5的值为 ________.
1-25 解析:易求得q=2,a1=1.∴S5= =31. 1- 2
答案:31


相关文章:
2.5等比数列前n项和公式的推导及性质_图文.ppt
2.5等比数列前n项和公式的推导及性质 - 细节决定成败 态度决定一切 复习:等
2.5等比数列前n项和的性质_图文.ppt
2.5等比数列前n项和的性质 - 数 列 等比数列前n项和的性质 复习回顾 引入新课 1、等比数列前n项和公式: q ?1 , ?na1 ?na1 ? S n ? ? a1 ? a1...
等比数列前n项和公式的推导及性质._图文.ppt
等比数列前n项和公式的推导及性质. - 细节决定成败 态度决定一切 引入:印度国
2.5等比数列前n项和公式的推导及性质_图文.ppt
2.5等比数列前n项和公式的推导及性质 - 细节决定成败 态度决定一切 复习:等
2.5等比数列前n项和公式的推导和应用._图文.ppt
2.5等比数列前n项和公式的推导和应用. - 复习:等比数列 {an} (1) 等比数列: (2) 通项公式: (3) 重要性质: m+n=p+q an+1 an =q (定值) an=a...
2.5等比数列前n项和公式的推导_图文.ppt
2.5等比数列前n项和公式的推导 - 复习:等比数列 {an} (1) 等比数列: (2) 通项公式: (3)a, G, b an+1 an =q (定值) an=a1? q n-1 (a...
2.5等比数列前n项和公式的推导_图文.ppt
2.5等比数列前n项和公式的推导 - 细节决定成败 态度决定一切 复习:等比数列 {an} (1) 等比数列: (2) 通项公式: (3)a, G, b an+1 an =q (定值) ...
2.5等比数列前n项和公式的推导(1)_图文.ppt
2.5等比数列前n项和公式的推导(1) - 细节决定成败 态度决定一切 复习 等
2.5等比数列前n项和公式的推导_图文.ppt
2.5等比数列前n项和公式的推导 - 细节决定成败 态度决定一切 纽绅中学 刘永松 复习回顾:等比数列 {an} (1) 等比数列: (2) 通项公式: (3)a, G, b an+...
2.5等比数列前n项和公式的推导_图文.ppt
2.5等比数列前n项和公式的推导 - 细节决定成败 态度决定一切 复习:等比数列 {an} (1) 等比数列: (2) 通项公式: (3)a, G, b an+1 an =q (定值) ...
2.5等比数列前n项和的性质2_图文.ppt
2.5等比数列前n项和的性质2 - 数 列 等比数列前n项和的性质 复习回顾 引入新课 1、等比数列前n项和公式: q ?1 , ?na1 ?na1 ? S n ? ? a1 ? a...
高中数学 (2.5.1 等比数列前n项和公式的推导与应用)示....doc
高中数学 (2.5.1 等比数列前n项和公式的推导与应用)示范教案 新人教A版必修5...q S n ? an 再由分式性质,得 教学中应充分利用信息和多媒体技术,还应给予...
2.5.2等比数列前n项和的性质解析_图文.ppt
2.5.2等比数列前n项和的性质解析 - 课题 第二章 数 第十课时: 列 等比数列前n项和的性质 人生的奔跑, 不在于瞬间的爆发, 而在于途中的坚持! 复习 1、...
2.5等比数列的前n项和(一).ppt
{an}成等比数列 ? 4. 性质: an?1 an ? q ( n ? N , q ? 0) ?..., an… 等比数列前n项和公式的推导1 一般地,设等比数列a1, a2, a3, …...
2.5等比数列前n项和公式的推导_图文.ppt
2.5等比数列前n项和公式的推导 - 细节决定成败 态度决定一切 复习:等比数列 {an} 复习: 等比数列: (1) 等比数列: (2) 通项公式项公式: (3)a , G ...
高中数学 2.5.1等比数列前n项和公式的推导与应用教学设....doc
高中数学 2.5.1等比数列前n项和公式的推导与应用教学设计 新人教A版必修5_...1 n (q ? 1) .? 1? q S n ? an 再由分式性质,得 教学中应充分...
2.5.2等比数列前n项和的性质精品课件_图文.ppt
2.5.2等比数列前n项和的性质精品课件 - 数 列 等比数列前n项和的性质 复习回顾 引入新课 1、等比数列前n项和公式: q ?1 , ?na1 ?na1 ? S n ? ?...
2.5等比数列前n项和公式的推导和应用_图文.ppt
2.5等比数列前n项和公式的推导和应用 - 复习:等比数列 {an} (1) 等比数列: (2) 通项公式: (3) 重要性质: m+n=p+q an+1 an =q (定值) an=a1...
2.5等比数列的前n项和(一).doc
2.5等比数列的前n项和(一) - 等比数 2.5 等比数列的前 n 项和(一) 学习目标 掌握等比数列的前 n 项和的公式,能用等比数列的前 n 项和的公式解决问题 ...
示范教案(2.5.1 等比数列前n项和公式的推导与应用)说课....doc
示范教案(2.5.1 等比数列前n项和公式的推导与应用)说课(课堂实录)_数学_高中...1 n (q ? 1) .? 1? q S n ? an 再由分式性质,得 教学中应充分...
更多相关标签: