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惠州市2016届高三第一次调研考试 理科数学 试题


机密★启用前

考试时间:2015 年 7 月 1 日 15:00-17:00

惠州市 2016 届高三第一次调研考试

理科数学
注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答题前,考生务必将 自己的姓名、准考证号、座位号等考生信息填写在答题卡上。 2.回答第Ⅰ卷时,选出每个小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号,写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分。在每个小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的。

(CU A) B 为( 1, 2, 3, 4? ,集合 A ? ? 1 , 2, 3? , B ? ?2, 4? , (1)已知全集 U ? ?0, 则
1, 2, 4? (A) ?
(2)复数 1 ?

) .

3, 4? (B) ?2,

2, 4? (C) ?0,
) .

2, 3, 4? (D) ?0,

5 ( i 是虚数单位)的模等于( 2?i
(B) 10 ) .

(A) 10

(C) 5

(D) 5

(3)下列命题中的假命题是( (A) ?x ? R, lg x ? 0 (C) ?x ? R,2 x ? 0

(B) ?x ? R, tan x ? 0 (D) ?x ? R, x 2 ? 0 ) .

(4)已知向量 m ? (a, ?2), n ? (1,1 ? a) ,且 m // n ,则实数 a =( (A)-1 (B)2 或-1 (C)2

(D)-2 ) .

?ABC 中, (5) 角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , 若 a ? 7, b ? 3, c ? 2, 则?A ( =
(A) 30
?

(B) 45

?

(C) 60

?

(D) 90

?

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(6)已知函数 f ( x ) ? ?

?log 3 x, x ? 0 ?2 , x ? 0
x

,则 f ( f ( )) =(

1 9

).

1 (A) 2

1 (B) 4

1 (C) 6

1 (D) 8

1 1 主视图 1 侧视图

(7)已知某几何体的三视图如右图所示,正视图和侧视图是 边长为 1 的正方形,俯视图是腰长为 1 的等腰直角三角 1 形,则该几何体的体积是( (A) 2 (B) 1 ) .

1 (C) 2

1 (D) 3

1 俯视图

?x ? y ?1 ? 0 ? (8)已知实数 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ? 0 ,则 z ? x ? 2 y 的最大值为( ?x ? 0 ?
(A) ?2 (9)函数 f ( x) ? sin (A) 3? (B) 2 (C) 1 (D) ?1

) .

2 2 x ? cos x 的图象中相邻的两条对称轴间距离为( 3 3 4 3 7 (B) ? (C) ? (D) ? 3 2 6

) .

m, n, l 为不同的直线, (10) 设 ? , ? , ? 为不同的平面, 则 m ? ? 的一个充分条件为 (
(A) ? ? ? , ?

) .

? ?l ,m ? l

(B) ?

? ? m ,? ? ? , ? ? ?

(C) ? ? ? , ? ? ? , m ? ?

(D) n ? ? , n ? ? , m ? ?

(11)将甲,乙等 5 位同学分别保送到北京大学,上海交通大学,中山大学这 3 所大学就 读,则每所大学至少保送 1 人的不同保送方法数为( (A)150 (12) 已知抛物线 y ? (B)180 (C)240 )种。 (D)540

1 2 y2 O 为坐标原点, x 与双曲线 2 ? x 2 ? 1(a ? 0) 有共同的焦点 F , 8 a
) . (D)

P 在 x 轴上方且在双曲线上,则 OP ? FP 的最小值为(
(A) 3 ? 2 3 (B) 2 3 ? 3 (C) ?

7 4

3 4

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第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题~第21题为必考题,每个考生都必须做答。 第22题~第24题为选考题,考生根据要求做答。 二.填空题:本大题共4小题,每小题5分。

3 ? ? ) ? ,则 cos 2? ? 2 5 1 4 ) 的展开式中常数项为 (14) ( x ? 3x
(13)若 sin( (15)

?

. . (用数字表示)

? ? (1 ? cos x)dx =
2 ? 2

?



(16)如下面数表为一组等式:某学生猜测 S2n?1 ? (2n ? 1)(an2 ? bn ? c) ,若该学生回答 正确,则 3a ? b ? .

s1 ? 1, s2 ? 2 ? 3 ? 5, s3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 15, s4 ? 7 ? 8 ? 9 ? 10 ? 34, s5 ? 11 ? 12 ? 13 ? 14 ? 15 ? 65,

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17) (本小题满分 12 分) 已知 {an } 为等差数列,且满足 a1 ? a3 ? 8 , a2 ? a4 ? 12 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)记 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 a3 , ak ?1 , Sk 成等比数列,求正整数 k 的值.

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18. (本小题满分 12 分) 一个盒子中装有大量 形状大小一样但重量不尽相同的小球,从中随机抽取 50 个作为 .. 样本,称出它们的重量(单位:克) ,重量分组区间为 ?5,15? , ?15,25? , ? 25,35? , ?35,45? , 由此得到样本的重量频率分布直方图(如右图) , (Ⅰ)求 a 的值,并根据样本数据,试估计盒 子中小球重量的众数与平均值; (Ⅱ)从盒子中随机抽取 3 个小球,其中重量 在 ?5,15? 内的小球个数为 X ,求 X 的分布列和数 学期望. (以直方图中的频率作为概率).

19. (本小题满分 12 分) 如 右 图 , 三 棱 柱 ABC? A 1 B 1 C 1中 , AB ? AC ? AA 1 ? BC1 ? 2 , ?AAC 1 1 ? 60? , 平 面

D. ABC1 ? 平面 AAC 1 1C , AC1 与 AC 1 相交于点
(Ⅰ)求证: BD ? 平面 AAC 1 1C ; (Ⅱ)求二面角 C1 ? AB ? C 的余弦值.
B1 B

C1 D A1 A

C

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20. (本小题满分 12 分)

y 2 x2 如图,曲线 C 由上半椭圆 C1 : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0, y ? 0) 和部分抛物线 a b

C2 : y ? ?x2 ? 1 ( y ? 0) 连接而成,C1 , C2 的公共点为 A, B ,其中 C1 的离心率为
(Ⅰ)求 a , b 的值; (Ⅱ)过点 B 的直线 l 与 C1 , C2 分别交于 P, Q (均异于点

3 . 2

y

A, B ) ,若 AP ? AQ ,求直线 l 的方程.

A

B

O

x

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? x ? x ? a ? , g ? x ? ? ?x ? ? a ?1? x ? a (其中 a ? R ).
2

2

(Ⅰ)如果函数 y ? f ? x ? 和 y ? g ? x ? 有相同的极值点,求 a 的值,并直接写出函数

f ? x ? 的单调区间;
(Ⅱ)令 F ( x) ? f ? x ? ? g ? x ? ,讨论函数 y ? F ( x) 在区间 ? ?1,3? 上零点的个数。

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请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答。如果多做,则按所做的第一题计分,答题时 请写清题号。 (22) (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图, AB 为⊙ O 的直径,直线 CD 与⊙ O 相切于 E , AD 垂直 CD 于 D , BC 垂 直 CD 于 C , EF 垂直 AB 于 F ,连接 AE , BE . 证明: (Ⅰ) ?FEB ? ?CEB ; (Ⅱ) EF ? AD ? BC .
2

(23) (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中, 直线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 1? t , 以该直角坐标系 (t 为参数) ?y ? 2 ? t

的原点 O 为极点, x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系下,圆 C 2 的方程为

? ? ?2 cos? ? 2 3 sin ? .
(Ⅰ)求直线 C1 的普通方程和圆 C 2 的圆心的极坐标; (Ⅱ)设直线 C1 和圆 C 2 的交点为 A 、 B ,求弦 AB 的长.

(24) (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知 m ? 1 且关于 x 的不等式 m? | x ? 2 | ?1 的解集为 [0, 4] . (Ⅰ)求 m 的值;
2 2 (Ⅱ)若 a , b 均为正实数,且满足 a ? b ? m ,求 a ? b 的最小值.

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